Hypotéka s nepřetržitým splácením - Continuous-repayment mortgage

Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: „Hypotéka s nepřetržitým splácením“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Vliv výdělku 20% ročního úroku na počáteční investici 1 000 $ v různých frekvencích skládání

Analogicky k kontinuální složení nepřetržitá anuita^[1][2] je běžná anuita ve kterém je interval plateb zúžen na neurčito. A (teoretický) průběžné splácení hypotéky je hypoteční úvěr splácený nepřetržitou anuitou.

Hypotéky (tj. Hypoteční úvěry) se obecně vypořádávají v průběhu let řadou pevných pravidelných plateb běžně označovaných jako anuita. Každá platba se hromadí složený úrok od doby vkladu do konce doby splatnosti hypotéky, kdy se součet plateb s jejich kumulovaným úrokem rovná hodnotě půjčky s úroky složenými po celou dobu. Daná půjčka P₀, za období úroková sazba i, počet období n a pevně stanovena na období platby X, je konečný termín vyrovnávací rovnice:

${ displaystyle P_ {0} (1 + i) ^ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} x (1 + i) ^ {nk} = { frac {x [(1 + i ) ^ {n} -1]} {i}}}$

Součet lze vypočítat pomocí standardního vzorce pro součet a geometrická posloupnost.

U (teoretické) hypotéky s nepřetržitým splácením se interval plateb zužuje na neurčito, dokud se proces diskrétního intervalu nestane kontinuálním a platby s pevným intervalem se nestanou - ve skutečnosti - doslovným hotovostním „tokem“ při pevné roční sazbě. V tomto případě daná půjčka P₀roční úroková sazba r, doba půjčky T (roky) a roční sazba M_A, infinitezimální prvky peněžních toků M_Aδt akumulovat neustále složený úrok od času t do konce časového limitu půjčky, kdy je vyrovnávací rovnice:

${ displaystyle P_ {0} e ^ {rT} = int limity _ {0} ^ {T} M_ {a} e ^ {r (Tt)} , dt = { frac {M_ {a} ( e ^ {rT} -1)} {r}}.}$

Součet prvků peněžních toků a akumulovaného úroku se provádí integrací, jak je znázorněno. Předpokládá se, že slučovací interval a platební interval jsou stejné - tj. Ke složení úroku dochází vždy současně s odečtením platby.^[3]

V časovém rozpětí půjčky se časově nepřetržitá funkce zůstatku hypotéky řídí první objednávkou lineární diferenciální rovnice (LDE)^[4] a jejich alternativní derivace lze získat řešením LDE pomocí metody podle Laplaceovy transformace.

Aplikace rovnice přináší řadu výsledků souvisejících s finančním procesem, který popisuje. Ačkoli se tento článek primárně zaměřuje na hypotéky, použité metody jsou relevantní pro každou situaci, kdy je platba nebo spoření prováděno pravidelným proudem splátek s pevným intervalem (anuita).

Odvození časově spojité rovnice

Klasický vzorec pro současnou hodnotu řady n pevná částka měsíčních plateb X investované za měsíční úrokovou sazbu i% je:

${ displaystyle P_ {v} (n) = { frac {x (1- (1 + i) ^ {- n})} {i}}}$

Vzorec může být znovu uspořádán tak, aby určoval měsíční splátku X na půjčku ve výši P₀ vyřazeno na dobu n měsíců s měsíční úrokovou sazboui%:

${ displaystyle x = { frac {P_ {0} cdot i} {1- (1 + i) ^ {- n}}}}$

Začneme malou úpravou vzorce: nahradit i s r/N kde r je roční úroková sazba a N je roční frekvence slučovacích období (N = 12 pro měsíční platby). Také vyměňte n s NT kde T je celková výpůjční doba v letech. V této obecnější formě rovnice, kterou počítáme X(N) jako pevná platba odpovídající frekvenci N. Například pokud N = 365, X odpovídá denní pevné platbě. Tak jako N zvyšuje, X(N) klesá, ale produkt N·X(N) se blíží k mezní hodnotě, jak bude ukázáno:

${ displaystyle x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {N (1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT})}}}$

${ displaystyle N cdot x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT}}}}$

Všimněte si, že N·X(N) je jednoduše částka zaplacená za rok - ve skutečnosti roční splátková sazba M_A.

Je dobře známo, že:

${ displaystyle lim _ {N až infty} vlevo (1 + { frac {r} {N}} vpravo) ^ {Nt} = e ^ {rt}}$ ^[5][6]

Na základě stejného principu pro vzorec pro roční splácení můžeme určit mezní hodnotu:

${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = lim _ {N to infty} { frac {P_ {0} cdot r} {1 - (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- NT}}} = { frac {P_ {0} cdot r} {1-e ^ {- rT}}}.}$ ^[7]

V tomto bodě v ortodoxním vzorci pro současnou hodnotu je tato hodnota vhodněji reprezentována jako funkce roční frekvence skládání N a čast:

${ displaystyle P_ {v} (N, t) = { frac {N cdot x (N) (1- (1 + { frac {r} {N}}) ^ {- Nt})}} r }}}$

Použitím výše uvedeného omezujícího výrazu můžeme napsat aktuální hodnotu jako čistě časově závislou funkci:

${ displaystyle P_ {v} (t) = lim _ {N až infty} P_ {v} (N, t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ { -rt})}$^[8]

Obrázek 1

Beru na vědomí, že zůstatek splatný P(t) na půjčku t let po jeho vzniku je jednoduše současná hodnota příspěvků pro zbývající období (tj. T − t), určíme:

${ displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- r (Tt)}) = { frac {P_ {0} (1-e ^ {- r (Tt)})} {1-e ^ {- rT}}}}$ ^[9]

Grafy v diagramu představují srovnání zůstatku na hypotéce (1 milion za 20 let @ r = 10%) počítáno jednak podle výše uvedeného časově spojitého modelu a jednak pomocí funkce Excel PV. Jak je vidět, křivky jsou prakticky nerozeznatelné - výpočty prováděné pomocí modelu se liší od výpočtů prováděných pomocí funkce Excel PV pouze o 0,3% (max.). Data, ze kterých byly grafy odvozeny, lze zobrazit tady.

Srovnání s podobnými fyzickými systémy

Definujte proměnnou „reverzní čas“ z = T − t. (t = 0, z = T a t = T, z = 0). Pak:

Vyneseno na časovou osu normalizovanou na časovou konstantu systému (τ = 1/r roky a τ = RC sekundy) funkce hypotečního zůstatku v CRM (zelená) je zrcadlovým obrazem křivky skokové reakce pro RC obvod (modrá). Svislá osa je normalizována na asymptotu systému, tj. hodnotu perpetuity M_A/ r pro CRM a aplikované napětí V₀ pro RC obvod.

${ displaystyle P (z) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rz}).}$

Toto lze rozpoznat jako řešení diferenciální rovnice „reverzního času“:

${ displaystyle { frac {M_ {a}} {r}} = { frac {1} {r}} { frac {dP (z)} {dz}} + P (z).}$

Elektrotechničtí a elektroničtí inženýři a fyzici budou obeznámeni s rovnicí této povahy: jedná se o přesný analog typu diferenciální rovnice, který řídí (například) nabíjení kondenzátoru v RC obvodu.

${ displaystyle V_ {0} = RC { frac {dV (t)} {dt}} + V (t).}$

Klíčové charakteristiky těchto rovnic jsou podrobně vysvětleny na RC obvody. Pro majitele domů s hypotékami je důležitým parametrem, který je třeba mít na paměti časová konstanta rovnice, která je jednoduše převrácená od roční úrokové sazbyr. Takže (například) časová konstanta, když je úroková sazba 10%, je 10 let a období úvěru na bydlení by mělo být určeno - v mezích cenové dostupnosti - jako minimální násobek toho, pokud je cílem minimalizovat úroky placené z půjčka.

Hypoteční rozdíl a diferenciální rovnice

Konvenční rozdílová rovnice u hypotečního úvěru lze odvodit relativně snadno - zůstatek splatný v každém následujícím období je předchozí zůstatek plus úrok za období snížený o fixní platbu za období.

Vzhledem k roční úroková sazba r a dlužník s roční platební schopnost M_N (rozděleno na N stejných plateb provedených v časových intervalech Δt kde Δt = 1/N let), můžeme napsat:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P_ {t + Delta t} & = P_ {t} + (rP_ {t} -M_ {N}) Delta t [12 bodů] { dfrac {P_ {t + Delta t} -P_ {t}} { Delta t}} & = rP_ {t} -M_ {N} end {zarovnáno}}}$

Li N se zvyšuje na neurčito, takže Δt → 0, získáme spojitou časovou diferenciální rovnici:

${ displaystyle { operatorname {d} P (t) nad operatorname {d} t} = rP (t) -M_ {a}}$ ^[10][11]

Všimněte si, že aby se neustále snižoval zůstatek hypotéky, musí platit následující nerovnost:

${ displaystyle P_ {0} leqslant { frac {M_ {a}} {r}}}$^[12]

P₀ je stejné jako P(0) - původní výše úvěru nebo zůstatek úvěru v časet = 0.

Řešení rozdílové rovnice

Začneme přepisováním rozdílové rovnice rekurzivní formou:

${ displaystyle P_ {t + Delta t} = P_ {t} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t ;}$

Použití notace P_n uvést zůstatek hypotéky po n období, můžeme k určení iterativně použít relaci rekurze P₁ a P₂:

${ displaystyle P_ {1} = P_ {0} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t ;}$

${ displaystyle { begin {zarovnaný} P_ {2} & = [P_ {0} (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t] (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {2} -M_ {N} Delta t (1 + r Delta t) -M_ {N} Delta t konec { zarovnaný}}}$

Již je vidět, že výrazy obsahující M_N tvoří geometrickou řadu se společným poměrem 1 +rΔt. To nám umožňuje napsat obecný výraz pro P_n:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P_ {n} & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {n} - součet _ {k = 1} ^ {n} M_ {N} Delta t (1 + r Delta t) ^ {nk} & = P_ {0} (1 + r Delta t) ^ {n} - { dfrac {M_ {N} Delta t [(1 + r Delta t) ^ {n} -1]} {r Delta t}} end {zarovnáno}}}$

Nakonec si to povšimněte r Δt = i úroková sazba za období a ${ displaystyle M_ {N} Delta t = x}$ za platbu za období může být výraz napsán konvenční formou:

${ displaystyle P_ {n} = P_ {0} (1 + i) ^ {n} - { dfrac {x [(1 + i) ^ {n} -1]} {i}}}$

Pokud je doba půjčky m období, pak P_m = 0 a získáme standardní vzorec současné hodnoty:

${ displaystyle P_ {0} = { dfrac {x [1- (1 + i) ^ {- m}]} {i}}}$

Řešení diferenciální rovnice

${ displaystyle { operatorname {d} P (t) nad operatorname {d} t} = rP (t) -M_ {a}}$

Jednou z metod řešení rovnice je získání Laplaceova transformace P(s):

${ displaystyle P (s) = { frac {M_ {a}} {s (rs)}} = { frac {M_ {a}} {r}} krát { frac {(-r)} { s (sr)}}.}$

Používat tabulka Laplaceových transformací a jejich ekvivalenty v časové oblasti, P(t) lze určit:

${ displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {rt}).}$

Abychom toto řešení přizpůsobili konkrétním počátečním a koncovým bodům funkce hypotéky, musíme zavést časový posun o T let (T = výpůjční doba), aby bylo zajištěno, že funkce na konci výpůjční doby dosáhne nuly:

${ displaystyle { begin {aligned} & P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {r (tT)}) [8pt] & P_ {0} = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rT}) Rightarrow { frac {M_ {a}} {r}} = { frac {P_ {0}} {1- e ^ {- rT}}} [8pt] Rightarrow & P (t) = { frac {P_ {0} (1-e ^ {- r (Tt)})}} {1-e ^ {- rT }}} end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že jak původní řešení, tak „časově posunutá“ verze splňují původní diferenciální rovnici, odkud jsou obě odvozeny.

Podobný výrazu odvozenému výše pro P_n v rozdílové rovnici výraz pro P(t) lze psát v následující algebraicky ekvivalentní formě:

${ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1)}$

Výpočet kumulovaných splátek úroků a jistiny

Přeuspořádáním původní diferenciální rovnice získáme:

${ displaystyle M_ {a} = rP (t) - { frac {dP (t)} {dt}}}$

Integrace obou stran rovnice poskytuje:

${ displaystyle M_ {a} .t = int _ {0} ^ {t} rP (t) , dt , - int _ {0} ^ {t} { frac {dP (t)} { dt}} , dt ,}$

První integrál na pravé straně určuje kumulované splátky úroků od okamžiku vzniku do času t, zatímco druhý určuje kumulované splátky jistiny za stejné období. Součet těchto plateb úroků a jistiny se musí rovnat kumulativním fixním splátkám v čase t tj. M_At. Vyhodnocením prvního integrálu vpravo získáme výraz pro Já(t), zaplacený úrok:

${ displaystyle I (t) = M_ {a} t - { frac {M_ {a} (e ^ {rt} -1)} {re ^ {rT}}}}$

Není překvapením, že druhý integrál je vyhodnocen jako P₀ − P(t) a proto:

${ displaystyle I (t) = M_ {a} t-P_ {0} + P (t) ,}$

Čtenář může snadno ověřit, že tento výraz je algebraicky totožný s výše uvedeným výrazem.

Faktor půjčky

Cena půjčky je jednoduše roční sazba vynásobená výpůjčním obdobím:

${ displaystyle C = M_ {a} T = { frac {P_ {0} rT} {1-e ^ {- rT}}}}$

Nechat s = rT. Pak můžeme definovat nákladový faktor půjčky C(s) takové, že C = P₀C(s) tj .: C(s) je cena za jednotku vypůjčené měny.

${ displaystyle C (s) = { frac {rT} {1-e ^ {- rT}}} = { frac {s} {1-e ^ {- s}}}}$

Funkce C(s) se vyznačuje tím, že má mezní hodnotu 1, když s se blíží nule, protože pro malé hodnoty s, exp (-s) ≈ 1 − s a jmenovatel se zjednodušuje nas. Také kdy s je velmi velký, exp (-s) je tak malý C(s) ≈ s a tedy náklady na půjčku C ≈ P₀rT (rT >> 0).

Zvažte například půjčku ve výši 10 000 000 s 10% splácením po dobu 20 let. Pak s = 0.1 × 20 = 2.

${ displaystyle C = 10 000 000 krát { frac {2} {1-e ^ {- 2}}} přibližně 2,313 krát 10 ^ {6}}$

Produkt rT je snadno získatelný, ale důležitý parametr při určování nákladů na půjčku podle rovnice C = P₀xC (s). To je nejlépe ilustrováno vykreslením funkce nákladového faktoru pro hodnoty s v doméně [0; 5]. Lineární chování funkce pro vyšší hodnoty s je jasné.

Ekvivalentní jednoduchý nákladový nákladový faktor

U půjčky na dobu určitou v délce t let můžeme porovnat výše uvedený nákladový faktor půjčky s ekvivalentním jednoduchým úrokovým nákladovým faktorem 1 + s_E kde s_E= r_Et a r_E je ekvivalentní jednoduchá úroková sazba:

${ displaystyle { frac {s} {1-e ^ {- s}}} = 1 + s_ {e}}$

Je to jednoduché určit s_E z hlediska s. Vydělením výpůjčním časovým obdobím t pak získáme ekvivalentní jednoduchou úrokovou sazbu. Náročnější je obrácené stanovení s s_E.

Ve své knize Řešení problémů s True Basic,^[13] Dr. B.D. Hahn má krátkou část o určitých schématech „nákupu na splátky“, ve kterých úrok se počítá předem v jedné paušální částce, která se připočte k částce kapitálu, přičemž částka se rovnoměrně rozdělí na dobu splácení. Kupující však často má dojem, že úrok je počítán na redukčním zůstatku.

Výše uvedený příklad je převzat z příkladu uvedeného v knize Dr. Hahna, ve kterém používá algoritmus Newton-Raphson k řešení stejného problému, i když pro diskrétní interval (tj. Měsíční) splátkový úvěr ve stejném časovém období (3 roky). Stejně jako u mnoha podobných příkladů je problém diskrétního intervalu a jeho řešení úzce aproximován výpočty založenými na modelu kontinuálního splácení - řešení Dr. Hahna pro úrokovou sazbu je 40,8% ve srovnání s 41,6% vypočítanými výše.

Doba výpůjčky

Pokud si dlužník může dovolit roční splátkovou sazbu M_A, pak můžeme znovu uspořádat vzorec pro výpočet M_A získat výraz pro časové období T dané půjčky P₀:

${ displaystyle { begin {aligned} & M_ {a} = { frac {P_ {0} r} {1-e ^ {- rT}}} [8pt] Rightarrow & T = { frac {1} {r}} ln { frac {M_ {a}} {M_ {a} -P_ {0} r}} = - { frac {1} {r}} ln left (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$

Minimální platební poměr

Minimální splátkový poměr půjčky je poměr minimální možné splátkové sazby ke skutečné splátkové sazbě. Minimální možná splátková sazba je ta, která kryje pouze úroky z půjčky - dlužník by teoreticky zaplatil tuto částku navždy, protože nikdy nedošlo k žádnému snížení úvěrového kapitálu. Použijeme dopis k k označení minimálního platebního poměru:

${ displaystyle k = { frac {M _ { min}} {M_ {a}}} = { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}}}$

Nyní můžeme uvažovat o malém přeuspořádání rovnice pro výpůjční obdobíT:

${ displaystyle T = - { frac {1} {r}} ln vlevo (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} vpravo)}$

${ displaystyle rT = s (k) = - ln (1-k) ;}$

Vykreslování s(k) proti k poskytuje velmi grafickou ukázku toho, proč je dobré ponechat k hodnota hluboko pod asymptotou v k = 1, protože v jeho blízkosti, s(k) prudce roste, a proto rostou i náklady na půjčku, což je zase rostoucí funkce parametru s (rT produkt).

„Poločas“ půjčky

Užitečným parametrem hypotečního modelu je „poločas“ půjčky, což je doba, po kterou zůstatek úvěru dosáhne poloviny původní hodnoty. K určení „poločasu“ můžeme napsat:

${ displaystyle { frac {P (t)} {P_ {0}}} = { frac {1} {2}} = { frac {1-e ^ {- r (Tt)}} {1- e ^ {- rT}}}}$

Řešení pro t získáváme:

${ displaystyle t _ { frac {1} {2}} = { frac {1} {r}} ln left ({ frac {1 + e ^ {rT}} {2}} right)}$ ^[14]

Například při použití vzorce na některá testovací data (půjčka 1 milion při 10% na 20 let) získáme poločas 14,34 roku. Pokud se v praxi splácí úvěr prostřednictvím měsíčních splátek, lze desítkovou část převést na měsíce a zaokrouhlit, takže by se tato odpověď rovnala 172 měsícům.

Výpočet úrokové sazby

V diskrétním modelu časového intervalu nebyl výpočet úrokové sazby hypotéky s ohledem na zbývající parametry možný pomocí analytických metod. Implementace, jako je funkce „sazby“ aplikace Excel, používají k určení úrokové sazby numerickou metodu „vyzkoušení a vylepšení“. Na první pohled by se to také mohlo zdát v případě modelu průběžného splácení. Dané:

${ displaystyle P_ {0} = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rT})}$

můžeme napsat:

${ displaystyle rP_ {0} = M_ {a} (1-e ^ {- rT}) ,}$

${ displaystyle Rightarrow rP_ {0} -M_ {a} + M_ {a} e ^ {- rT} = 0}$

Obrázek 1

Za účelem vizualizace výše uvedeného jako funkce r (pro které chceme určit nuly), bude užitečné vybrat číselné hodnoty P₀, M_A a T jako 10 000, 6 000 a 3 a vykreslíme, jak je znázorněno vpravo. Funkce má minimální hodnotu, kterou lze určit diferenciací:

${ displaystyle f '(r) = 0 ,}$

${ displaystyle Rightarrow P_ {0} -M_ {a} Te ^ {- rT} = 0}$

${ displaystyle Rightarrow r = { frac {1} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$

Protože funkce je přibližně parabolická mezi kořeny v r = 0 a hledaná hodnota, můžeme odhadnout požadovaný kořen jako:

${ displaystyle r cca { frac {2} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$

Použitím tohoto jako výchozího bodu lze stále přesnější hodnoty pro kořen určit opakovanými iteracemi souboru Newton – Raphsonův algoritmus:^[15]

${ displaystyle r_ {1} = r_ {0} - { frac {f (r_ {0})} {f '(r_ {0})}}. , !}$

Nějaké experimentování Wolfram Alpha odhaluje, že an přesné analytické řešení zaměstnává Lambert-W nebo lze získat funkci „záznam produktu“. Nastavení s = M_AT/P₀ získáváme:

${ displaystyle r = { frac {1} {T}} vlevo (W (-se ^ {- s}) + s vpravo)}$

V oblasti zájmu Ž(−se^−s) je funkce s dvojí hodnotou. První hodnota je jen -s což dává triviální řešení r = 0. Druhá hodnota vyhodnocená v kontextu výše uvedeného vzorce poskytne požadovanou úrokovou sazbu.

Následující tabulka ukazuje výpočet počátečního odhadu úrokové sazby následovaný několika iteracemi Newton – Raphsonova algoritmu. Existuje rychlá konvergence k řešení s přesností na několik desetinných míst, která mohou být potvrzena proti analytické řešení pomocí Lamberta Ž nebo funkce „productlog“ na Wolfram Alpha.

Newton – Raphsonovy iterace

Vzorce současné a budoucí hodnoty

V souladu se standardním vzorcem pro současnou hodnotu řady pevných měsíčních plateb jsme již vytvořili časově kontinuální analogii:

${ displaystyle P_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rt}).}$

Podobným způsobem lze určit vzorec budoucí hodnoty:

${ displaystyle F_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$ ^[16]

V tomto případě roční sazba M_A se určuje ze specifikovaného (budoucího) cíle spořícího nebo potápěcího fondu P_T jak následuje.

${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N to infty} N cdot x (N) = lim _ {N to infty} { frac {P_ {T} cdot r} {( 1 + { frac {r} {N}}) ^ {NT} -1}} = { frac {P_ {T} cdot r} {e ^ {rT} -1}}.}$ ^[17]

Je třeba poznamenat, že jak lze očekávat:

${ displaystyle F_ {v} (t) = P_ {v} (t) krát e ^ {rt}. ,}$

Další způsob výpočtu splatného zůstatku P(t) u půjčky s nepřetržitým splácením je odečíst budoucí hodnotu (v časet) platebního toku z budoucí hodnoty půjčky (také v časet):

${ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$ ^[18]

Příklad

Následující příklad ze školní učebnice^[19] ilustruje koncepční rozdíl mezi anuitou spoření založenou na diskrétních časových intervalech (v tomto případě měsíčně) a jednou založenou na průběžné platbě s využitím výše uvedeného vzorce budoucí hodnoty:

K 30. narozeninám se investor rozhodne, že chce do svých 40. narozenin nashromáždit R500000. Počínaje měsícem se rozhodne provádět stejné měsíční platby na účet, který platí úroky ve výši 12% ročně složené měsíčně. Jaké měsíční platby bude muset provést?

Kvůli stručnosti vyřešíme problém „diskrétního intervalu“ pomocí funkce Excel PMT:

${ displaystyle x (12) = PMT (1 \%, 120 500 000) = 2173,55}$

Částka vyplácená ročně by tedy činila 26082,57.

Pro teoretickou nepřetržitou splátkovou rentu můžeme počítat pouze roční hodnotit platby:

${ displaystyle M_ {a} = { frac {500 000 krát 12 \%} {e ^ {0,12 cdot 10} -1}} = 25860,77}$

V tuto chvíli existuje pokušení jednoduše vydělit 12 a získat měsíční platbu. To by však bylo v rozporu s primárním předpokladem, na kterém je založen model „průběžných plateb“: totiž s roční platbou hodnotit je definován jako:

${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N až infty} N cdot x (N) ,}$

Jelikož je samozřejmě nemožné, aby investor provedl nekonečně malou splátku nekonečně ročně, banka nebo jiná půjčující instituce, která by chtěla nabízet „průběžné splátky“ anuity nebo hypotéky, by v praxi musela zvolit velkou, ale konečnou hodnotu N (roční frekvence plateb) tak, aby vzorec pro nepřetržitý čas byl vždy správný s minimální předem stanovenou chybovou marží. Například hodinové fixní platby (počítané pomocí konvenčního vzorce) v tomto příkladu by se kumulovaly na roční platbu 25861,07 a chyba by byla <0,02%. Je-li chybová marže přijatelná, lze hodinovou míru platby jednodušeji určit dělením M_A od 365 × 24. (Hypotetická) půjčující instituce by poté musela zajistit, aby její výpočetní zdroje byly dostatečné k provedení (v případě potřeby) hodinových odpočtů z účtů zákazníků. Stručně řečeno, „tok“ peněžních prostředků pro průběžné platby je třeba chápat ve velmi doslovném smyslu slova.

„Peněžní prostředky vyplácené do fondu ve finančním světě se vyplácejí v diskrétních - obvykle rovnoměrně rozmístěných - bodech v kalendářním čase. V nepřetržitém procesu se platba provádí nepřetržitě, protože je možné nalít tekutinu z jedné nádoby do druhé, kde je rychlost platby je základní veličina ".^[20]

Následující tabulka ukazuje, jak N (roční složená frekvence) se zvyšuje, roční platba se blíží mezní hodnotě M_Aroční platba hodnotit. Rozdíl (chyba) mezi roční platbou a mezní hodnotou se vypočítá a vyjádří jako procento mezní hodnoty.

^[21][22]

Z výše uvedeného bude zřejmé, že koncept hypotéky „s nepřetržitým splácením“ je poněkud teoretickým konstruktem. Zda to má praktickou hodnotu nebo ne, je otázka, kterou by ekonomové a pojistní matematici museli pečlivě zvážit. Zejména význam roční splátky hodnotit musí být jasně pochopeno, jak je znázorněno ve výše uvedeném příkladu.

Model „průběžných plateb“ však poskytuje některé smysluplné poznatky o chování diskrétní funkce zůstatku hypotéky - zejména že je do značné míry řízen časová konstanta se rovná převrácené hodnotě r nominální roční úrokové sazby. A pokud by měla být hypotéka splacena prostřednictvím pevných denních částek, pak by výpočty splatnosti zůstatku provedené pomocí modelu byly - obecně - s přesností na malý zlomek procenta. Nakonec model ukazuje, že je skromnou výhodou držitele hypotéky zvýšit frekvenci splácení tam, kde je to prakticky možné.

Souhrn vzorců a online kalkulaček

Míra roční platby (hypotéka):${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N až infty} N cdot x (N) = { frac {P_ {0} cdot r} {1-e ^ {- rT}}}}$

Roční míra plateb (potápěčský fond):${ displaystyle M_ {a} = lim _ {N až infty} N cdot x (N) = { frac {P_ {T} cdot r} {e ^ {rT} -1}}}$

Budoucí hodnota:        ${ displaystyle F_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1)}$

Současná hodnota:        ${ displaystyle P_ {v} (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rt})}$

Zůstatek půjčky:        ${ displaystyle P (t) = { frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- r (T-t)})}$

Výpůjční lhůta:               ${ displaystyle T = - { frac {1} {r}} ln vlevo (1 - { frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} vpravo)}$

Poločas půjčky:        ${ displaystyle t _ { frac {1} {2}} = { frac {1} {r}} ln left ({ frac {1 + e ^ {rT}} {2}} right)}$

Úroková sazba:            ${ displaystyle r cca { frac {2} {T}} ln { frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$              ${ displaystyle r = { frac {1} {T}} vlevo (W (-se ^ {- s}) + s vpravo) { text {with}} s = { frac {M_ {a} t} {P_ {0}}}}$

Univerzální hypoteční kalkulačka. Vzhledem k jakýmkoli třem ze čtyř proměnných se vypočítá čtvrtá (neznámá) hodnota.

Hypoteční graf. To ilustruje charakteristickou křivku zůstatku hypotéky vs. čas v daném časovém rozpětí úvěru. Výše půjčky a úroková sazba půjčky (p/A) mohou být také specifikovány. Diskrétní intervalová půjčka bude mít velmi podobnou charakteristiku.

Poznámky

Reference

• Beckwith, R.E. (Červen 1968). "Kontinuální finanční procesy". Časopis finanční a kvantitativní analýzy. 3 (2): 113–133. JSTOR  2329786.
• Georgia Institute of Technology; Hackman, Steve. „Finanční inženýrství: poznámky k kurzu ISyE 4803A“ (PDF). Gruzínský technologický institut. Citováno 2009-04-27.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Glencross, M. J. (2007). Matematika: OBE 12. ročníku. Efektivní vyučující vydavatelé, Kapské Město, RSA. ISBN  978-1-920116-36-1.
• Munem, M. A.; Foulis D.J. (1986). Algebra a trigonometrie s aplikacemi. Worth Publishers, USA. ISBN  0-87901-281-1.
• Hahn, Brian D. (1989). Řešení problémů s True Basic. Juta & Company Limited, Kapské Město, Jihoafrická republika. ISBN  0-7021-2282-3.

Bibliografie

• Kreyszig, Erwin, Pokročilá inženýrská matematika (1998, Wiley Publishers, USA), ISBN  0-471-15496-2.