Derivát Grünwald – Letnikov - Grünwald–Letnikov derivative

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Derivát Grünwald – Letnikov“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Grünwald – Letnikovův derivát je základní rozšíření derivát v zlomkový počet což umožňuje jednomu převzít derivaci neceločíselný počet opakování. To bylo představeno Anton Karl Grünwald (1838–1920) z Praha, v roce 1867, a Aleksey Vasilievich Letnikov (1837–1888) v Moskva v roce 1868.

Sestavení derivátu Grünwald – Letnikov

Vzorec

${ displaystyle f '(x) = lim _ {h až 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

pro derivát lze rekurzivně použít k získání derivátů vyššího řádu. Například derivát druhého řádu by byl:

${ displaystyle { begin {aligned} f '' (x) & = lim _ {h to 0} { frac {f '(x + h) -f' (x)} {h}} & = lim _ {h_ {1} to 0} { frac { lim limits _ {h_ {2} to 0} { dfrac {f (x + h_ {1} + h_ {2}) -f (x + h_ {1})} {h_ {2}}} - lim limits _ {h_ {2} to 0} { dfrac {f (x + h_ {2}) - f (x )} {h_ {2}}}} {h_ {1}}} end {zarovnáno}}}$

Za předpokladu, že h synchronně konverguje, což zjednodušuje:

${ displaystyle = lim _ {h až 0} { frac {f (x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}}$

což lze přísně odůvodnit věta o střední hodnotě. Obecně máme (viz binomický koeficient ):

${ displaystyle f ^ {(n)} (x) = lim _ {h až 0} { frac { součet limity _ {0 leq m leq n} (- 1) ^ {m} { n zvolte m} f (x + (nm) h)} {h ^ {n}}}}$

Odstranění omezení n být kladné celé číslo, je rozumné definovat:

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} f (x) = lim _ {h až 0} { frac {1} {h ^ {q}}} součet _ {0 leq m < infty} (- 1) ^ {m} {q vyberte m} f (x + (qm) h).}$

To definuje derivát Grünwald – Letnikov.

Pro zjednodušení zápisu jsme nastavili:

${ displaystyle Delta _ {h} ^ {q} f (x) = součet _ {0 leq m < infty} (- 1) ^ {m} {q zvolte m} f (x + (qm) h).}$

Derivát Grünwald – Letnikov lze tedy stručně napsat jako:

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} f (x) = lim _ {h až 0} { frac { Delta _ {h} ^ {q} f (x)} {h ^ {q }}}.}$

Alternativní definice

V předchozí části byla odvozena obecná rovnice prvních principů pro derivace celočíselného řádu. Je možné ukázat, že rovnici lze také zapsat jako

${ displaystyle f ^ {(n)} (x) = lim _ {h až 0} { frac {(-1) ^ {n}} {h ^ {n}}} součet _ {0 leq m leq n} (- 1) ^ {m} {n vyberte m} f (x + mh).}$

nebo odstranění omezení n musí být kladné celé číslo:

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} f (x) = lim _ {h až 0} { frac {(-1) ^ {q}} {h ^ {q}}} součet _ {0 leq m < infty} (- 1) ^ {m} {q vyberte m} f (x + mh).}$

Tato rovnice se nazývá reverzní derivace Grünwald – Letnikov. Pokud je nahrazení h → −h je vytvořena, výsledná rovnice se nazývá přímá derivace Grünwald – Letnikov:^[1]

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} f (x) = lim _ {h až 0} { frac {1} {h ^ {q}}} součet _ {0 leq m < infty} (- 1) ^ {m} {q zvolte m} f (x-mh).}$

Reference

• Frakční kalkul, Oldham, K .; a Spanier, J. Vázaná kniha: 234 stran. Vydavatel: Academic Press, 1974. ISBN  0-12-525550-0
• Od rozdílů k derivátům, Ortigueira, M. D. a F. Coito. Frakční počet a aplikovaná analýza 7 (4). (2004): 459-71.