Metoda neurčených koeficientů - Method of undetermined coefficients

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraický Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

v matematika, metoda neurčených koeficientů je přístup k nalezení konkrétního řešení určitých nehomogenních obyčejné diferenciální rovnice a relace opakování. Úzce souvisí s anihilační metoda, ale místo použití konkrétního druhu operátor diferenciálu (anihilátor), aby se našla nejlepší možná forma konkrétního řešení, provede se „odhad“ příslušné formy, který se poté testuje diferenciací výsledné rovnice. U složitých rovnic platí anihilační metoda nebo variace parametrů je méně časově náročné na provedení.

Neurčené koeficienty nejsou tak obecnou metodou jako variace parametrů, protože to funguje pouze pro diferenciální rovnice, které následují určité formy.^[1]

Popis metody

Uvažujme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici formy

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = g (x)}$

kde ${ displaystyle y ^ {(i)}}$ označuje i-tou derivaci ${ displaystyle y}$, a ${ displaystyle c_ {i}}$ označuje funkci ${ displaystyle x}$.

Metoda neurčených koeficientů poskytuje přímou metodu získání řešení této ODR, pokud jsou splněna dvě kritéria:^[2]

1. ${ displaystyle c_ {i}}$ jsou konstanty.
2. g (x) je konstanta, polynomiální funkce, exponenciální funkce ${ displaystyle e ^ { alpha x}}$, sinusové nebo kosinusové funkce ${ displaystyle sin { beta x}}$ nebo ${ displaystyle cos { beta x}}$, nebo konečné součty a součin těchto funkcí (${ displaystyle { alpha}}$, ${ displaystyle { beta}}$ konstanty).

Metoda spočívá v hledání obecného homogenní řešení ${ displaystyle y_ {c}}$ pro doplňkovou lineární homogenní diferenciální rovnice

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = 0,}$

a určitý integrál ${ displaystyle y_ {p}}$ lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice založené na ${ displaystyle g (x)}$. Pak obecné řešení ${ displaystyle y}$ k lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnici by bylo

${ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}.}$^[3]

Li ${ displaystyle g (x)}$ se skládá ze součtu dvou funkcí ${ displaystyle h (x) + w (x)}$ a my to říkáme ${ displaystyle y_ {p_ {1}}}$ je řešení založené na ${ displaystyle h (x)}$ a ${ displaystyle y_ {p_ {2}}}$ řešení založené na ${ displaystyle w (x)}$. Poté pomocí a princip superpozice, můžeme říci, že konkrétní integrál ${ displaystyle y_ {p}}$ je

${ displaystyle y_ {p} = y_ {p_ {1}} + y_ {p_ {2}}.}$^[3]

Typické formy konkrétního integrálu

Abychom našli konkrétní integrál, musíme „uhodnout“ jeho formu, přičemž některé proměnné zůstanou jako proměnné, které se mají vyřešit. To má podobu první derivace doplňkové funkce. Níže je uvedena tabulka některých typických funkcí a řešení pro jejich odhad.

Funkce X	Formulář pro y
${ displaystyle ke ^ {ax} !}$	${ displaystyle Ce ^ {ax} !}$
${ displaystyle kx ^ {n}, ; n = 0,1,2, ldots !}$	${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} K_ {i} x ^ {i} !}$
${ displaystyle k cos (sekera) { text {nebo}} k sin (sekera) !}$	${ displaystyle K cos (sekera) + M sin (sekera) !}$
${ displaystyle ke ^ {ax} cos (bx) { text {nebo}} ke ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle e ^ {ax} (K cos (bx) + M sin (bx)) !}$
${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) { text {or}} left ( sum _ { i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} vpravo) sin (bx) !}$	${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) + left ( sum _ {i = 0} ^ {n } R_ {i} x ^ {i} vpravo) sin (bx)}$
${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) e ^ {ax} cos (bx) { text {or}} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ Displaystyle e ^ {ax} left ( left ( sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) + left ( sum _ {i = 0} ^ {n} R_ {i} x ^ {i} right) sin (bx) right)}$

Pokud je termín ve výše uvedeném konkrétním integrálu pro y objeví se v homogenním řešení, je nutné vynásobit dostatečně velkou silou X aby bylo řešení nezávislé. Pokud je funkce X je součet termínů ve výše uvedené tabulce, konkrétní integrál lze uhodnout pomocí součtu odpovídajících termínů pro y.^[1]

Příklady

Příklad 1

Najděte konkrétní integrál rovnice

${ displaystyle y '' + y = t cos t.}$

Pravá strana t cost má formu

${ displaystyle P_ {n} e ^ { alfa t} cos { beta t}}$

s n = 2, α = 0 a β = 1.

Od té doby α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice

${ displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0}$

měli bychom zkusit konkrétní integrál formy

${ displaystyle { begin {aligned} y_ {p} & = t left [F_ {1} (t) e ^ { alpha t} cos { beta t} + G_ {1} (t) e ^ { alpha t} sin { beta t} right] & = t left [F_ {1} (t) cos t + G_ {1} (t) sin t right] & = t left [ left (A_ {0} t + A_ {1} right) cos t + left (B_ {0} t + B_ {1} right) sin t right] & = left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t. konec {zarovnáno}}}$

Střídání y_p do diferenciální rovnice máme identitu

${ displaystyle { begin {aligned} t cos t & = y_ {p} '' + y_ {p} & = left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] '' + left [ left (A_ {0} t ^ {2 } + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] & = left [2A_ {0 } cos t + 2 left (2A_ {0} t + A_ {1} right) (- sin t) + left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) (- cos t) + 2B_ {0} sin t + 2 left (2B_ {0} t + B_ {1} right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ { 1} t right) (- sin t) right] & qquad + left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t vpravo) sin t vpravo] & = [4B_ {0} t + (2A_ {0} + 2B_ {1})] cos t + [-4A_ {0} t + (- 2A_ {1} + 2B_ {0})] sin t. End {zarovnáno}}}$

Při srovnání obou stran máme

${ displaystyle { begin {cases} 1 = 4B_ {0} 0 = 2A_ {0} + 2B_ {1} 0 = -4A_ {0} 0 = -2A_ {1} + 2B_ {0 } end {případy}}}$

který má řešení

${ displaystyle A_ {0} = 0, quad A_ {1} = B_ {0} = { frac {1} {4}}, quad B_ {1} = 0.}$

Pak máme konkrétní integrál

${ displaystyle y_ {p} = { frac {1} {4}} t cos t + { frac {1} {4}} t ^ {2} sin t.}$

Příklad 2

Zvažte následující lineární nehomogenní diferenciální rovnici:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = y + e ^ {x}.}$

Je to jako první příklad výše, kromě toho, že nehomogenní část (${ displaystyle e ^ {x}}$) je ne lineárně nezávislý na obecném řešení homogenní části (${ displaystyle c_ {1} e ^ {x}}$); ve výsledku musíme náš odhad vynásobit dostatečně velkou silou X aby byl lineárně nezávislý.

Zde se náš odhad stává:

${ displaystyle y_ {p} = Sekera ^ {x}.}$

Nahrazením této funkce a její derivace do diferenciální rovnice lze vyřešit A:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo (Ax ^ {x} right) = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle Ax ^ {x} + Ae ^ {x} = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle A = 1.}$

Obecné řešení této diferenciální rovnice tedy je:

${ displaystyle y = c_ {1} e ^ {x} + xe ^ {x}.}$

Příklad 3

Najděte obecné řešení rovnice:

${ displaystyle { frac {dy} {dt}} = t ^ {2} -y}$

${ displaystyle t ^ {2}}$ je polynom stupně 2, takže hledáme řešení ve stejné formě,

${ displaystyle y_ {p} = At ​​^ {2} + Bt + C,}$

Zapojením této konkrétní funkce do původní rovnice se získá,

${ displaystyle 2At + B = t ^ {2} - (At ^ {2} + Bt + C),}$

${ displaystyle 2At + B = (1-A) t ^ {2} -Bt-C,}$

${ displaystyle (A-1) t ^ {2} + (2A + B) t + (B + C) = 0.}$

který dává:

${ displaystyle A-1 = 0, quad 2A + B = 0, quad B + C = 0.}$

Řešení pro konstanty dostaneme:

${ displaystyle y_ {p} = t ^ {2} -2t + 2}$

Chcete-li vyřešit obecné řešení,

${ displaystyle y = y_ {p} + y_ {c}}$

kde ${ displaystyle y_ {c}}$ je homogenní řešení ${ displaystyle y_ {c} = c_ {1} e ^ {- t}}$, proto je obecným řešením:

${ displaystyle y = t ^ {2} -2t + 2 + c_ {1} e ^ {- t}}$

Reference

• Boyce, W. E .; DiPrima, R. C. (1986). Elementární diferenciální rovnice a problémy mezních hodnot (4. vydání). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-83824-1.
• Riley, K. F .; Bence, S. J. (2010). Matematické metody pro fyziku a inženýrství. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-86153-3.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Obyčejné diferenciální rovnice. Doveru. ISBN  978-0-486-64940-5.
• de Oliveira, O. R. B. (2013). Msgstr "Vzorec nahrazující neurčené koeficienty a anihilační metody". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080 / 0020739X.2012.714496. S2CID  55834468.