Pseudo-diferenciální operátor - Pseudo-differential operator
v matematická analýza A operátor pseudo-diferenciálu je rozšířením pojmu operátor diferenciálu. Pseudo-diferenciální operátory jsou hojně používány v teorii parciální diferenciální rovnice a kvantová teorie pole.
Dějiny
Studium pseudo-diferenciálních operátorů začalo v polovině 60. let prací Kohn, Nirenberg, Hörmandere, Unterberger a Bokobza.[1]
Ve druhém důkazu hráli vlivnou roli Atiyah – Singerova věta o indexu přes K-teorii. Atiyah a Singer poděkovali Hörmandere za pomoc s porozuměním teorii pseudo-diferenciálních operátorů.[2]
Motivace
Lineární diferenciální operátory s konstantními koeficienty
Zvažte lineární operátor diferenciálu s konstantními koeficienty,
který působí na hladké funkce s kompaktní podporou v Rn.Tento operátor lze psát jako složení a Fourierova transformace, jednoduchý násobení polynomickou funkcí (tzv symbol)
a inverzní Fourierova transformace ve formě:
(1)
Tady, je multi-index, jsou komplexní čísla a
je iterovaná parciální derivace, kde ∂j znamená rozlišení s ohledem na j-tá proměnná. Představíme konstanty k usnadnění výpočtu Fourierových transformací.
- Odvození vzorce (1)
Fourierova transformace plynulé funkce u, kompaktně podporováno v Rn, je
a Fourierův inverzní vzorec dává
Aplikováním P(D) k tomuto zastoupení u a pomocí
jeden získá vzorec (1).
Reprezentace řešení parciálních diferenciálních rovnic
Vyřešit parciální diferenciální rovnici
my (formálně) aplikujeme Fourierovu transformaci na obě strany a získáme algebraický rovnice
Pokud symbol P(ξ) není nikdy nula, když ξ ∈Rn, pak je možné dělit P(ξ):
Podle Fourierova inverzního vzorce je řešení
Zde se předpokládá, že:
- P(D) je operátor lineárního diferenciálu s konstantní koeficienty,
- jeho symbol P(ξ) není nikdy nula,
- oba u a ƒ mají dobře definovanou Fourierovu transformaci.
Poslední předpoklad lze oslabit použitím teorie distribuce První dva předpoklady mohou být oslabeny následovně.
V posledním vzorci zapište Fourierovu transformaci ƒ, abyste získali
Je to podobné jako u vzorce (1), kromě toho, že 1 /P(ξ) není polynomiální funkce, ale funkce obecnějšího druhu.
Definice pseudo-diferenciálních operátorů
Zde vidíme pseudo-diferenciální operátory jako zobecnění diferenciálních operátorů. Vzorec (1) rozšiřujeme následovně. A operátor pseudo-diferenciálu P(X,D) zapnuto Rn je operátor, jehož hodnota na funkci u (x) je funkce X:
(2)
kde je Fourierova transformace z u a symbol P(X, ξ) v integrand patří určitému třída symbolůNapříklad, pokud P(X, ξ) je nekonečně diferencovatelná funkce Rn × Rn s majetkem
pro všechny X, ξ ∈Rn, všechny víceindexy α, β, některé konstanty Cα, β a nějaké skutečné číslo m, pak P patří do třídy symbolů z Hörmandere. Odpovídající operátor P(X,D) se nazývá a pseudo-diferenciální operátor řádu m a patří do třídy
Vlastnosti
Lineární diferenciální operátory řádu m s hladce ohraničenými koeficienty jsou pseudodiferenciální operátoři řádu m.Kompozice PQ dvou pseudo-diferenciálních operátorů P, Q je opět pseudo-diferenciálním operátorem a symbolem PQ lze vypočítat pomocí symbolů P a Q. Adjunkt a transpozice pseudo-diferenciálního operátora je pseudo-diferenciální operátor.
Pokud diferenciální operátor objednávky m je (rovnoměrně) eliptické (objednávky m) a invertibilní, pak jeho inverzní je pseudo-diferenciální operátor řádu -ma lze vypočítat jeho symbol. To znamená, že lze vyřešit lineární eliptické diferenciální rovnice víceméně explicitně pomocí teorie pseudo-diferenciálních operátorů.
Diferenciální operátoři jsou místní v tom smyslu, že k určení účinku operátoru stačí hodnota funkce v sousedství bodu. Pseudo-diferenciální operátoři jsou pseudo-místní, což znamená neformálně, že při aplikaci na a rozdělení nevytvářejí singularitu v bodech, kde distribuce již byla plynulá.
Stejně jako lze diferenciální operátor vyjádřit pomocí D = −id / dX ve formě
pro polynomiální str v D (kterému se říká symbol), operátor pseudo-diferenciálu má symbol v obecnější třídě funkcí. Často lze snížit problém v analýze pseudo-diferenciálních operátorů na posloupnost algebraických problémů zahrnujících jejich symboly, a to je podstata mikrolokální analýza.
Jádro pseudo-diferenciálního operátora
Pseudo-diferenciální operátory mohou být reprezentovány jádra. Singularita jádra na úhlopříčce závisí na stupni odpovídajícího operátora. Ve skutečnosti, pokud symbol splňuje výše uvedené rozdílné nerovnosti s m ≤ 0, lze ukázat, že jádro je singulární integrální jádro.
Viz také
- Diferenciální algebra pro definici pseudo-diferenciálních operátorů v kontextu diferenciálních algeber a diferenciálních prstenců.
- Fourierova transformace
- Fourierův integrální operátor
- Oscilační integrální operátor
- Satoova základní věta
Poznámky pod čarou
- ^ Stein 1993, Kapitola 6
- ^ Atiyah & Singer 1968, str. 486
Reference
- Stein, Elias (1993), Harmonická analýza: Metody reálných proměnných, ortogonalita a oscilační integrály, Princeton University PressCS1 maint: ref = harv (odkaz).
- Atiyah, Michael F.; Zpěvák, Isadore M. (1968), „Index eliptických operátorů I“, Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi:10.2307/1970715, JSTOR 1970715CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Další čtení
- Michael E. Taylor Pseudodiferenciální operátoři, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0
- M. A. Shubin, Pseudodiferenciální operátoři a spektrální teorie, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
- Francois Treves Úvod do pseudo diferenciálních a Fourierových integrálních operátorů (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
- F. G. Friedlander a M. Joshi, Úvod do teorie distribuce, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
- Hörmander, Larsi (1987). Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů III: Pseudo-diferenciální operátory. Springer. ISBN 3-540-49937-7.
externí odkazy
- Přednášky o pseudo-diferenciálních operátorech podle Mark S. Joshi na arxiv.org.
- „Pseudo-diferenciální operátor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]