Seznam Laplaceových transformací - List of Laplace transforms - Wikipedia

Toto je a seznam Laplaceových transformací pro mnoho běžných funkcí jedné proměnné.^[1] The Laplaceova transformace je integrální transformace která přebírá funkci kladné reálné proměnné t (často čas) na funkci komplexní proměnné s (frekvence).

Vlastnosti

Laplaceova transformace funkce ${ displaystyle f (t)}$ lze získat pomocí formální definice Laplaceovy transformace. Některé vlastnosti Laplaceovy transformace lze však použít k snadnějšímu získání Laplaceovy transformace některých funkcí.

Linearita

Pro funkce ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ a pro skalární ${ displaystyle a}$, Laplaceova transformace vyhovuje

${ displaystyle { mathcal {L}} {af (t) + g (t) } = a { mathcal {L}} {f (t) } + { mathcal {L}} { g (t) }}$

a je proto považován za lineárního operátora.

Časový posun

Laplaceova transformace ${ displaystyle f (t-a) u (t-a)}$ je ${ displaystyle e ^ {- as} F (s)}$.

Frekvenční posun

${ displaystyle F (s-a)}$ je Laplaceova transformace ${ displaystyle e ^ {at} f (t)}$.

Vysvětlivky

Jednostranná Laplaceova transformace bere jako vstup funkci, jejíž časovou doménou je nezáporné reals, což je důvod, proč jsou všechny funkce časové domény v tabulce níže násobky Funkce Heaviside step, u(t).

Záznamy v tabulce, které zahrnují časové zpoždění τ jsou povinni být kauzální (znamenající, že τ > 0). Kauzální systém je systém, kde impulsní odezva h(t) je nula po celou dobu t před t = 0. Obecně platí, že oblast konvergence pro kauzální systémy není stejná jako oblast anticausal systémy.

V následující tabulce jsou použity následující funkce a proměnné:

• δ představuje Diracova delta funkce.
• u(t) představuje Funkce Heaviside step.
• Γ (z) představuje Funkce gama.
• y je Euler – Mascheroniho konstanta.
• t je reálné číslo. Obvykle to představuje čas, ačkoli to může představovat žádný nezávislý rozměr.
• s je komplex parametr frekvenční domény a Re(s) je jeho skutečná část.
• n je celé číslo.
• α, τ, a ω jsou reálná čísla.
• q je komplexní číslo.

Stůl

Funkce	Časová doména ${ displaystyle f (t) = { mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s) }}$	Laplace s-doména ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) }}$	Region konvergence	Odkaz
jednotkový impuls	${ displaystyle delta (t)}$	${ displaystyle 1}$	Všechno s	inspekce
zpožděný impuls	${ displaystyle delta (t- tau)}$	${ displaystyle e ^ {- tau s}}$	Re(s) > 0	časový posun o jednotkový impuls[2]
jednotkový krok	${ displaystyle u (t)}$	${ displaystyle {1 over s}}$	Re(s) > 0	integrovat jednotkový impuls
opožděný krok jednotky	${ displaystyle u (t- tau)}$	${ displaystyle { frac {1} {s}} e ^ {- tau s}}$	Re(s) > 0	časový posun o jednotkový krok[3]
rampa	${ displaystyle t cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac {1} {s ^ {2}}}}$	Re(s) > 0	integrovat jednotku impulz dvakrát
nth síla (pro celé číslo n)	${ displaystyle t ^ {n} cdot u (t)}$	${ displaystyle {n! přes s ^ {n + 1}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integrovat jednotku krok n krát
qth síla (pro komplexní q)	${ displaystyle t ^ {q} cdot u (t)}$	${ displaystyle { Gamma (q + 1) nad s ^ {q + 1}}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1	[4][5]
nth kořen	${ displaystyle { sqrt [{n}] {t}} cdot u (t)}$	${ displaystyle {1 over s ^ {{ frac {1} {n}} + 1}} Gamma left ({ frac {1} {n}} + 1 right)}$	Re(s) > 0	Soubor q = 1/n výše.
nta síla s frekvenčním posunem	${ displaystyle t ^ {n} e ^ {- alpha t} cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac {n!} {(s + alpha) ^ {n + 1}}}}$	Re(s) > −α	Integrovat krok jednotky, použít frekvenční posun
zpožděno nth síla s frekvenčním posunem	${ displaystyle (t- tau) ^ {n} e ^ {- alfa (t- tau)} cdot u (t- tau)}$	${ displaystyle { frac {n! cdot e ^ {- tau s}} {(s + alpha) ^ {n + 1}}}}$	Re(s) > −α	Integrovat krok jednotky, použít frekvenční posun, použít časový posun
exponenciální úpadek	${ displaystyle e ^ {- alfa t} cdot u (t)}$	${ displaystyle {1 over s + alpha}}$	Re(s) > −α	Frekvenční posun jednotkový krok
oboustranný exponenciální úpadek (pouze pro dvoustrannou transformaci)	${ displaystyle e ^ {- alfa | t |}}$	${ displaystyle {2 alpha over alpha ^ {2} -s ^ {2}}}$	−α s) < α	Frekvenční posun jednotkový krok
exponenciální přístup	${ displaystyle (1-e ^ {- alfa t}) cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac { alpha} {s (s + alpha)}}}$	Re(s) > 0	Krok jednotky minus exponenciální úpadek
sinus	${ displaystyle sin ( omega t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { omega nad s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > 0	[6]
kosinus	${ displaystyle cos ( omega t) cdot u (t)}$	${ displaystyle {s nad s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > 0	[6]
hyperbolický sinus	${ displaystyle sinh ( alpha t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { alpha nad s ^ {2} - alpha ^ {2}}}$	Re(s) > |α|	[7]
hyperbolický kosinus	${ displaystyle cosh ( alpha t) cdot u (t)}$	${ displaystyle {s nad s ^ {2} - alpha ^ {2}}}$	Re(s) > |α|	[7]
exponenciálně se rozpadající sinusoida	${ displaystyle e ^ {- alfa t} sin ( omega t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { omega over (s + alpha) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > −α	[6]
exponenciálně se rozpadající kosinová vlna	${ displaystyle e ^ {- alfa t} cos ( omega t) cdot u (t)}$	${ displaystyle {s + alpha over (s + alpha) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > −α	[6]
přirozený logaritmus	${ displaystyle ln (t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac {- ln (s) - gamma} {s}}}$	Re(s) > 0	[7]
Besselova funkce prvního druhu, řádu n	${ displaystyle J_ {n} ( omega t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac { left ({ sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2}}} - s right) ^ {n}} { omega ^ {n} { sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2}}}}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	[7]
Chybová funkce	${ displaystyle operatorname {erf} (t) cdot u (t)}$	${ displaystyle { frac {e ^ {s ^ {2} / 4}} {s}} left (1- operatorname {erf} left ({ frac {s} {2}} right) že jo)}$	Re(s) > 0	[7]

Viz také

• Seznam Fourierových transformací

Reference