Frakční kvantová mechanika - Fractional quantum mechanics
v fyzika, frakční kvantová mechanika je zobecněním standardu kvantová mechanika, který přirozeně vyjde, když Brownovy kvantové dráhy nahradí v Lévyho podobné Feynmanova cesta integrální. Tento koncept objevil Nick Laskin kdo vytvořil tento termín frakční kvantová mechanika.[1]
Základy
Ke standardní kvantové mechanice lze přistupovat třemi různými způsoby: maticová mechanika, Schrödingerova rovnice a Feynmanova cesta integrální.
The Feynmanova cesta integrální[2] je integrální cesta přes Brownovo kvantově mechanické dráhy. Frakční kvantová mechanika byla objevena Nick Laskin (1999) v důsledku rozšíření Feynmanova cesta integrální, od Brownian-like k Lévy-jako kvantové mechanické dráhy. Cesta integrální přes Lévyho podobné kvantově mechanické dráhy má za následek zobecnění kvantová mechanika.[3] Pokud Feynmanova cesta integrální vede k dobře známým Schrödingerova rovnice, pak cesta integrál přes Lévy trajektorie vede k zlomková Schrödingerova rovnice.[4] The Lévyho proces je charakterizován Lévyho indexem α, 0 < α ≤ 2. Ve zvláštním případě, když α = 2 Lévyho proces se stává procesem Brownův pohyb. Frakční Schrödingerova rovnice obsahuje mezeru derivát částečného řádu α místo druhého řádu (α = 2) derivace prostoru ve standardní Schrödingerově rovnici. Frakční Schrödingerova rovnice je tedy a frakční diferenciální rovnice v souladu s moderní terminologií.[5] Toto je klíčový bod pro zavedení tohoto termínu zlomková Schrödingerova rovnice a obecnější termín frakční kvantová mechanika. Jak bylo uvedeno výše, v α = 2 stane se Lévyho pohyb Brownův pohyb. Frakční kvantová mechanika tedy zahrnuje standardní kvantovou mechaniku jako konkrétní případ α = 2. Kvantově-mechanická dráha integrální přes Lévyho dráhy v α = 2 se stává známým Feynmanova cesta integrální a zlomková Schrödingerova rovnice se stává známým Schrödingerova rovnice.
Frakční Schrödingerova rovnice
The zlomková Schrödingerova rovnice objeveno uživatelem Nick Laskin má následující podobu (viz odkazy [1,3,4])
pomocí standardních definic:
- r je trojrozměrný vektor polohy,
- ħ je redukovaný Planckova konstanta,
- ψ(r, t) je vlnová funkce, což je kvantově mechanická funkce, která určuje amplitudu pravděpodobnosti, aby částice měla danou polohu r kdykoliv t,
- PROTI(r, t) je potenciální energie,
- Δ = ∂2/∂r2 je Operátor Laplace.
Dále,
- Dα je konstanta stupnice s fyzická dimenze [Dα] = [energie]1 − α·[délka]α[čas]−α, na α = 2, D2 =1/2m, kde m je hmotnost částice,
- operátor (-ħ2Δ)α/2 je trojrozměrný frakční kvantový Rieszův derivát definovaný (viz odkazy [3, 4]);
Zde vlna funguje v pozice a mezery hybnosti; a jsou vzájemně propojeny trojrozměrným Fourierovy transformace:
Index α ve zlomkové Schrödingerově rovnici je Lévyho index, 1 <α ≤ 2.
Frakční kvantová mechanika v systémech v pevné fázi
Efektivní hmotnost stavů v systémech v pevné fázi může záviset na vlnovém vektoru k, tj. Formálně se uvažuje m = m (k). Kondenzátové režimy Polariton Bose-Einstein jsou příklady stavů v systémech v pevné fázi s hmotou citlivou na variace a lokálně v k je experimentálně proveditelná frakční kvantová mechanika.
Viz také
- Kvantová mechanika
- Maticová mechanika
- Frakční počet
- Frakční dynamika
- Frakční Schrödingerova rovnice
- Nelineární Schrödingerova rovnice
- Integrální formulace cesty
- Vztah mezi Schrödingerovou rovnicí a dráhovou integrální formulací kvantové mechaniky
- Lévyho proces
Reference
- ^ Laskin, Nikolai (2000). „Frakční kvantová mechanika a integrály Lévyho dráhy“. Fyzikální písmena A. 268 (4–6): 298–305. arXiv:hep-ph / 9910419. doi:10.1016 / S0375-9601 (00) 00201-2.
- ^ R. P. Feynman a A. R. Hibbs, Kvantová mechanika a integrály cest ~ McGraw-Hill, New York, 1965
- ^ Laskin, Nick (1. srpna 2000). „Frakční kvantová mechanika“. Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 62 (3): 3135–3145. arXiv:0811.1769. Bibcode:2000PhRvE..62,3135L. doi:10.1103 / fyzreve.62.3135. ISSN 1063-651X.
- ^ Laskin, Nick (18. listopadu 2002). "Frakční Schrödingerova rovnice". Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph / 0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. doi:10.1103 / physreve.66.056108. ISSN 1063-651X. PMID 12513557.
- ^ S. G. Samko, A. A. Kilbas a O. I. Marichev, FractionalIntegrals and Derivatives, Theory and Applications ~ Gordonand Breach, Amsterdam, 1993
- Samko, S .; Kilbas, A.A .; Marichev, O. (1993). Frakční integrály a deriváty: teorie a aplikace. Taylor & Francis Books. ISBN 978-2-88124-864-1.
- Kilbas, A. A .; Srivastava, H. M .; Trujillo, J. J. (2006). Teorie a aplikace zlomkových diferenciálních rovnic. Amsterdam, Nizozemsko: Elsevier. ISBN 978-0-444-51832-3.
- Herrmann, R. (2014). Frakční kalkul - úvod pro fyziky. Singapur: World Scientific. doi:10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6.
- Laskin, N. (2018). Frakční kvantová mechanika. World Scientific. CiteSeerX 10.1.1.247.5449. doi:10.1142/10541. ISBN 978-981-322-379-0.
- Pinsker, F .; Bao, W .; Zhang, Y .; Ohadi, H .; Dreismann, A .; Baumberg, J. J. (25. listopadu 2015). „Frakční kvantová mechanika v polaritonových kondenzátech s hmotou závislou na rychlosti“. Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 92 (19): 195310. arXiv:1508.03621. doi:10.1103 / fyzrevb.92.195310. ISSN 1098-0121.
Další čtení
- Amaral, RLP G do; Marino, EC (7. října 1992). "Kanonická kvantizace teorií obsahujících zlomkové síly d'Alembertianského operátoru". Journal of Physics A: Mathematical and General. Publikování IOP. 25 (19): 5183–5200. doi:10.1088/0305-4470/25/19/026. ISSN 0305-4470.
- On, Xing-Fei (15. prosince 1990). "Frakční rozměrnost a frakční derivační spektra interbandových optických přechodů". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 42 (18): 11751–11756. doi:10.1103 / physrevb.42.11751. ISSN 0163-1829.
- Iomin, Alexander (28. srpna 2009). „Kvantová dynamika ve zlomkovém čase“. Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 80 (2): 022103. arXiv:0909.1183. doi:10.1103 / physreve.80.022103. ISSN 1539-3755.
- Matos-Abiague, A (5. prosince 2001). "Deformace kvantové mechaniky ve frakčně-dimenzionálním prostoru". Journal of Physics A: Mathematical and General. Publikování IOP. 34 (49): 11059–11068. arXiv:quant-ph / 0107062. doi:10.1088/0305-4470/34/49/321. ISSN 0305-4470.
- Laskin, Nick (2000). "Fraktály a kvantová mechanika". Chaos: Interdisciplinární žurnál nelineárních věd. Publikování AIP. 10 (4): 780. doi:10.1063/1.1050284. ISSN 1054-1500.
- Naber, Mark (2004). "Časově zlomková Schrödingerova rovnice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 45 (8): 3339–3352. arXiv:math-ph / 0410028. doi:10.1063/1.1769611. ISSN 0022-2488.
- Tarasov, Vasily E. (2008). "Frakční Heisenbergova rovnice". Fyzikální písmena A. Elsevier BV. 372 (17): 2984–2988. arXiv:0804.0586. doi:10.1016 / j.physleta.2008.01.037. ISSN 0375-9601.
- Tarasov, Vasily E. (2008). "Weyl kvantování frakčních derivátů". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 49 (10): 102112. arXiv:0907.2699. doi:10.1063/1.3009533. ISSN 0022-2488.
- Wang, Shaowei; Xu, Mingyu (2007). "Zobecněná zlomková Schrödingerova rovnice s časoprostorovými zlomkovými derivacemi". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 48 (4): 043502. doi:10.1063/1.2716203. ISSN 0022-2488.
- de Oliveira, E Capelas; Vaz, Jayme (5. dubna 2011). "Tunelování ve zlomkové kvantové mechanice". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. Publikování IOP. 44 (18): 185303. arXiv:1011.1948. doi:10.1088/1751-8113/44/18/185303. ISSN 1751-8113.
- Tarasov, Vasily E. (2010). "Frakční dynamika otevřených kvantových systémů". Nelineární fyzikální věda. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 467–490. doi:10.1007/978-3-642-14003-7_20. ISBN 978-3-642-14002-0. ISSN 1867-8440.
- Tarasov, Vasily E. (2010). "Frakční dynamika hamiltonovských kvantových systémů". Nelineární fyzikální věda. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 457–466. doi:10.1007/978-3-642-14003-7_19. ISBN 978-3-642-14002-0. ISSN 1867-8440.