Stochastická parciální diferenciální rovnice - Stochastic partial differential equation

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraický Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

Stochastické parciální diferenciální rovnice (SPDE) zobecnit parciální diferenciální rovnice přes náhodné silové členy a koeficienty, stejně obyčejné stochastické diferenciální rovnice zevšeobecnit obyčejné diferenciální rovnice.

Mají význam pro kvantová teorie pole, statistická mechanika, a prostorové modelování.^[1][2]

Příklady

Jeden z nejvíce studovaných SPDE je stochastický rovnice tepla, které lze formálně zapsat jako

${ displaystyle částečné _ {t} u = Delta u + xi ;,}$

kde ${ displaystyle Delta}$ je Laplacian a ${ displaystyle xi}$ označuje časoprostor bílý šum. Mezi další příklady patří také stochastické verze slavných lineárních rovnic, jako např vlnová rovnice a Schrödingerova rovnice.

Diskuse

Jedním z problémů je jejich nedostatek pravidelnosti. V jednorozměrném prostoru jsou řešení stochastické rovnice tepla pouze téměř 1 / 2-Hölder kontinuální v prostoru a 1/4-Hölder kontinuální v čase. Pro dimenze dvě a vyšší nejsou řešení dokonce ani hodnocena podle funkce, ale mohou být chápána jako náhodná distribuce.

U lineárních rovnic lze obvykle najít a mírné řešení přes poloskupina techniky.^[3]

Problémy se však začínají objevovat při zvažování nelineárních rovnic. Například

${ displaystyle částečné _ {t} u = Delta u + P (u) + xi,}$

kde ${ displaystyle P}$ je polynom. V tomto případě není ani jasné, jak by měl mít smysl rovnice. Taková rovnice také nebude mít funkční řešení, tedy žádný bodový význam. Je dobře známo, že prostor distribuce nemá žádnou strukturu produktu. To je hlavní problém takové teorie. To vede k potřebě určité formy renormalizace.

Prvním pokusem obejít tyto problémy u některých konkrétních rovnic byl tzv da Pratto-Debusche trik který zahrnoval studium takových nelineárních rovnic, jako jsou poruchy lineárních. To však může být pouze ve velmi omezujícím nastavení, protože to závisí jak na nelineárním faktoru, tak na pravidelnosti termínu hluk z jízdy. V posledních letech se pole drasticky rozšířilo a nyní existuje velké zařízení, které zaručí místní existenci pro různé druhy podkritický SPDE.

Viz také

• Brownův povrch
• Kardar – Parisi – Zhangova rovnice
• Kushnerova rovnice
• Malliavinův počet
• Produkt Wick
• Zakai rovnice

Reference

Další čtení

• Holden, H .; Øksendal, B .; Ubøe, J .; Zhang, T. (2010). Stochastické parciální diferenciální rovnice: Modelování, funkční přístup bílého šumu. Universitext (2. vyd.). New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN  978-0-387-89487-4.

externí odkazy

• „Minikurz stochastických parciálních diferenciálních rovnic“ (PDF). 2006.
• Hairer, Martin (2009). "Úvod do stochastických PDE". arXiv:0907.4178. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)