Zpožďovací diferenciální rovnice - Delay differential equation

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraický Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

v matematika, zpožďovací diferenciální rovnice (DDE) jsou typem diferenciální rovnice ve kterém je derivace neznámé funkce v určitém čase uvedena z hlediska hodnot funkce v předchozích časech. DDE se také nazývají systémy s časovým zpožděním, systémy s aftereffect nebo dead-time, dědičné systémy, rovnice s odchylujícími se argumenty nebo diferenciální diferenciální rovnice. Patří do třídy systémů s funkční stav, tj. parciální diferenciální rovnice (PDE), které jsou nekonečně rozměrné, na rozdíl od obyčejné diferenciální rovnice (ODR) mající vektor konečného rozměrného stavu. Čtyři body mohou poskytnout možné vysvětlení popularity DDE:^[1]

1. Aftereffect je aplikovaný problém: je dobře známo, že spolu s rostoucími očekáváními dynamických výkonů potřebují inženýři, aby se jejich modely chovaly spíše jako skutečný proces. Mnoho procesů zahrnuje do své vnitřní dynamiky jevy po následcích. Navíc, pohony, senzory, a komunikační sítě které jsou nyní zapojeny do regulačních smyček zpětné vazby, zavádějí taková zpoždění. A konečně, kromě skutečných zpoždění se často používají časové prodlevy ke zjednodušení modelů velmi vysokého řádu. Poté zájem o DDE neustále roste ve všech vědeckých oblastech a zejména v řídicí technice.
2. Systémy zpoždění jsou stále odolné vůči mnoha klasický řadiče: dalo by se myslet, že nejjednodušší přístup spočívá v jejich nahrazení některými konečnými dimenzionálními aproximacemi. Ignorování efektů, které jsou adekvátně zastoupeny DDE, bohužel není obecnou alternativou: v nejlepší situaci (stálé a známé zpoždění) to vede ke stejné míře složitosti v návrhu řízení. V nejhorších případech (například časově proměnlivá zpoždění) je to z hlediska stability a oscilací potenciálně katastrofální.
3. Dobrovolné zavedení zpoždění může být přínosem pro kontrolní systém.^[2]
4. Navzdory své složitosti se DDE často objevují jako jednoduché modely nekonečné dimenze ve velmi složité oblasti parciální diferenciální rovnice (PDE).

Obecná forma diferenciální rovnice zpoždění pro ${displaystyle x (t) v mathbb {R} ^ {n}}$ je

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),}$

kde ${displaystyle x_ {t} = {x (au): au leq t}}$ představuje trajektorii řešení v minulosti. V této rovnici ${displaystyle f}$ je funkční operátor z${displaystyle mathbb {R} imes mathbb {R} ^ {n} imes C ^ {1} (mathbb {R}, mathbb {R} ^ {n})}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.,}$

Příklady

• Trvalé zpoždění

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = fleft (t, x (t), int _ {- infty} ^ {0} x (t + au), {m {d}} mu (au) ight)}$

• Diskrétní zpoždění

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x (t- au _ {1}), dotsc, x (t - au _ {m}))}$ pro ${displaystyle au _ {1}> dotsb> au _ {m} geq 0}$.

• Lineární s diskrétními zpožděními

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- au _ {1}) + dotsb + A_ {m} x (t- au _ {m})}$

kde ${displaystyle A_ {0}, dotsc, A_ {m} in mathbb {R} ^ {n imes n}}$.

• Rovnice pantografu

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = sekera (t) + bx (lambda t),}$

kde A, b a λ jsou konstanty a 0 <λ <1. Tato rovnice a některé obecnější formy jsou pojmenovány po sběrače ve vlacích.^[3][4]

Řešení DDE

DDE se většinou řeší postupným způsobem s principem nazývaným metoda kroků. Zvažte například DDE s jediným zpožděním

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = f (x (t), x (t- au))}$

s danou počáteční podmínkou ${displaystyle phi colon [- au, 0] ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$. Pak řešení na intervalu ${displaystyle [0, au]}$ darováno ${displaystyle psi (t)}$ což je řešení nehomogenního problém počáteční hodnoty

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} psi (t) = f (psi (t), phi (t- au))}$,

s ${displaystyle psi (0) = phi (0)}$. To může pokračovat pro následné intervaly pomocí řešení předchozího intervalu jako nehomogenního výrazu. V praxi je problém počáteční hodnoty často řešen numericky.

Příklad

Předpokládat ${displaystyle f (x (t), x (t- au)) = sekera (t- au)}$ a ${displaystyle phi (t) = 1}$. Poté lze problém počáteční hodnoty vyřešit integrací,

${displaystyle x (t) = x (0) + int _ {s = 0} ^ {t} {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (s), {m {d }} s = 1 + není _ {s = 0} ^ {t} phi (s- au), {m {d}} s,}$

tj., ${displaystyle x (t) = v + 1}$, kde je počáteční podmínka dána vztahem ${displaystyle x (0) = phi (0) = 1}$. Podobně pro interval${displaystyle tin [au, 2 au]}$ integrujeme a přizpůsobíme počáteční stav,

${displaystyle {egin {aligned} x (t) = x (au) & {} + int _ {s = au} ^ {t} {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (s), {m {d}} s = (a au +1) & {} + aint _ {s = au} ^ {t} a (s- au) +1, {m {d}} s = (a au +1) + není _ {s = 0} ^ {t- au} jako +1, {m {d}} s, konec {zarovnáno}}}$

tj., ${displaystyle x (t) = (a au +1) + a (t- au) vlevo ({frac {a (t- au)} {2}} + 1 světlo).}$

Redukce na ODR

V některých případech mohou být diferenciální rovnice reprezentovány ve formátu, který vypadá jako zpoždění diferenciální rovnice.

• Příklad 1 Zvažte rovnici

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = fleft (t, x (t), int _ {- infty} ^ {0} x (t + au) e ^ {lambda au}, {m {d}} automaticky).}$

Představit ${displaystyle y (t) = int _ {- infty} ^ {0} x (t + au) e ^ {lambda au}, {m {d}} au}$ získat systém ODR

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), quad {frac {m {d}} {{m {d}} t}} y (t) = x-lambda y.}$

• Příklad 2 Rovnice

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = fleft (t, x (t), int _ {- infty} ^ {0} x (t + au) cos (alfa au + eta), {m {d}} au ight)}$

je ekvivalentní k

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), quad {frac {m {d}} {{m {d}} t}} y (t) = cos (eta) x + alfa z, quad {frac {m {d}} {{m {d}} t}} z (t) = sin (eta) x-alfa y, }$

kde

${displaystyle y = int _ {- infty} ^ {0} x (t + au) cos (alpha au + eta), {m {d}} au, quad z = int _ {- infty} ^ {0} x ( t + au) sin (alfa au + eta), {m {d}} au.}$

Charakteristická rovnice

Podobný ODR, mnoho vlastností lineárních DDE lze charakterizovat a analyzovat pomocí charakteristická rovnice.^[5]Charakteristická rovnice spojená s lineárním DDE s diskrétními zpožděními

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- au _ {1}) + dotsb + A_ {m} x (t- au _ {m})}$

je

${displaystyle {m {det}} (- lambda I + A_ {0} + A_ {1} e ^ {- au _ {1} lambda} + dotsb + A_ {m} e ^ {- au _ {m} lambda }) = 0}$.

Kořeny λ charakteristické rovnice se nazývají charakteristické kořeny nebo vlastní hodnoty a množina řešení se často označuje jako spektrum. Kvůli exponenciálu v charakteristické rovnici má DDE, na rozdíl od případu ODE, nekonečný počet vlastních čísel, takže spektrální analýza více zapojeni. Spektrum však má některé vlastnosti, které lze při analýze využít. Například i když existuje nekonečný počet vlastních čísel, existuje pouze konečný počet vlastních čísel napravo od jakékoli svislé čáry v komplexní rovině.^{[Citace je zapotřebí ]}

Tato charakteristická rovnice je a nelineární vlastní problém a existuje mnoho metod pro výpočet spektra numericky.^[6] V některých zvláštních situacích je možné charakteristickou rovnici vyřešit explicitně. Zvažte například následující DDE:

${displaystyle {frac {m {d}} {{m {d}} t}} x (t) = - x (t-1).}$

Charakteristická rovnice je

${displaystyle -lambda -e ^ {- lambda} = 0.,}$

Existuje nekonečné množství řešení této rovnice pro komplexní λ. Jsou dány

${displaystyle lambda = W_ {k} (- 1)}$,

kde Ž_k je kth pobočka Funkce Lambert W..

Aplikace

• Dynamika cukrovka^[7]
• Epidemiologie^[8][9]
• Populační dynamika^[10]

Viz také

• Funkční diferenciální rovnice

Reference

Další čtení

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Numerické metody pro zpoždění diferenciálních rovnic. Numerická matematika a vědecké výpočty. Oxford, Velká Británie: Oxford University Press. ISBN  978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Diferenciální diferenciální rovnice (PDF). Matematika ve vědě a inženýrství. New York, NY: Academic Press. ISBN  978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Systémy lineárního střídání parametrů a časového zpoždění: analýza, pozorování, filtrování a řízení. Pokroky ve zpožděních a dynamice. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN  978-3662440490.
• Řidič, Rodney D. (1977). Obyčejné a zpožděné diferenciální rovnice. Aplikované matematické vědy. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Aplikované diferenciální rovnice zpoždění. Průzkumy a návody v aplikovaných matematických vědách. New York, NY: Springer Science + Business Media. ISBN  978-0387743714.

externí odkazy

• Přeskočit Thompsona (ed.). „Zpožďovací-diferenciální rovnice“. Scholarpedia.