Oboustranná Laplaceova transformace - Two-sided Laplace transform
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, oboustranná Laplaceova transformace nebo bilaterální Laplaceova transformace je integrální transformace ekvivalentní pravděpodobnost je funkce generování momentů. Oboustranné Laplaceovy transformace úzce souvisí s Fourierova transformace, Mellinova transformace, a obyčejný nebo jednostranný Laplaceova transformace. Li ƒ(t) je skutečná nebo komplexní hodnotná funkce reálné proměnné t definována pro všechna reálná čísla, pak je oboustranná Laplaceova transformace definována integrálem
Integrál je nejčastěji chápán jako nesprávný integrál, který konverguje právě tehdy, pokud jsou oba integrály
existovat. Zdá se, že neexistuje žádná obecně přijímaná notace pro oboustrannou transformaci; the zde použité připomíná „bilaterální“. Oboustranný transformovaný některými autory je
V čisté matematice argument t může být jakákoli proměnná a Laplaceovy transformace se používají ke studiu toho, jak diferenciální operátory transformovat funkci.
v Věda a inženýrství aplikace, argument t často představuje čas (v sekundách) a funkci ƒ(t) často představuje a signál nebo průběh, který se mění s časem. V těchto případech jsou signály transformovány pomocí filtry, které fungují jako matematický operátor, ale s omezením. Musí být kauzální, což znamená, že výstup v daném čase t nemůže záviset na výstupu, který má vyšší hodnotu tV populační ekologii argument t často představuje prostorové posunutí v disperzním jádře.
Při práci s funkcemi času ƒ(t) se nazývá časová doména reprezentace signálu, zatímco F(s) se nazývá s-doména (nebo Laplaceova doména) zastoupení. Inverzní transformace pak představuje a syntéza signálu jako součet jeho frekvenčních složek převzatých všemi frekvencemi, zatímco dopředná transformace představuje analýza signálu do jeho frekvenčních složek.
Vztah k dalším integrálním transformacím
Li u je Funkce Heaviside step, rovno nule, když je jeho argument menší než nula, jedné polovině, když je jeho argument roven nule, a jedné, když je jeho argument větší než nula, pak Laplaceova transformace lze definovat z hlediska oboustranné Laplaceovy transformace pomocí
Na druhou stranu také máme
kde je funkce, která se vynásobí mínus jedna (), takže kteroukoli verzi Laplaceovy transformace lze definovat z hlediska druhé.
The Mellinova transformace lze definovat z hlediska oboustranné Laplaceovy transformace pomocí
s jak je uvedeno výše, a naopak můžeme získat oboustrannou transformaci z Mellinovy transformace pomocí
Fourierova transformace může být také definována z hlediska oboustranné Laplaceovy transformace; místo toho, abychom měli stejný obrázek s různými originály, máme stejný originál, ale různé obrázky. Můžeme definovat Fourierovu transformaci jako
Všimněte si, že definice Fourierovy transformace se liší, a to zejména
místo toho se často používá. Pokud jde o Fourierovu transformaci, můžeme také získat oboustrannou Laplaceovu transformaci, as
Fourierova transformace je normálně definována tak, že existuje pro skutečné hodnoty; výše uvedená definice definuje obraz v pásu který nemusí zahrnovat skutečnou osu.
The funkce generující momenty kontinuální funkce hustoty pravděpodobnosti ƒ(X) lze vyjádřit jako .
Vlastnosti
Pro libovolné dvě funkce pro které se oboustranný Laplace transformuje existují, pokud tj. pro každou hodnotu the téměř všude.
Jedna vlastnost je jako jednostranná transformace, ale s důležitým rozdílem:
Časová doména | unilaterální doména | dvoustranná doména | |
---|---|---|---|
Diferenciace | |||
Druhá objednávka diferenciace |
Region konvergence
Bilaterální transformační požadavky na konvergenci jsou obtížnější než na jednostranné transformace. Region konvergence bude obvykle menší.
Li F je místně integrovatelný funkce (nebo obecněji a Borelův rozměr lokálně ohraničené variace), pak Laplaceova transformace F(s) z F konverguje za předpokladu, že limit
existuje. Laplaceova transformace konverguje absolutně, pokud je integrál
existuje (jako vlastní Lebesgueův integrál ). Laplaceova transformace se obvykle chápe jako podmíněně konvergentní, což znamená, že konverguje v prvním, nikoli v druhém smyslu.
Sada hodnot, pro které F(s) konverguje absolutně je některá z forem Re (s) > A nebo jinak Re (s) ≥ A, kde A je rozšířená reálná konstanta, −∞ ≤ A ≤ ∞. (To vyplývá z dominující věta o konvergenci.) Konstanta A je známá jako úsečka absolutní konvergence a závisí na růstovém chování F(t).[1] Analogicky oboustranná transformace konverguje absolutně do pruhu formy A
Podobně sada hodnot, pro které F(s) konverguje (podmíněně nebo absolutně) je známá jako oblast podmíněné konvergence nebo jednoduše oblast konvergence (ROC). Pokud Laplaceova transformace konverguje (podmíněně) v s = s0, pak automaticky konverguje pro všechny s s Re (s)> Re (s0). Proto je oblast konvergence polorovinou tvaru Re (s) > A, případně včetně některých bodů hraniční čáry Re (s) = A. V oblasti konvergence Re (s)> Re (s0), Laplaceova transformace F lze vyjádřit pomocí integrace po částech jako integrál
To znamená v oblasti konvergence F(s) lze účinně vyjádřit jako absolutně konvergentní Laplaceovu transformaci jiné funkce. Zejména je to analytické.
Je jich několik Paley – Wienerovy věty týkající se vztahu mezi vlastnostmi rozpadu F a vlastnosti Laplaceovy transformace v oblasti konvergence.
V technických aplikacích je funkce odpovídající a lineární časově invariantní (LTI) systém je stabilní pokud každý ohraničený vstup produkuje ohraničený výstup.
Kauzalita
Dvoustranné transformace nerespektují kauzalita. Dávají smysl, když jsou aplikovány na obecné funkce, ale při práci s funkcemi času (signálů) jsou preferovány jednostranné transformace.
Viz také
- Kauzální filtr
- Akauzální systém
- Kauzální systém
- Sinc filtr - ideální filtr sinc (aka obdélníkový filtr) je kauzální a má nekonečné zpoždění.
Reference
- ^ Widder 1941, Kapitola II, §1
- ^ Widder 1941, Kapitola VI, §2
- LePage, Wilbur R., Složité proměnné a Laplaceova transformace pro inženýryPublikace Dover, 1980 /
- Van der Pol, Balthasar a Bremmer, H., Provozní počet založený na oboustranném Laplaceově integrálu, Chelsea Pub. Co., 3. vydání, 1987.
- Widder, David Vernon (1941), Laplaceova transformace, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, PAN 0005923.