Integrační faktor - Integrating factor

v matematika, an integrační faktor je funkce který je vybrán k usnadnění řešení dané rovnice zahrnující diferenciály. Běžně se používá k řešení obyčejné diferenciální rovnice, ale také se používá uvnitř počet proměnných při násobení integračním faktorem umožňuje nepřesný diferenciál být vyroben do přesný diferenciál (které pak mohou být integrovány, aby poskytly a skalární pole ). To je zvláště užitečné v termodynamika kde teplota se stává integračním faktorem, který vytváří entropie přesný diferenciál.

Použití

Integrujícím faktorem je jakýkoli výraz, kterým se násobí diferenciální rovnice, aby se usnadnila integrace. Například nelineární rovnice druhého řádu

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = Ay ^ {2/3}}

připouští ${ displaystyle { tfrac {dy} {dt}}}$ jako integrační faktor:

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} { frac {dy} {dt}} = Ay ^ {2/3} { frac {dy} {dt}} .}

Chcete-li integrovat, všimněte si, že obě strany rovnice mohou být vyjádřeny jako derivace přechodem zpět s řetězové pravidlo:

{ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac {1} {2}} left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2} right) = { frac {d} {dt}} left (A { frac {3} {5}} y ^ {5/3} right).}

Proto,

{ displaystyle left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2} = { frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}.}

kde ${ displaystyle C_ {0}}$ je konstanta.

Tento formulář může být užitečnější v závislosti na aplikaci. Provedení a oddělení proměnných dá

{ displaystyle int _ {y (0)} ^ {y (t)} { frac {dy} { sqrt {{ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0 }}}} = t}

Tohle je implicitní řešení, které zahrnuje a neelementární integrál. Stejná metoda se používá k řešení období jednoduchého kyvadlo.

Řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Pro řešení jsou užitečné integrační faktory obyčejné diferenciální rovnice které lze vyjádřit ve formě

{ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x)}

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci, řekněme ${ displaystyle M (x)}$ , nazývaný „integrační faktor“, který můžeme znásobit pomocí naší diferenciální rovnice, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonický první řád lineární diferenciální rovnice jak je uvedeno výše, integrační faktor je ${ displaystyle e ^ { int P (x) dx}}$ .

Všimněte si, že není nutné zahrnout libovolnou konstantu do integrálu, nebo absolutní hodnoty v případě, že integrál z ${ displaystyle P (x)}$ zahrnuje logaritmus. Za prvé, k vyřešení rovnice potřebujeme pouze jeden integrační faktor, ne všechny možné; zadruhé, takové konstanty a absolutní hodnoty se zruší, i když jsou zahrnuty. U absolutních hodnot to lze zjistit zápisem ${ displaystyle | f (x) | = f (x) operatorname {sgn} f (x)}$ , kde ${ displaystyle operatorname {sgn}}$ Odkazuje na znaková funkce, která bude konstantní v intervalu, pokud ${ displaystyle f (x)}$ je spojitý. Tak jako ${ displaystyle ln | f (x) |}$ není definováno, když ${ displaystyle f (x) = 0}$ , a logaritmus v primitivní funkci se objeví pouze tehdy, když původní funkce zahrnovala logaritmus nebo reciproční (žádný z nich není definován pro 0), takový interval bude intervalem platnosti našeho řešení.

Abychom to odvodili, pojďme ${ displaystyle M (x)}$ být integračním faktorem lineární diferenciální rovnice prvního řádu tak, že násobení ${ displaystyle M (x)}$ transformuje částečnou derivaci na celkovou derivaci, poté:

${ displaystyle { begin {aligned} (1) qquad {} & M (x) { underset { text {částečná derivace}} {( underbrace {y '+ P (x) y})}}} (2) qquad {} & M (x) y '+ M (x) P (x) y (3) qquad {} & { underset { text {total derivative}} { underbrace {M ( x) y '+ M' (x) y}}} end {zarovnáno}}}$

Přechod od kroku 2 ke kroku 3 to vyžaduje ${ displaystyle M (x) P (x) = M '(x)}$ , což je oddělitelná diferenciální rovnice, jehož řešení poskytuje ${ displaystyle M (x)}$ ve smyslu ${ displaystyle P (x)}$ :

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (4) qquad & M (x) P (x) = M '(x) (5) qquad & P (x) = { frac {M' (x)} {M (x)}} (6) qquad & int P (x) dx = ln M (x) (7) qquad & e ^ { int P (x) dx} = M ( x) end {zarovnáno}}}$

Chcete-li ověřit, vynásobte ${ displaystyle M (x)}$ dává

{ displaystyle y'M (x) + P (x) yM (x) = Q (x) M (x)}

Použitím produktové pravidlo naopak vidíme, že levá strana může být vyjádřena jako jediná derivace v ${ displaystyle x}$

{ displaystyle y'M (x) + P (x) yM (x) = y'M (x) + yM '(x) = { frac {d} {dx}} (yM (x))}

Tuto skutečnost používáme ke zjednodušení našeho vyjádření

{ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo (yM (x) vpravo) = Q (x) M (x)}

Integrace obou stran s ohledem na ${ displaystyle x}$

{ displaystyle ye ^ { int P (x) dx} = int Q (x) e ^ { int P (x) dx} dx + C}

kde ${ displaystyle C}$ je konstanta.

Přesunutí exponenciálu na pravou stranu obecného řešení Obyčejná diferenciální rovnice je:

{ displaystyle y = e ^ {- int P (x) dx} int Q (x) e ^ { int P (x) dx} dx + Ce ^ {- int P (x) dx}}

V případě a homogenní diferenciální rovnice, ${ displaystyle Q (x) = 0}$ a obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice je:

{ displaystyle y = Ce ^ {- int P (x) dx}}

.

zvažte například diferenciální rovnici

{ displaystyle y '- { frac {2y} {x}} = 0.}

To v tomto případě vidíme ${ displaystyle P (x) = { frac {-2} {x}}}$

{ displaystyle M (x) = e ^ { int _ {1} ^ {x} P (x) dx}}

{ displaystyle M (x) = e ^ { int _ {1} ^ {x} { frac {-2} {x}} , dx} = e ^ {- 2 ln x} = {(e ^ { ln x})} ^ {- 2} = x ^ {- 2}}

{ displaystyle M (x) = { frac {1} {x ^ {2}}}.}

Vynásobením obou stran ${ displaystyle M (x)}$ získáváme

{ displaystyle { frac {y '} {x ^ {2}}} - { frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

Výše uvedená rovnice může být přepsána jako

{ displaystyle { frac {d (x ^ {- 2} y)} {dx}} = 0}

Integrací obou stran vzhledem k x získáme

{ displaystyle x ^ {- 2} y = C}

nebo

{ displaystyle y = Cx ^ {2}}

Stejného výsledku lze dosáhnout použitím následujícího přístupu

{ displaystyle { frac {y '} {x ^ {2}}} - { frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

{ displaystyle { frac {y'x ^ {3} -2x ^ {2} y} {x ^ {5}}} = 0}

{ displaystyle { frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = 0}

{ displaystyle { frac {y'x ^ {2} -2xy} {x ^ {4}}} = 0.}

Zpětný chod pravidlo kvocientu dává

{ displaystyle left ({ frac {y} {x ^ {2}}} right) '= 0}

nebo

{ displaystyle { frac {y} {x ^ {2}}} = C,}

nebo

{ displaystyle y = Cx ^ {2}.}

kde ${ displaystyle C}$ je konstanta.

Řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu

Metodu integrace faktorů pro rovnice prvního řádu lze přirozeně rozšířit i na rovnice druhého řádu. Hlavním cílem při řešení rovnic prvního řádu bylo najít integrující faktor ${ displaystyle M (x)}$ takové, že se množí ${ displaystyle y '+ p (x) y = h (x)}$ tím by se dalo ${ displaystyle (M (x) y) '= M (x) h (x)}$ , po kterém následná integrace a rozdělení podle ${ displaystyle M (x)}$ by se poddalo ${ displaystyle y}$ . Pokud chceme, lineární diferenciální rovnice druhého řádu ${ displaystyle M (x) = e ^ { int p (x) dx}}$ pracovat jako integrující faktor

${ displaystyle (M (x) y) '' = M (x) (y '' + 2p (x) y '+ (p (x) ^ {2} + p' (x)) y) = M ( x) h (x)}$

To znamená, že rovnice druhého řádu musí být přesně ve formě ${ displaystyle y '' + 2p (x) y '+ (p (x) ^ {2} + p' (x)) y = h (x)}$ aby byl integrační faktor použitelný.

Příklad 1

Například diferenciální rovnice

${ displaystyle y '' + 2xy '+ (x ^ {2} +1) y = 0}$

lze přesně vyřešit integračními faktory. Příslušné ${ displaystyle p (x)}$ lze odvodit zkoumáním ${ displaystyle '$ období. V tomto případě, ${ displaystyle 2p (x) = 2x}$ , tak ${ displaystyle p (x) = x}$ . Po prozkoumání ${ displaystyle y}$ vidíme, že ve skutečnosti ano ${ displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = x ^ {2} +1}$ , takže všechny pojmy vynásobíme integračním faktorem ${ displaystyle e ^ { int xdx} = e ^ {x ^ {2} / 2}}$ . To nám dává

${ displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y '' + 2e ^ {x ^ {2} / 2} p (x) y '+ e ^ {x ^ {2} / 2} (p ( x) ^ {2} + p '(x)) y = 0}$

které mohou být přeskupeny tak, aby poskytly

${ displaystyle (e ^ {x ^ {2} / 2} y) '' = 0}$

Integrace dvojnásobných výnosů

${ displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y = c_ {1} x + c_ {2}}$

Dělení integračním faktorem dává:

${ displaystyle y = { frac {c_ {1} x + c_ {2}} {e ^ {x ^ {2} / 2}}}}$

Příklad 2

Trochu méně zřejmá aplikace integračních faktorů druhého řádu zahrnuje následující diferenciální rovnici:

${ displaystyle y '' + 2 postýlka (x) y'-y = 1}$

Na první pohled to zjevně není ve formě potřebné pro integrační faktory druhého řádu. Máme ${ displaystyle 2p (x)}$ termín před ${ displaystyle '$ ale ne ${ displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x)}$ před ${ displaystyle y}$ . Nicméně,

${ displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = cot ^ {2} (x) - csc ^ {2} (x)}$

az Pythagorovy identity týkající se kotangensu a kosekansu,

${ displaystyle cot ^ {2} (x) - csc ^ {2} (x) = - 1}$

takže ve skutečnosti máme před sebou požadovaný termín ${ displaystyle y}$ a může využívat integrační faktory.

${ Displaystyle e ^ { int cot (x) dx} = e ^ { ln ( sin (x))} = sin (x)}$

Vynásobení každého termínu ${ displaystyle sin (x)}$ dává

${ displaystyle sin (x) y '' + 2 dětská postýlka (x) sin (x) y '- sin (x) y = sin (x)}$

který přeskupil je

${ displaystyle ( sin (x) y) '= = sin (x)}$

Integrace dvakrát dává

${ displaystyle sin (x) y = - sin (x) + c_ {1} x + c_ {2}}$

Nakonec dělení integračním faktorem dává

${ displaystyle y = c_ {1} x csc (x) + c_ {2} csc (x) -1}$

Řešení lineárních diferenciálních rovnic n. Řádu

Integrační faktory lze rozšířit na jakoukoli objednávku, i když forma rovnice potřebná k jejich aplikaci je čím dál konkrétnější, jak se objednávka zvyšuje, takže jsou pro objednávky 3 a vyšší méně užitečné. Obecná myšlenka je odlišit funkci ${ displaystyle M (x) y}$ ${ displaystyle n}$ krát za ${ displaystyle n}$ diferenciální rovnice th-řádu a kombinovat jako termíny. Tím se získá rovnice ve tvaru

${ displaystyle M (x) F (y, y ', y' ', ... y ^ {(n)})}$

Pokud ${ displaystyle n}$ rovnice tého řádu odpovídá tvaru ${ displaystyle F (y, y ', y' ', ... y ^ {(n)})}$ který se získá po rozlišení ${ displaystyle n}$ krát je možné znásobit všechny termíny integračním faktorem a integrovat ${ displaystyle h (x) M (x)}$ ${ displaystyle n}$ krát děleno integračním faktorem na obou stranách k dosažení konečného výsledku.

Příklad

Použití integračních faktorů třetího řádu dává

${ displaystyle (M (x) y) '' = M (x) (y '' '+ 3p (x) y' '+ (3p (x) ^ {2} + 3p' (x)) y ' + (p (x) ^ {3} + 3p (x) p '(x) + p' '(x)) y}$

což vyžaduje, aby naše rovnice byla ve formě

${ displaystyle y '' '+ 3p (x) y' '+ (3p (x) ^ {2} + 3p' (x)) y '+ (p (x) ^ {3} + 3p (x) p '(x) + p' (x)) y = h (x)}$

Například v diferenciální rovnici

${ displaystyle y '' '+ 3x ^ {2} y' '+ (3x ^ {4} + 6x) y' + (x ^ {6} + 6x ^ {3} +2) y = 0}$ my máme ${ displaystyle p (x) = x ^ {2}}$ , takže náš integrační faktor je ${ displaystyle e ^ {x ^ {3} / 3}}$ . Přeskupení dává

${ displaystyle (e ^ {x ^ {3} / 3} y) '' '= 0}$

Integrace třikrát a vydělením výnosy integračního faktoru

${ displaystyle y = { frac {c_ {1} x ^ {2} + c_ {2} x + c_ {3}} {e ^ {x ^ {3} / 3}}}}$

Viz také

externí odkazy

Munkhammar, Joakim, „Integrating Factor“, MathWorld.