v matematika a zpracování signálu, Z-transformace převádí a signál diskrétního času, což je sekvence z nemovitý nebo komplexní čísla, do komplexu frekvenční doména zastoupení.
Lze jej považovat za diskrétní ekvivalent Laplaceova transformace. Tato podobnost je zkoumána v teorii kalkul v časovém měřítku.
Dějiny
Základní myšlenka nyní známá jako Z-transformace byla známá Laplace, a to bylo znovu zavedeno v roce 1947 W. Hurewicz[1][2] a další jako způsob, jak zacházet se systémy řízení vzorkovaných dat používanými s radarem. Poskytuje přitažlivý způsob řešení lineárního konstantního koeficientu rozdílové rovnice. Později to bylo nazváno „z-transformací“ Ragazzini a Zadeh v kontrolní skupině vzorkovaných dat na Kolumbijské univerzitě v roce 1952.[3][4]
Upravený nebo pokročilá Z-transformace byl později vyvinut a popularizován E. I. porota.[5][6]
Myšlenka obsažená v Z-transformaci je v matematické literatuře známá také jako metoda generující funkce který lze vysledovat již v roce 1730, kdy byl představen de Moivre ve spojení s teorií pravděpodobnosti.[7]Z matematického pohledu lze na Z-transformaci pohlížet také jako na Laurentova řada kde jeden považuje sled uvažovaných čísel za (Laurentovo) rozšíření analytické funkce.
Definice
Z-transformaci lze definovat jako a jednostranný nebo oboustranný přeměnit.[8]
Bilaterální Z-transformace
The bilaterální nebo oboustranný Z-transformace diskrétního signálu je formální mocenské řady definováno jako
| | (Rovnice 1) |
kde je celé číslo a je obecně a komplexní číslo:
kde je velikost , je imaginární jednotka, a je složitý argument (označovaný také jako úhel nebo fáze) v radiány.
Jednostranná Z-transformace
Alternativně v případech, kdy je definováno pouze pro , jednostranný nebo jednostranný Z-transformace je definována jako
| | (Rovnice 2) |
v zpracování signálu, tuto definici lze použít k vyhodnocení Z-transformace jednotka impulzní odezva diskrétního času kauzální systém.
Důležitým příkladem jednostranné Z-transformace je funkce generující pravděpodobnost, kde komponenta je pravděpodobnost, že diskrétní náhodná proměnná vezme hodnotu a funkce je obvykle psáno jako ve smyslu . Vlastnosti Z-transformací (níže) mají užitečné interpretace v kontextu teorie pravděpodobnosti.
Inverzní Z-transformace
The inverzní Z-transformace je
| | (Rovnice 3) |
kde C je uzavřená cesta proti směru hodinových ručiček obklopující původ a zcela v oblast konvergence (ROC). V případě, že ROC je kauzální (viz Příklad 2 ), to znamená cestu C musí obklopit všechny póly .
Zvláštní případ konturový integrál nastane, když C je jednotkový kruh. Tento obrys lze použít, když ROC zahrnuje jednotkovou kružnici, což je vždy zaručeno je stabilní, to znamená, když jsou všechny póly uvnitř jednotkového kruhu. S touto konturou se inverzní Z-transformace zjednodušuje na inverzní Fourierova transformace v diskrétním čase nebo Fourierova řada, periodických hodnot Z-transformace kolem jednotkového kruhu:
Z-transformace s konečným rozsahem n a konečný počet rovnoměrně rozmístěných z hodnoty lze efektivně vypočítat pomocí Bluesteinův FFT algoritmus. The diskrétní Fourierova transformace (DTFT) - nelze zaměňovat s diskrétní Fourierova transformace (DFT) - je zvláštní případ takové Z-transformace získané omezením z ležet na jednotkovém kruhu.
Region konvergence
The oblast konvergence (ROC) je sada bodů v komplexní rovině, pro které konverguje součet Z-transformace.
Příklad 1 (bez ROC)
Nechat x [n] = (0.5)n. Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
Při pohledu na částku
Proto neexistují žádné hodnoty z které splňují tuto podmínku.
Příklad 2 (kauzální ROC)
ROC je znázorněno modře, jednotkový kruh jako šedý tečkovaný kruh a kruh |z| = 0,5 se zobrazuje jako přerušovaný černý kruh
Nechat (kde u je Funkce Heaviside step ). Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
Při pohledu na částku
Poslední rovnost vzniká z nekonečna geometrické řady a rovnost platí, pouze pokud | 0,5z−1| <1, které lze přepsat z hlediska z jako |z| > 0,5. ROC je tedy |z| > 0,5. V tomto případě je ROC komplexní rovina s diskem o poloměru 0,5 v počátečním bodě „vyraženém“.
Příklad 3 (anti kauzální ROC)
ROC je znázorněno modře, jednotkový kruh jako šedý tečkovaný kruh a kruh |z| = 0,5 se zobrazuje jako přerušovaný černý kruh
Nechat (kde u je Funkce Heaviside step ). Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
Při pohledu na částku
Použití nekonečna geometrické řady, opět platí rovnost, pouze pokud | 0,5−1z| <1, které lze přepsat z hlediska z jako |z| <0,5. ROC je tedy |z| <0,5. V tomto případě je ROC disk vycentrovaný na počátek a poloměr 0,5.
Co odlišuje tento příklad od předchozího příkladu je pouze ROC. Toto je záměrné prokázat, že samotný výsledek transformace je nedostatečný.
Závěr příkladů
Příklady 2 a 3 jasně ukazují, že Z-transformace X (z) z x [n] je jedinečný tehdy a jen při specifikaci ROC. Vytváření pole – nula pro kauzální a antikauzální případ ukazují, že ROC pro oba případy nezahrnuje pól, který je 0,5. To se vztahuje na případy s více póly: ROC bude nikdy obsahují póly.
V příkladu 2 kauzální systém poskytuje ROC, který obsahuje |z| = ∞ zatímco anticausal systém v příkladu 3 poskytuje ROC, který zahrnuje |z| = 0.
ROC je zobrazen jako modrý kruh 0,5 <|z| < 0.75
V systémech s více póly je možné mít ROC, který neobsahuje ani |z| = ∞ ani |z| = 0. ROC vytvoří kruhový pás. Například,
má póly 0,5 a 0,75. ROC bude 0,5 <|z| <0,75, což nezahrnuje ani počátek, ani nekonečno. Takový systém se nazývá systém smíšené kauzality, protože obsahuje kauzální člen (0,5)nu[n] a antikauzální výraz - (0,75)nu[−n−1].
The stabilita systému lze také určit pomocí znalosti samotného ROC. Pokud ROC obsahuje jednotkovou kružnici (tj. |z| = 1) je systém stabilní. Ve výše uvedených systémech je kauzální systém (příklad 2) stabilní, protože |z| > 0,5 obsahuje jednotkovou kružnici.
Předpokládejme, že nám je poskytnuta Z-transformace systému bez ROC (tj. Nejednoznačný x [n]). Můžeme určit jedinečný x [n] pokud si přejeme následující:
Pro stabilitu musí ROC obsahovat kruh jednotek. Pokud potřebujeme kauzální systém, pak ROC musí obsahovat nekonečno a funkcí systému bude pravostranná sekvence. Pokud potřebujeme anticauzální systém, pak ROC musí obsahovat počátek a funkcí systému bude levostranná sekvence. Pokud potřebujeme stabilitu i kauzalitu, musí být všechny póly funkce systému uvnitř jednotkového kruhu.
Unikátní x [n] pak lze najít.
Vlastnosti
Vlastnosti z-transformace | Časová doména | Z-doména | Důkaz | ROC |
---|
Zápis | | | | |
---|
Linearita | | | | Obsahuje ROC1 ∩ ROC2 |
---|
Časová expanze | s | | | |
---|
Decimování | | | ohio-state.edu neboee.ic.ac.uk | |
---|
Časová prodleva | s a | | | ROC, kromě z = 0 pokud k > 0 a z = ∞ pokud k < 0 |
---|
Časový posun | s | Bilaterální Z-transformace: Jednostranná Z-transformace:[9] | | |
---|
První rozdíl zpět | s X[n] = 0 pro n<0 | | | Obsahuje průsečík ROC z X1(z) a z ≠ 0 |
---|
První rozdíl vpřed | | | | |
---|
Časový obrat | | | | |
---|
Škálování v z-doméně | | | | |
---|
Složitá konjugace | | | | |
---|
Skutečná část | | | | |
---|
Imaginární část | | | | |
---|
Diferenciace | | | | ROC, pokud je racionální; ROC případně s vyloučením hranice, pokud je iracionální[10] |
---|
Konvoluce | | | | Obsahuje ROC1 OC ROC2 |
---|
Křížová korelace | | | | Obsahuje průsečík ROC z a |
---|
Nashromáždění | | | | |
---|
Násobení | | | | - |
---|
Parsevalova věta
Věta o počáteční hodnotě: Pokud X[n] je tedy příčinná
Věta o konečné hodnotě: Pokud póly (z−1)X(z) jsou tedy uvnitř kruhu jednotek
Tabulka běžných párů Z-transformace
Tady: