Nachbinova věta - Nachbins theorem - Wikipedia

v matematika, v oblasti komplexní analýza, Nachbinova věta (pojmenoval podle Leopoldo Nachbin ) se běžně používá ke stanovení vazby na rychlosti růstu pro analytická funkce. Tento článek poskytuje krátký přehled temp růstu, včetně myšlenky a funkce exponenciálního typu. Klasifikace rychlostí růstu podle typu poskytuje jemnější nástroj než velký O nebo Landauova notace, protože řada vět o analytické struktuře omezené funkce a jejích integrální transformace lze konstatovat. Zejména Nachbinova věta může být použita k získání domény konvergence zobecněná Borelova transformace, uvedeny níže.

Exponenciální typ

Funkce F(z) definované na složité letadlo se říká, že je exponenciálního typu, pokud existují konstanty M a α takové, že

{ displaystyle | f (re ^ {i theta}) | leq Me ^ { alpha r}}

v limitu ${ displaystyle r to infty}$ . Tady je komplexní proměnná z byl napsán jako ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$ zdůraznit, že limita musí platit ve všech směrech θ. Nechat α stát za infimum ze všech takových α pak jeden říká, že funkce F je z exponenciální typ α.

Například nechte ${ displaystyle f (z) = sin ( pi z)}$ . Pak to říká jeden ${ displaystyle sin ( pi z)}$ je exponenciálního typu π, protože π je nejmenší číslo, které ohraničuje růst ${ displaystyle sin ( pi z)}$ podél imaginární osy. Pro tento příklad tedy Carlsonova věta nelze použít, protože vyžaduje funkce exponenciálního typu menší než π.

Ψ typ

Kromě exponenciální funkce lze pro další funkce definovat ohraničení. Obecně funkce ${ displaystyle Psi (t)}$ je srovnávací funkce pokud má řadu

{ displaystyle Psi (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} t ^ {n}}

s ${ displaystyle Psi _ {n}> 0}$ pro všechny n, a

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { Psi _ {n + 1}} { Psi _ {n}}} = 0.}

Porovnávací funkce jsou nezbytně nutné celý, který vyplývá z poměrový test. Li ${ displaystyle Psi (t)}$ je taková srovnávací funkce, pak se říká, že F je typu if, pokud existují konstanty M a τ takhle

{ displaystyle left | f left (re ^ {i theta} right) right | leq M Psi ( tau r)}

tak jako ${ displaystyle r to infty}$ . Pokud τ je infimum všeho takového τ jeden to říká F je typu. τ.

Nachbinova věta říká, že funkce F(z) se sérií

{ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} z ^ {n}}

je Ψ typu τ právě tehdy

{ displaystyle limsup _ {n to infty} left | { frac {f_ {n}} { Psi _ {n}}} right | ^ {1 / n} = tau.}

Borelova transformace

Nachbinova věta má okamžité použití v Cauchyova věta - podobné situace a pro integrální transformace. Například zobecněná Borelova transformace darováno

{ displaystyle F (w) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f_ {n}} { Psi _ {n} w ^ {n + 1}}}.}

Li F je typu. τ, pak zevnějšek domény konvergence ${ displaystyle F (w)}$ , a všechny jeho singulární body, jsou obsaženy na disku

{ displaystyle | w | leq tau.}

Kromě toho jeden má

{ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} mast _ { gamma} Psi (zw) F (w) , dw}

Kde obrys integrace γ obklopuje disk ${ displaystyle | w | leq tau}$ . Tím se zevšeobecňuje obvyklé Borelova transformace pro exponenciální typ, kde ${ displaystyle Psi (t) = e ^ {t}}$ . Následuje také integrální forma generalizované Borelovy transformace. Nechat ${ displaystyle alpha (t)}$ být funkce, jejíž první derivace je omezena na interval ${ displaystyle [0, infty)}$ , aby

{ displaystyle { frac {1} { Psi _ {n}}} = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} , d alfa (t)}

kde ${ displaystyle d alpha (t) = alpha ^ { prime} (t) , dt}$ . Pak je integrální forma zobecněné Borelovy transformace

{ displaystyle F (w) = { frac {1} {w}} int _ {0} ^ { infty} f left ({ frac {t} {w}} right) , d alfa (t).}

Obyčejná Borelova transformace je obnovena nastavením ${ displaystyle alpha (t) = e ^ {- t}}$ . Všimněte si, že integrální forma Borelovy transformace je právě Laplaceova transformace.

Nachbin obnovení

Nachbinovou resummaci (generalizovanou Borelovu transformaci) lze použít k součtu divergentních řad, které unikají obvyklým Borelův součet nebo dokonce řešit (asymptoticky) integrální rovnice tvaru:

{ displaystyle g (s) = s int _ {0} ^ { infty} K (st) f (t) , dt}

kde F(t) může nebo nemusí být exponenciálního růstu a jádra K.(u) má Mellinova transformace. Roztok lze získat jako ${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} x ^ {n}}$ s ${ displaystyle g (s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} s ^ {- n}}$ a M(n) je Mellinova transformace K.(u). Příkladem toho je řada Gram ${ displaystyle pi (x) přibližně 1+ součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { log ^ {n} (x)} {n cdot n! zeta (n + 1)}}.}$

v některých případech vyžadujeme další podmínku ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} K (t) t ^ {n} , dt}$ být konečný pro ${ displaystyle n = 0,1,2,3, ...}$ a liší se od 0.

Fréchetový prostor

Kolekce funkcí exponenciálního typu ${ displaystyle tau}$ může tvořit a kompletní jednotný prostor, jmenovitě a Fréchetový prostor tím, že topologie vyvolané spočítatelnou rodinou normy

{ displaystyle | f | _ {n} = sup _ {z in mathbb {C}} exp left [- left ( tau + { frac {1} {n}} vpravo ) | z | vpravo] | f (z) |.}

Viz také

Reference

L. Nachbin, „Rozšíření pojmu integrálních funkcí konečného exponenciálního typu“, Anais Acad. Brazílie. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
Ralph P. Boas, Jr. a R. Creighton Buck, Polynomiální rozšíření analytických funkcí (opraven druhý tisk)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263. (Poskytuje prohlášení a důkaz Nachbinovy věty a obecný přehled tohoto tématu.)
A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Funkce exponenciálního typu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Borelova transformace", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS