Hamburgerův momentový problém - Hamburger moment problem

v matematika, Hamburger momentový problém, pojmenoval podle Hans Ludwig Hamburger, je formulováno takto: vzhledem k posloupnosti {m_n : n = 0, 1, 2, 3, ...}, existuje klad Borelův rozměr μ (například opatření určené kumulativní distribuční funkce a náhodná proměnná ) na skutečné linii tak, že

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , d mu (x) { text {?}}}$

Jinými slovy, kladná odpověď na problém znamená, že {m_n : n = 0, 1, 2, ...} je posloupnost momenty nějaké pozitivní Borelovy míryμ.

The Stieltjesův momentový problém, Vorobyevův momentový problém a Hausdorffův momentový problém jsou podobné, ale nahradit skutečnou linku za ${ displaystyle [0, + infty)}$ (Stieltjes a Vorobyev; ale Vorobyev formuluje problém z hlediska teorie matice) nebo ohraničený interval (Hausdorff).

Charakterizace

Problém s hamburgerovým momentem je řešitelný (tj. {m_n} je posloupnost momenty ) právě tehdy, pokud odpovídající Hankelovo jádro na nezáporných celých číslech

${ displaystyle A = left ({ begin {matrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {2} & cdots m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & cdots m_ { 2} & m_ {3} & m_ {4} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {matrix}} right)}$

je pozitivní určitý, tj.,

${ displaystyle sum _ {j, k geq 0} m_ {j + k} c_ {j} { overline {c_ {k}}} geq 0}$

pro každou libovolnou sekvenci {C_j}_{j ≥ 0} komplexních čísel s konečnou podporou (tj. C_j = 0 kromě konečně mnoha hodnotj).

Pro část nároků „pouze pokud“ to jednoduše poznamenejte

${ displaystyle sum _ {j, k geq 0} m_ {j + k} c_ {j} { overline {c_ {k}}} = int _ {- infty} ^ { infty} vlevo | sum _ {j geq 0} c_ {j} x ^ {j} doprava | ^ {2} , d mu (x)}$

což je nezáporné, pokud ${ displaystyle mu}$ není negativní.

Načrtneme argument pro konverzaci. Nechat Z⁺ být nezáporná celá čísla a F₀(Z⁺) označují rodinu komplexních hodnotných sekvencí s konečnou podporou. Pozitivní Hankelovo jádro A indukuje (možná zdegeneruje) sesquilinear produkt v rodině komplexních hodnotných sekvencí s konečnou podporou. To zase dává Hilbertův prostor

${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle ;, ; rangle)}$

jehož typickým prvkem je třída ekvivalence označená [F].

Nechat E_n být prvkem v F₀(Z⁺) definován E_n(m) = δ_nm. Jeden si toho všimne

${ displaystyle langle [e_ {n + 1}], [e_ {m}] rangle = A_ {m, n + 1} = m_ {m + n + 1} = langle [e_ {n}], [e_ {m + 1}] rangle.}$

Proto operátor „směny“ T na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, s T[E_n] = [E_n + 1], je symetrický.

Na druhou stranu požadovaný výraz

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , d mu (x).}$

to naznačuje μ je spektrální míra a operátor s vlastním nastavením. (Přesněji řečeno, μ je spektrální míra pro operátora ${ displaystyle { overline {T}}}$ definovaný níže a vektor [1], (Reed & Simon 1975, str. 145)). Pokud můžeme najít "funkční model" takový, že symetrický operátor T je násobeníX, pak spektrální rozlišení a samo-adjunktní rozšíření z T prokazuje nárok.

Funkční model je dán přirozeným izomorfismem z F₀(Z⁺) do rodiny polynomů, v jedné reálné proměnné a komplexních koeficientech: pro n ≥ 0, identifikovat E_n s Xⁿ. V modelu operátor T je násobení X a hustě definovaný symetrický operátor. To lze ukázat T vždy má samoadjunkční rozšíření. Nechat ${ displaystyle { overline {T}}}$ být jedním z nich a μ být jeho spektrálním měřítkem. Tak

${ displaystyle langle { overline {T}} ^ {n} [1], [1] rangle = int x ^ {n} d mu (x).}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle langle { overline {T}} ^ {n} [1], [1] rangle = langle T ^ {n} [e_ {0}], [e_ {0}] rangle = m_ {n}.}$

Alternativní důkaz o existenci, který používá pouze Stieltjesovy integrály, viz také^[1] zejména věta 3.2.

Jedinečnost řešení

Řešení tvoří konvexní množinu, takže problém má buď nekonečně mnoho řešení, nebo jedinečné řešení.

Zvažte (n + 1)×(n + 1) Hankelova matice

${ displaystyle Delta _ {n} = left [{ begin {matrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {2} & cdots & m_ {n} m_ {1} & m_ {2} & m_ { 3} & cdots & m_ {n + 1} m_ {2} & m_ {3} & m_ {4} & cdots & m_ {n + 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots m_ {n} & m_ {n + 1} & m_ {n + 2} & cdots & m_ {2n} end {matrix}} right].}$

Pozitivita A znamená to pro každého n, det (Δ_n) ≥ 0. Pokud det (Δ_n) = 0, pro některén, pak

${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle ;, ; rangle)}$

je konečně-dimenzionální a T je sebe-adjunkt. V tomto případě je tedy řešení problému s hamburgerovým momentem jedinečné a μ, což je spektrální míra T, má konečnou podporu.

Obecněji je řešení jedinečné, pokud existují konstanty C a D takové, že pro všechny n, | m_n|≤ CDⁿn! (Reed & Simon 1975, str. 205). To vyplývá z obecnějších Carlemanův stav.

Existují příklady, kdy řešení není jedinečné, viz např.^[2]

Další výsledky

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2008)

Je vidět, že problém s hamburgerovým momentem úzce souvisí ortogonální polynomy na skutečné linii. The Gram – Schmidt postup dává základ ortogonálních polynomů, ve kterých operátor: ${ displaystyle { overline {T}}}$ má třístranný Jacobiho maticová reprezentace. To zase vede k a tridiagonální model pozitivních Hankel jader.

Výslovný výpočet Cayleyova transformace z T ukazuje spojení s tím, co se nazývá Nevanlinna třída analytických funkcí na levé polovině roviny. Při přechodu na nekomutativní nastavení to motivuje Kreinův vzorec který parametrizuje rozšíření parciálních izometrií.

Funkci kumulativního rozdělení a funkci hustoty pravděpodobnosti lze často najít použitím inverzní funkce Laplaceova transformace k funkci generování momentu

${ displaystyle m (t) = součet _ {n = 0} m_ {n} { frac {t ^ {n}} {n!}},}$

za předpokladu, že tato funkce konverguje.

Reference

• Chihara, T.S. (1978), Úvod do ortogonálních polynomůGordon and Breach, Science Publishers, ISBN  0-677-04150-0
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourierova analýza, sebeobjektivnostMetody moderní matematické fyziky, 2, Academic Press, str. 145, 205, ISBN  0-12-585002-6
• Shohat, J. A .; Tamarkin, J. D. (1943), Problém okamžiků, New York: Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1501-6.