Věta o konečné hodnotě - Final value theorem

v matematická analýza, věta o konečné hodnotě (FVT) je jednou z několika podobných teorém, které se vztahují frekvenční doména výrazy pro časová doména chování, jak se čas blíží nekonečnu.^[1][2][3][4]Matematicky, pokud ${displaystyle f (t)}$ v nepřetržitém čase má (jednostranný) Laplaceova transformace ${displaystyle F (s)}$ pak věta o konečné hodnotě stanoví podmínky, za kterých

${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$

Stejně tak, pokud ${displaystyle f [k]}$ v diskrétním čase má (jednostranný) Z-transformace ${displaystyle F (z)}$ pak věta o konečné hodnotě stanoví podmínky, za kterých

${displaystyle lim _ {k o infty} f [k] = lim _ {z o 1} {(z-1) F (z)}}$

Abelianova věta o konečné hodnotě vytváří předpoklady o chování v časové doméně ${displaystyle f (t)}$ (nebo ${displaystyle f [k]}$) vypočítat ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$. Naopak tauberiánská věta o konečné hodnotě vytváří předpoklady o chování ve frekvenční oblasti ${displaystyle F (s)}$ vypočítat ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$ (nebo ${displaystyle lim _ {k o infty} f [k]}$) (viz Abelian a Tauberian věty pro integrální transformace ).

Věty o konečné hodnotě pro Laplaceovu transformaci

Dedukce ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$

V následujících prohlášeních je poznámka „${displaystyle s o 0}$' znamená, že ${displaystyle s}$ blíží 0, zatímco '${displaystyle sdownarrow 0}$' znamená, že ${displaystyle s}$ se blíží 0 přes kladná čísla.

Standardní věta o konečné hodnotě

Předpokládejme, že každý pól ${displaystyle F (s)}$ je buď v otevřené levé poloviční rovině, nebo v počátku, a to ${displaystyle F (s)}$ má na počátku maximálně jeden pól. Pak ${displaystyle sF (s) o Lin mathbb {R}}$ tak jako ${displaystyle s o 0}$, a ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = L}$.^[5]

Věta o konečné hodnotě pomocí Laplaceovy transformace derivace

Předpokládejme to ${displaystyle f (t)}$ a ${displaystyle f '(t)}$ oba mají Laplaceovy transformace, které existují pro všechny ${displaystyle s> 0}$. Li ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$ existuje a ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$ pak existuje ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$.^{[3]:Věta 2.36[4]:20[6]}

Poznámka

Aby věta mohla platit, musí existovat oba limity. Například pokud ${displaystyle f (t) = sin (t)}$ pak ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$ neexistuje, ale ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {sF (s)} = lim _ {s, o, 0} {frac {s} {s ^ {2} +1}} = 0}$.^{[3]:Příklad 2.37[4]:20}

Vylepšená Tauberianova věta o konečné hodnotě konverze

Předpokládejme to ${displaystyle f: (0, infty) o mathbb {C}}$ je omezená a diferencovatelná, a to${displaystyle tf '(t)}$ je také omezen na ${displaystyle (0, infty)}$. Li ${displaystyle sF (s) o Lin mathbb {C}}$ tak jako ${displaystyle s o 0}$ pak ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = L}$.^[7]

Věta o rozšířené konečné hodnotě

Předpokládejme, že každý pól ${displaystyle F (s)}$ je buď v otevřené levé poloviční rovině, nebo v počátku. Poté nastane jedna z následujících situací:

1. ${displaystyle sF (s) o Lin mathbb {R}}$ tak jako ${displaystyle sdownarrow 0}$, a ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = L}$.
2. ${displaystyle sF (s) o + infty v mathbb {R}}$ tak jako ${displaystyle sdownarrow 0}$, a ${displaystyle f (t) o + infty}$ tak jako ${displaystyle t o infty}$.
3. ${displaystyle sF (s) o -infty v mathbb {R}}$ tak jako ${displaystyle sdownarrow 0}$, a ${displaystyle f (t) o -infty}$ tak jako ${displaystyle t o infty}$.

Zejména pokud ${displaystyle s = 0}$ je vícenásobný pól ${displaystyle F (s)}$ pak platí případ 2 nebo 3 (${displaystyle f (t) o + infty}$ nebo ${displaystyle f (t) o -infty}$).^[5]

Zobecněná věta o konečné hodnotě

Předpokládejme to ${displaystyle f (t)}$ je Laplaceova transformovatelná. Nechat ${displaystyle lambda> -1}$. Li ${displaystyle lim _ {t o infty} {frac {f (t)} {t ^ {lambda}}}}$ existuje a ${displaystyle lim _ {sdownarrow 0} {s ^ {lambda +1} F (s)}}$ pak existuje

${displaystyle lim _ {t o infty} {frac {f (t)} {t ^ {lambda}}} = {frac {1} {Gamma (lambda +1)}} lim _ {sdownarrow 0} {s ^ { lambda +1} F (s)}}$

kde ${displaystyle Gamma (x)}$ označuje Funkce gama.^[5]

Aplikace

Věty o konečné hodnotě pro získání ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$ mít aplikace při zřizování dlouhodobá stabilita systému.

Dedukce ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$

Abelianova věta o konečné hodnotě

Předpokládejme to ${displaystyle f: (0, infty) o mathbb {C}}$ je omezená a měřitelná a${displaystyle lim _ {t o infty} f (t) = alfa v mathbb {C}}$. Pak ${displaystyle F (s)}$ existuje pro všechny ${displaystyle s> 0}$ a ${displaystyle lim _ {s, o, 0 ^ {+}} {sF (s)} = alfa}$.^[7]

Základní důkaz^[7]

Předpokládejme pro pohodlí ${displaystyle | f (t) | leq 1}$ na ${displaystyle (0, infty)}$a nechte ${displaystyle alpha = lim _ {t o infty} f (t)}$. Nechat ${displaystyle epsilon> 0}$a vyberte ${displaystyle A}$ aby ${displaystyle | f (t) -alpha |$ pro všechny${displaystyle t> A}$. Od té doby ${displaystyle sint _ {0} ^ {infty} e ^ {- st}, dt = 1}$, pro každého${displaystyle s> 0}$ my máme

${displaystyle sF (s) -alpha = sint _ {0} ^ {infty} (f (t) -alpha) e ^ {- st}, dt;}$

proto

${displaystyle | sF (s) -alpha | leq sint _ {0} ^ {A} | f (t) -alpha | e ^ {- st}, dt + sint _ {A} ^ {infty} | f (t ) -alpha | e ^ {- st}, dtleq 2sint _ {0} ^ {A} e ^ {- st}, dt + epsilon sint _ {A} ^ {infty} e ^ {- st}, dt = I + II.}$

Nyní pro každého ${displaystyle s> 0}$ my máme

${displaystyle II$.

Na druhou stranu od té doby ${displaystyle A$ je opraveno je jasné, že ${displaystyle lim _ {s o 0} I = 0}$, a také ${displaystyle | sF (s) -alpha |$ -li ${displaystyle s> 0}$ je dost malý.

Věta o konečné hodnotě pomocí Laplaceovy transformace derivace

Předpokládejme, že jsou splněny všechny následující podmínky:

1. ${displaystyle f: (0, infty) o mathbb {C}}$ je neustále diferencovatelné a obojí ${displaystyle f}$ a ${displaystyle f '}$ mít Laplaceovu transformaci
2. ${displaystyle f '}$ je naprosto integrovatelný, to je ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} | f '(au) |, d au}$ je konečný
3. ${displaystyle lim _ {t o infty} f (t)}$ existuje a je konečný

Pak

${displaystyle lim _ {s o 0 ^ {+}} sF (s) = lim _ {t o infty} f (t)}$.^[8]

Poznámka

Důkaz používá Věta o dominantní konvergenci.^[8]

Věta o konečné hodnotě pro průměr funkce

Nechat ${displaystyle f: (0, infty) o mathbb {C}}$ být spojitá a ohraničená funkce taková, že existuje následující limit

${displaystyle lim _ {T o infty} {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f (t), dt = alfa v mathbb {C}}$

Pak ${displaystyle lim _ {s, o, 0,, ​​s> 0} {sF (s)} = alfa}$.^[9]

Věta o konečné hodnotě pro asymptotické součty periodických funkcí

Předpokládejme to ${displaystyle f: [0, infty) o mathbb {R}}$ je kontinuální a naprosto integrovatelný ${displaystyle [0, infty)}$. Předpokládejme dále ${displaystyle f}$ se asymptoticky rovná konečnému součtu periodických funkcí ${displaystyle f_ {mathrm {as}}}$, to je

${displaystyle | f (t) -f_ {mathrm {as}} (t) |$

kde ${displaystyle phi (t)}$ je naprosto integrovatelný do ${displaystyle [0, infty)}$ a mizí v nekonečnu. Pak

${displaystyle lim _ {s o 0} sF (s) = lim _ {t o infty} {frac {1} {t}} int _ {0} ^ {t} f (x), dx}$.^[10]

Věta o konečné hodnotě pro funkci, která se rozbíhá do nekonečna

Nechat ${displaystyle f (t): [0, infty) o mathbb {R}}$ a ${displaystyle F (s)}$ být Laplaceovou transformací ${displaystyle f (t)}$. Předpokládejme to ${displaystyle f (t)}$ splňuje všechny následující podmínky:

1. ${displaystyle f (t)}$ je nekonečně diferencovatelné na nulu
2. ${displaystyle f ^ {(k)} (t)}$ má Laplaceovu transformaci pro všechna nezáporná celá čísla ${displaystyle k}$
3. ${displaystyle f (t)}$ rozchází se do nekonečna jako ${displaystyle t o infty}$

Pak ${displaystyle sF (s)}$ rozchází se do nekonečna jako ${displaystyle s o 0 ^ {+}}$.^[11]

Aplikace

Věty o konečné hodnotě pro získání ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {sF (s)}}$ mít aplikace v pravděpodobnosti a statistikách pro výpočet momenty náhodné proměnné. Nechat ${displaystyle R (x)}$ být kumulativní distribuční funkcí spojité náhodné proměnné ${displaystyle X}$ a nechte ${displaystyle ho (s)}$ být Laplaceova-Stieltjesova transformace z ${displaystyle R (x)}$. Pak ${displaystyle n}$-tý okamžik ${displaystyle X}$ lze vypočítat jako

${displaystyle E [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} vlevo. {frac {d ^ {n} ho (s)} {ds ^ {n}}} včas | _ {s = 0} }$

Strategií je psát

${displaystyle {frac {d ^ {n} ho (s)} {ds ^ {n}}} = {mathcal {F}} {igl (} G_ {1} (s), G_ {2} (s), tečky, G_ {k} (s), tečky {igr)}}$

kde ${displaystyle {mathcal {F}} (tečky)}$ je kontinuální a pro každého ${displaystyle k}$, ${displaystyle G_ {k} (s) = sF_ {k} (s)}$ pro funkci ${displaystyle F_ {k} (y)}$. Pro každého ${displaystyle k}$, dát ${displaystyle f_ {k} (t)}$ jako inverzní Laplaceova transformace z ${displaystyle F_ {k} (y)}$, získat ${displaystyle lim _ {t o infty} f_ {k} (t)}$, a použít teorém o konečné hodnotě, který lze odvodit ${displaystyle lim _ {s, o, 0} {G_ {k} (s)} = lim _ {s, o, 0} {sF_ {k} (s)} = lim _ {t o infty} f_ {k } (t)}$. Pak

${displaystyle left. {frac {d ^ {n} ho (s)} {ds ^ {n}}} ight | _ {s = 0} = {mathcal {F}} {Bigl (} lim _ {s, o , 0} G_ {1} (s), lim _ {s, o, 0} G_ {2} (s), tečky, lim _ {s, o, 0} G_ {k} (s), tečky {Bigr )}}$

a tudíž ${displaystyle E [X ^ {n}]}$ je získáno.

Příklady

Příklad, kde platí FVT

Například pro systém popsaný v přenosová funkce

${displaystyle H (s) = {frac {6} {s + 2}},}$

a tak impulsní odezva konverguje k

${displaystyle lim _ {t o infty} h (t) = lim _ {s o 0} {frac {6s} {s + 2}} = 0.}$

To znamená, že se systém vrací na nulu poté, co byl vyrušen krátkým impulzem. Laplaceova transformace odezva na jednotku je

${displaystyle G (s) = {frac {1} {s}} {frac {6} {s + 2}}}$

a tak kroková reakce konverguje k

${displaystyle lim _ {t o infty} g (t) = lim _ {s o 0} {frac {s} {s}} {frac {6} {s + 2}} = {frac {6} {2} } = 3}$

a tak bude systém nulového stavu následovat exponenciální nárůst na konečnou hodnotu 3.

Příklad, kde FVT neplatí

Pro systém popsaný funkcí přenosu

${displaystyle H (s) = {frac {9} {s ^ {2} +9}},}$

věta o konečné hodnotě objeví se předpovědět konečnou hodnotu impulzní odezvy na hodnotu 0 a konečnou hodnotu krokové odezvy na hodnotu 1. Neexistuje však žádný limit časové oblasti, a proto předpovědi věty o konečné hodnotě nejsou platné. Ve skutečnosti oscilují jak impulzní odezva, tak i kroková odezva a (v tomto zvláštním případě) teorém o konečné hodnotě průměrné hodnoty, kolem kterých oscilaují odezvy.

V systému jsou prováděny dvě kontroly Teorie řízení které potvrzují platné výsledky pro teorém o konečné hodnotě:

1. Všechny nenulové kořeny jmenovatele ${displaystyle H (s)}$ musí mít záporné skutečné části.
2. ${displaystyle H (s)}$ nesmí mít na počátku více než jeden pól.

Pravidlo 1 nebylo v tomto příkladu splněno v tom, že kořeny jmenovatele jsou ${displaystyle 0 + j3}$ a ${displaystyle 0-j3}$.

Věty o konečné hodnotě pro transformaci Z.

Dedukce ${displaystyle lim _ {k o infty} f [k]}$

Věta o konečné hodnotě

Li ${displaystyle lim _ {k o infty} f [k]}$ existuje a ${displaystyle lim _ {z, o, 1} {(z-1) F (z)}}$ pak existuje ${displaystyle lim _ {k o infty} f [k] = lim _ {z, o, 1} {(z-1) F (z)}}$.^[4]:101

Viz také

• Věta o počáteční hodnotě
• Z-transformace
• Laplaceova transformace

Poznámky

externí odkazy

• [1]
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Konečná hodnota pro Laplace
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Konečná hodnota důkazu pro Z-transformace

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.