Variace parametrů - Variation of parameters

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraické Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

v matematika, variace parametrů, také známý jako variace konstant, je obecná metoda řešení nehomogenní lineární obyčejné diferenciální rovnice.

Pro nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu je obvykle možné najít řešení pomocí integrační faktory nebo neurčené koeficienty s podstatně menším úsilím, i když tyto metody využívají heuristika které zahrnují hádání a nefungují pro všechny nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

Variace parametrů sahá až k lineární parciální diferenciální rovnice také konkrétně nehomogenní problémy pro rovnice lineárního vývoje, jako je rovnice tepla, vlnová rovnice, a vibrační deska rovnice. V tomto nastavení je metoda častěji známá jako Duhamelův princip, pojmenoval podle Jean-Marie Duhamel (1797–1872), který nejprve použil metodu k řešení nehomogenní rovnice tepla. Někdy se variace parametrů sama nazývá Duhamelův princip a naopak.

Dějiny

Metodu změny parametrů poprvé načrtl švýcarský matematik Leonhard Euler (1707–1783) a později ji dokončil italsko-francouzský matematik Joseph-Louis Lagrange (1736–1813).^[1]

Předchůdce metody variace orbitálních prvků nebeského tělesa se objevil v Eulerově díle v roce 1748, když studoval vzájemné poruchy Jupitera a Saturna.^[2] Ve své studii o pohybu Země v roce 1749 získal Euler diferenciální rovnice pro orbitální prvky.^[3] V roce 1753 použil tuto metodu ke studiu pohybů měsíce.^[4]

Lagrange poprvé použil metodu v roce 1766.^[5] V letech 1778 až 1783 dále rozvinul metodu ve dvou sériích pamětí: jedna o variacích pohybů planet^[6] a další o určení oběžné dráhy komety ze tří pozorování.^[7] V letech 1808–1810 dal Lagrange ve třetí sérii příspěvků metodě variací parametrů finální podobu.^[8]

Intuitivní vysvětlení

Zvažte rovnici vynucené disperzní pružiny ve vhodných jednotkách:

${ displaystyle x '' (t) + x (t) = F (t).}$

Tady X je posunutí pružiny od rovnováhy X = 0, a F(t) je vnější působící síla, která závisí na čase. Když je vnější síla nulová, jedná se o homogenní rovnici (jejíž řešení jsou lineární kombinace sinusů a kosinů, odpovídající pružině kmitající s konstantní celkovou energií).

Řešení můžeme postavit fyzicky následujícím způsobem. Mezi časy ${ displaystyle t = s}$ a ${ displaystyle t = s + ds}$, hybnost odpovídající řešení má čistou změnu ${ displaystyle F (s) , ds}$ (vidět: Impuls (fyzika) ). Řešení nehomogenní rovnice v současné době t > 0, se získá lineárním překrýváním takto získaných roztoků pro s mezi 0 a t.

Homogenní problém počáteční hodnoty, představující malý impuls ${ displaystyle F (s) , ds}$ se přidává do řešení v čase ${ displaystyle t = s}$, je

${ Displaystyle x '' (t) + x (t) = 0, quad x (s) = 0, x '(s) = F (s) , ds.}$

Jedinečné řešení tohoto problému lze snadno vidět ${ displaystyle x (t) = F (s) sin (t-s) , ds}$. Lineární superpozice všech těchto řešení je dána integrálem:

${ displaystyle x (t) = int _ {0} ^ {t} F (s) sin (t-s) , ds.}$

Chcete-li ověřit, zda toto splňuje požadovanou rovnici:

${ displaystyle x '(t) = int _ {0} ^ {t} F (s) cos (t-s) , ds}$

${ displaystyle x '' (t) = F (t) - int _ {0} ^ {t} F (s) sin (t-s) , ds = F (t) -x (t),}$

podle potřeby (viz: Leibnizovo integrální pravidlo ).

Obecná metoda variace parametrů umožňuje řešení nehomogenní lineární rovnice

${ displaystyle Lx (t) = F (t)}$

pomocí uvažování lineárního diferenciálního operátoru druhého řádu L být čistá síla, tedy celkový impuls předávaný řešení mezi časem s a s+ds je F(s)ds. Označit podle ${ displaystyle x_ {s}}$ řešení problému homogenní počáteční hodnoty

${ Displaystyle Lx (t) = 0, quad x (s) = 0, x '(s) = F (s) , ds.}$

Pak je konkrétní řešení nehomogenní rovnice

${ displaystyle x (t) = int _ {0} ^ {t} x_ {s} (t) , ds,}$

výsledek lineárního superpozice nekonečně homogenních řešení. Existují zobecnění lineárních diferenciálních operátorů vyššího řádu.

V praxi variace parametrů obvykle zahrnuje základní řešení homogenního problému, nekonečně malá řešení ${ displaystyle x_ {s}}$ pak je dán v podmínkách explicitní lineární kombinace lineárně nezávislých základních řešení. V případě vynucené disperzní pružiny jádro ${ displaystyle sin (t-s) = sin t cos s- sin s cos t}$ je související rozklad na základní řešení.

Popis metody

Vzhledem k běžné nehomogenní lineární diferenciální rovnici řádu n

${ displaystyle y ^ {(n)} (x) + součet _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) y ^ {(i)} (x) = b (x) . quad quad { rm {(i)}}}$

Nechat ${ displaystyle y_ {1} (x), ldots, y_ {n} (x)}$ být základní systém řešení odpovídající homogenní rovnice

${ displaystyle y ^ {(n)} (x) + součet _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) y ^ {(i)} (x) = 0. quad quad { rm {(ii)}}}$

Pak konkrétní řešení nehomogenní rovnice je dána vztahem

${ displaystyle y_ {p} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} (x) quad quad { rm {(iii)}} }$

Kde ${ displaystyle c_ {i} (x)}$ jsou rozlišitelné funkce, u nichž se předpokládá, že splňují podmínky

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(j)} (x) = 0, quad j = 0, ldots, n- 2. quad quad { rm {(iv)}}}$

Počínaje bodem (iii) opakovaná diferenciace kombinovaná s opakovaným použitím bodu (iv) dává

${ displaystyle y_ {p} ^ {(j)} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} ^ {(j)} (x), quad j = 0, ldots, n-1 , mathrm {.} quad quad { rm {(v)}}}$

Jedna poslední diferenciace dává

${ displaystyle y_ {p} ^ {(n)} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(n-1)} ( x) + sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} ^ {(n)} (x) , mathrm {.} quad quad { rm { (vi)}}}$

Nahrazením (iii) do (i) a použitím (v) a (vi) z toho vyplývá

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = b (x). quad quad { rm {(vii)}}}$

Lineární systém (iv a vii) z n rovnice lze poté vyřešit pomocí Cramerovo pravidlo poddajný

${ displaystyle c_ {i} '(x) = { frac {W_ {i} (x)} {W (x)}}, , quad i = 1, ldots, n}$

kde ${ displaystyle W (x)}$ je Wronskian determinant základního systému a ${ displaystyle W_ {i} (x)}$ je Wronskian determinant základního systému s i-tý sloupec nahrazen ${ displaystyle (0,0, ldots, b (x)).}$

Konkrétní řešení nehomogenní rovnice lze potom zapsat jako

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (x) , int { frac {W_ {i} (x)} {W (x)}} , mathrm { d} x.}$

Příklady

Rovnice prvního řádu

${ displaystyle y '+ p (x) y = q (x)}$

Obecné řešení odpovídající homogenní rovnice (napsané níže) je doplňkovým řešením k naší původní (nehomogenní) rovnici:

${ displaystyle y '+ p (x) y = 0}$.

Tuto homogenní diferenciální rovnici lze vyřešit například různými metodami oddělení proměnných:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} y + p (x) y = 0}$

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = - p (x) y}$

${ displaystyle {dy over y} = - {p (x) dx},}$

${ displaystyle int { frac {1} {y}} , dy = - int p (x) , dx}$

${ displaystyle ln | y | = - int p (x) , dx + C}$

${ displaystyle y = pm e ^ {- int p (x) , dx + C} = C_ {0} e ^ {- int p (x) , dx}}$

Doplňkovým řešením naší původní rovnice je tedy:

${ displaystyle y_ {c} = C_ {0} e ^ {- int p (x) , dx}}$

Nyní se vracíme k řešení nehomogenní rovnice:

${ displaystyle y '+ p (x) y = q (x)}$

Pomocí metodické variace parametrů je konkrétní řešení vytvořeno vynásobením doplňkového řešení neznámou funkcí C (x):

${ displaystyle y_ {p} = C (x) e ^ {- int p (x) , dx}}$

Dosazením konkrétního řešení do nehomogenní rovnice můžeme najít C (x):

${ Displaystyle C '(x) e ^ {- int p (x) , dx} -C (x) p (x) e ^ {- int p (x) , dx} + p (x) C (x) e ^ {- int p (x) , dx} = q (x)}$

${ displaystyle C '(x) e ^ {- int p (x) , dx} = q (x)}$

${ displaystyle C '(x) = q (x) e ^ { int p (x) , dx}}$

${ displaystyle C (x) = int q (x) e ^ { int p (x) , dx} , dx + C_ {1}}$

Potřebujeme pouze jedno konkrétní řešení, a proto si svévolně vybereme ${ displaystyle C_ {1} = 0}$ pro jednoduchost. Konkrétním řešením je tedy:

${ displaystyle y_ {p} = e ^ {- int p (x) , dx} int q (x) e ^ { int p (x) , dx} , dx}$

Konečné řešení diferenciální rovnice je:

${ displaystyle { begin {sladěno} y & = y_ {c} + y_ {p} & = C_ {0} e ^ {- int p (x) , dx} + e ^ {- int p (x) , dx} int q (x) e ^ { int p (x) , dx} , dx end {zarovnáno}}}$

Tím se znovu vytvoří metoda integrační faktory.

Specifická rovnice druhého řádu

Pojďme to vyřešit

${ displaystyle y '' + 4y '+ 4y = cosh x}$

Chceme najít obecné řešení diferenciální rovnice, to znamená, že chceme najít řešení homogenní diferenciální rovnice

${ displaystyle y '' + 4y '+ 4y = 0.}$

The charakteristická rovnice je:

${ displaystyle lambda ^ {2} +4 lambda +4 = ( lambda +2) ^ {2} = 0}$

Od té doby ${ displaystyle lambda = -2}$ je opakovaný kořen, musíme zavést faktor X pro jedno řešení k zajištění lineární nezávislosti: u₁ = E^−2X a u₂ = xe^−2X. The Wronskian těchto dvou funkcí je

${ displaystyle W = { begin {vmatrix} e ^ {- 2x} & xe ^ {- 2x} - 2e ^ {- 2x} & - e ^ {- 2x} (2x-1) konec { vmatrix}} = - e ^ {- 2x} e ^ {- 2x} (2x-1) + 2xe ^ {- 2x} e ^ {- 2x} = e ^ {- 4x}.}$

Vzhledem k tomu, že Wronskian není nula, jsou obě funkce lineárně nezávislé, takže toto je ve skutečnosti obecné řešení pro homogenní diferenciální rovnici (a nikoli pouhou její podmnožinu).

Hledáme funkce A(X) a B(X) tak A(X)u₁ + B(X)u₂ je konkrétní řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály

${ displaystyle A (x) = - int {1 nad W} u_ {2} (x) b (x) , mathrm {d} x, ; B (x) = int {1 nad W} u_ {1} (x) b (x) , mathrm {d} x}$

Připomeňme si, že pro tento příklad

${ displaystyle b (x) = cosh x}$

To znamená,

${ displaystyle A (x) = - int {1 over e ^ {- 4x}} xe ^ {- 2x} cosh x , mathrm {d} x = - int xe ^ {2x} cosh x , mathrm {d} x = - {1 nad 18} e ^ {x} (9 (x-1) + e ^ {2x} (3x-1)) + C_ {1}}$

${ displaystyle B (x) = int {1 over e ^ {- 4x}} e ^ {- 2x} cosh x , mathrm {d} x = int e ^ {2x} cosh x , mathrm {d} x = {1 nad 6} e ^ {x} (3 + e ^ {2x}) + C_ {2}}$

kde ${ displaystyle C_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2}}$ jsou konstanty integrace.

Obecná rovnice druhého řádu

Máme diferenciální rovnici tvaru

${ displaystyle u '' + p (x) u '+ q (x) u = f (x)}$

a definujeme lineární operátor

${ displaystyle L = D ^ {2} + p (x) D + q (x)}$

kde D představuje operátor diferenciálu. Musíme tedy rovnici vyřešit ${ displaystyle Lu (x) = f (x)}$ pro ${ displaystyle u (x)}$, kde ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle f (x)}$ jsou známy.

Nejprve musíme vyřešit odpovídající homogenní rovnici:

${ displaystyle u '+ p (x) u' + q (x) u = 0}$

technikou podle našeho výběru. Jakmile jsme získali dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože tato ODR je druhého řádu) - zavolejte jim u₁ a u₂ - můžeme pokračovat s variací parametrů.

Nyní hledáme obecné řešení diferenciální rovnice ${ displaystyle u_ {G} (x)}$ o kterém předpokládáme, že má formu

${ displaystyle u_ {G} (x) = A (x) u_ {1} (x) + B (x) u_ {2} (x).}$

Tady, ${ displaystyle A (x)}$ a ${ displaystyle B (x)}$ jsou neznámé a ${ displaystyle u_ {1} (x)}$ a ${ displaystyle u_ {2} (x)}$ jsou řešení homogenní rovnice. (Všimněte si, že pokud ${ displaystyle A (x)}$ a ${ displaystyle B (x)}$ jsou tedy konstanty ${ displaystyle Lu_ {G} (x) = 0}$.) Jelikož výše uvedená je pouze jedna rovnice a máme dvě neznámé funkce, je rozumné uložit druhou podmínku. Vybíráme následující:

${ displaystyle A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) = 0.}$

Nyní,

${ displaystyle { begin {aligned} u_ {G} '(x) & = left (A (x) u_ {1} (x) + B (x) u_ {2} (x) right)' & = left (A (x) u_ {1} (x) right) '+ left (B (x) u_ {2} (x) right)' & = A '(x) u_) {1} (x) + A (x) u_ {1} '(x) + B' (x) u_ {2} (x) + B (x) u_ {2} '(x) & = A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) + A (x) u_ {1} '(x) + B (x) u_ {2}' (x) & = A (x) u_ {1} '(x) + B (x) u_ {2}' (x) end {zarovnáno}}}$

Opětovné rozlišení (vynechání mezilehlých kroků)

${ displaystyle u_ {G} '(x) = A (x) u_ {1}' (x) + B (x) u_ {2} '(x) + A' (x) u_ {1} '(x) + B' (x) u_ {2} '(x).}$

Nyní můžeme napsat akci L na u_G tak jako

${ displaystyle Lu_ {G} = A (x) Lu_ {1} (x) + B (x) Lu_ {2} (x) + A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x ) u_ {2} '(x).}$

Od té doby u₁ a u₂ jsou tedy řešení

${ displaystyle Lu_ {G} = A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x).}$

Máme soustavu rovnic

${ displaystyle { begin {pmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) u_ {1} '(x) & u_ {2}' (x) end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A '(x) B' (x) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 f end {pmatrix}}.}$

Rozšiřující se,

${ displaystyle { begin {pmatrix} A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 f end {pmatrix}}.}$

Výše uvedený systém tedy přesně určuje podmínky

${ displaystyle A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) = 0.}$

${ displaystyle A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x) = Lu_ {G} = f.}$

Hledáme A(X) a B(X) z těchto podmínek, tak, dané

${ displaystyle { begin {pmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) u_ {1} '(x) & u_ {2}' (x) end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A '(x) B' (x) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 f end {pmatrix}}}$

můžeme vyřešit pro (A′(X), B′(X))^T, tak

${ displaystyle { begin {pmatrix} A '(x) B' (x) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) u_ {1} '(x) & u_ {2}' (x) end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} 0 f end {pmatrix}} = { frac {1} {W}} { begin {pmatrix} u_ {2} '(x) & - u_ {2} (x) - u_ {1}' (x) & u_ {1} (x) end {pmatrix}) } { begin {pmatrix} 0 f end {pmatrix}},}$

kde Ž označuje Wronskian z u₁ a u₂. (Víme, že Ž je nenulová, z předpokladu, že u₁ a u₂ jsou lineárně nezávislé.) Takže,

${ displaystyle { begin {aligned} A '(x) & = - {1 over W} u_ {2} (x) f (x), ; B' (x) = {1 over W} u_ {1} (x) f (x) A (x) & = - int {1 over W} u_ {2} (x) f (x) , mathrm {d} x, ; B (x) = int {1 over W} u_ {1} (x) f (x) , mathrm {d} x end {zarovnáno}}}$

Zatímco homogenní rovnice jsou relativně snadno řešitelné, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení vhomogenní rovnice, a tak lze určit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že ${ displaystyle A (x)}$ a ${ displaystyle B (x)}$ jsou určeny pouze do libovolné aditivní konstanty ( konstanta integrace ). Přidání konstanty do ${ displaystyle A (x)}$ nebo ${ displaystyle B (x)}$ nemění hodnotu ${ displaystyle Lu_ {G} (x)}$ protože extra termín je jen lineární kombinací u₁ a u₂, což je řešení ${ displaystyle L}$ podle definice.

Poznámky

Reference

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teorie obyčejných diferenciálních rovnic. McGraw-Hill.
• Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2005). Elementární diferenciální rovnice a problémy mezních hodnot (8. vydání). Wiley. 186–192, 237–241.
• Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Americká matematická společnost.

externí odkazy

• Online poznámky / důkaz Paul Dawkins, Lamar University.
• Stránka PlanetMath.
• POZNÁMKA O ZPŮSOBU ZMĚNY PARAMETRŮ LAGRANGE