v matematika a zpracování signálu, Z-transformace převádí a signál diskrétního času, což je sekvence z nemovitý nebo komplexní čísla, do komplexu frekvenční doména zastoupení.
Lze jej považovat za diskrétní ekvivalent Laplaceova transformace. Tato podobnost je zkoumána v teorii kalkul v časovém měřítku.
Dějiny
Základní myšlenka nyní známá jako Z-transformace byla známá Laplace, a to bylo znovu zavedeno v roce 1947 W. Hurewicz[1][2] a další jako způsob, jak zacházet se systémy řízení vzorkovaných dat používanými s radarem. Poskytuje přitažlivý způsob řešení lineárního konstantního koeficientu rozdílové rovnice. Později to bylo nazváno „z-transformací“ Ragazzini a Zadeh v kontrolní skupině vzorkovaných dat na Kolumbijské univerzitě v roce 1952.[3][4]
Upravený nebo pokročilá Z-transformace byl později vyvinut a popularizován E. I. porota.[5][6]
Myšlenka obsažená v Z-transformaci je v matematické literatuře známá také jako metoda generující funkce který lze vysledovat již v roce 1730, kdy byl představen de Moivre ve spojení s teorií pravděpodobnosti.[7]Z matematického pohledu lze na Z-transformaci pohlížet také jako na Laurentova řada kde jeden považuje sled uvažovaných čísel za (Laurentovo) rozšíření analytické funkce.
Definice
Z-transformaci lze definovat jako a jednostranný nebo oboustranný přeměnit.[8]
Bilaterální Z-transformace
The bilaterální nebo oboustranný Z-transformace diskrétního signálu
je formální mocenské řady
definováno jako
![X (z) = { mathcal {Z}} {x [n] } = součet _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] z ^ {- n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e) | | (Rovnice 1) |
kde
je celé číslo a
je obecně a komplexní číslo:

kde
je velikost
,
je imaginární jednotka, a
je složitý argument (označovaný také jako úhel nebo fáze) v radiány.
Jednostranná Z-transformace
Alternativně v případech, kdy
je definováno pouze pro
, jednostranný nebo jednostranný Z-transformace je definována jako
![X (z) = { mathcal {Z}} {x [n] } = sum _ {n = 0} ^ { infty} x [n] z ^ {- n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e560ddcffcbab6fa176f4d2dd8e3fe60905b55) | | (Rovnice 2) |
v zpracování signálu, tuto definici lze použít k vyhodnocení Z-transformace jednotka impulzní odezva diskrétního času kauzální systém.
Důležitým příkladem jednostranné Z-transformace je funkce generující pravděpodobnost, kde komponenta
je pravděpodobnost, že diskrétní náhodná proměnná vezme hodnotu
a funkce
je obvykle psáno jako
ve smyslu
. Vlastnosti Z-transformací (níže) mají užitečné interpretace v kontextu teorie pravděpodobnosti.
Inverzní Z-transformace
The inverzní Z-transformace je
![x [n] = { mathcal {Z}} ^ {- 1} {X (z) } = { frac {1} {2 pi j}} mast _ {C} X (z) z ^ {n-1} dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872e380a9d155a1ee7a3cb5e2ee0e4f033927995) | | (Rovnice 3) |
kde C je uzavřená cesta proti směru hodinových ručiček obklopující původ a zcela v oblast konvergence (ROC). V případě, že ROC je kauzální (viz Příklad 2 ), to znamená cestu C musí obklopit všechny póly
.
Zvláštní případ konturový integrál nastane, když C je jednotkový kruh. Tento obrys lze použít, když ROC zahrnuje jednotkovou kružnici, což je vždy zaručeno
je stabilní, to znamená, když jsou všechny póly uvnitř jednotkového kruhu. S touto konturou se inverzní Z-transformace zjednodušuje na inverzní Fourierova transformace v diskrétním čase nebo Fourierova řada, periodických hodnot Z-transformace kolem jednotkového kruhu:
![x [n] = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ {+ pi} X (e ^ {j omega}) e ^ {j omega n} d omega.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cad6f61b3feec604ba454617acaea7beae9be)
Z-transformace s konečným rozsahem n a konečný počet rovnoměrně rozmístěných z hodnoty lze efektivně vypočítat pomocí Bluesteinův FFT algoritmus. The diskrétní Fourierova transformace (DTFT) - nelze zaměňovat s diskrétní Fourierova transformace (DFT) - je zvláštní případ takové Z-transformace získané omezením z ležet na jednotkovém kruhu.
Region konvergence
The oblast konvergence (ROC) je sada bodů v komplexní rovině, pro které konverguje součet Z-transformace.
![{ displaystyle mathrm {ROC} = vlevo {z: vlevo | součet _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] z ^ {- n} vpravo | < infty že jo}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565b68d9585d229ec01e09bd8bd2428119b4d478)
Příklad 1 (bez ROC)
Nechat x [n] = (0.5)n. Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
![x [n] = left { cdots, 0,5 ^ {- 3}, 0,5 ^ {- 2}, 0,5 ^ {- 1}, 1,0,5,0,5 ^ {2}, 0,5 ^ {3}, cdots right } = left { cdots, 2 ^ {3}, 2 ^ {2}, 2,1,0,5,0,5 ^ {2}, 0,5 ^ {3}, cdots right }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0a16581c6c01c2dbd61d6e345d0c1daf45a4ef)
Při pohledu na částku
![sum _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] z ^ {- n} do infty.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1521fe62d231dfb0fae8a8583d4fad0882b0)
Proto neexistují žádné hodnoty z které splňují tuto podmínku.
Příklad 2 (kauzální ROC)
ROC je znázorněno modře, jednotkový kruh jako šedý tečkovaný kruh a kruh |z| = 0,5 se zobrazuje jako přerušovaný černý kruh
Nechat
(kde u je Funkce Heaviside step ). Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
![x [n] = left { cdots, 0,0,0,1,0,5,0,5 ^ {2}, 0,5 ^ {3}, cdots right }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7beddbdd74691d956130f78850030ad4d8877e)
Při pohledu na částku
![sum _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] z ^ {- n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} 0,5 ^ {n} z ^ {- n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {0,5} {z}} right) ^ {n} = { frac {1} {1-0,5z ^ {- 1 }}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcec1d978fd88c533b13fc81a3a7b1dcb784bba)
Poslední rovnost vzniká z nekonečna geometrické řady a rovnost platí, pouze pokud | 0,5z−1| <1, které lze přepsat z hlediska z jako |z| > 0,5. ROC je tedy |z| > 0,5. V tomto případě je ROC komplexní rovina s diskem o poloměru 0,5 v počátečním bodě „vyraženém“.
Příklad 3 (anti kauzální ROC)
ROC je znázorněno modře, jednotkový kruh jako šedý tečkovaný kruh a kruh |z| = 0,5 se zobrazuje jako přerušovaný černý kruh
Nechat
(kde u je Funkce Heaviside step ). Rozšiřuje se x [n] na intervalu (−∞, ∞) se stává
![x [n] = left { cdots, - (0,5) ^ {- 3}, - (0,5) ^ {- 2}, - (0,5) ^ {- 1}, 0,0,0,0, cdots right }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2b69a4dafb9fc491500100fe2de6c44bfcf08)
Při pohledu na částku
![{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] z ^ {- n} = - sum _ {n = - infty} ^ {- 1} 0,5 ^ {n} z ^ {- n} = - součet _ {m = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {z} {0,5}} vpravo) ^ {m} = - { frac {0,5 ^ { -1} z} {1-0,5 ^ {- 1} z}} = - { frac {1} {0,5z ^ {- 1} -1}} = { frac {1} {1-0,5z ^ {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ac72dab49747fed82438b7e01973744492b5dd)
Použití nekonečna geometrické řady, opět platí rovnost, pouze pokud | 0,5−1z| <1, které lze přepsat z hlediska z jako |z| <0,5. ROC je tedy |z| <0,5. V tomto případě je ROC disk vycentrovaný na počátek a poloměr 0,5.
Co odlišuje tento příklad od předchozího příkladu je pouze ROC. Toto je záměrné prokázat, že samotný výsledek transformace je nedostatečný.
Závěr příkladů
Příklady 2 a 3 jasně ukazují, že Z-transformace X (z) z x [n] je jedinečný tehdy a jen při specifikaci ROC. Vytváření pole – nula pro kauzální a antikauzální případ ukazují, že ROC pro oba případy nezahrnuje pól, který je 0,5. To se vztahuje na případy s více póly: ROC bude nikdy obsahují póly.
V příkladu 2 kauzální systém poskytuje ROC, který obsahuje |z| = ∞ zatímco anticausal systém v příkladu 3 poskytuje ROC, který zahrnuje |z| = 0.
ROC je zobrazen jako modrý kruh 0,5 <|z| < 0.75
V systémech s více póly je možné mít ROC, který neobsahuje ani |z| = ∞ ani |z| = 0. ROC vytvoří kruhový pás. Například,
![x [n] = 0,5 ^ {n} u [n] -0,75 ^ {n} u [-n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a35aa48e0a80015443d04e9c2af649eb8979eab)
má póly 0,5 a 0,75. ROC bude 0,5 <|z| <0,75, což nezahrnuje ani počátek, ani nekonečno. Takový systém se nazývá systém smíšené kauzality, protože obsahuje kauzální člen (0,5)nu[n] a antikauzální výraz - (0,75)nu[−n−1].
The stabilita systému lze také určit pomocí znalosti samotného ROC. Pokud ROC obsahuje jednotkovou kružnici (tj. |z| = 1) je systém stabilní. Ve výše uvedených systémech je kauzální systém (příklad 2) stabilní, protože |z| > 0,5 obsahuje jednotkovou kružnici.
Předpokládejme, že nám je poskytnuta Z-transformace systému bez ROC (tj. Nejednoznačný x [n]). Můžeme určit jedinečný x [n] pokud si přejeme následující:
Pro stabilitu musí ROC obsahovat kruh jednotek. Pokud potřebujeme kauzální systém, pak ROC musí obsahovat nekonečno a funkcí systému bude pravostranná sekvence. Pokud potřebujeme anticauzální systém, pak ROC musí obsahovat počátek a funkcí systému bude levostranná sekvence. Pokud potřebujeme stabilitu i kauzalitu, musí být všechny póly funkce systému uvnitř jednotkového kruhu.
Unikátní x [n] pak lze najít.
Vlastnosti
Vlastnosti z-transformace | Časová doména | Z-doména | Důkaz | ROC |
---|
Zápis | ![x [n] = { mathcal {Z}} ^ {- 1} {X (z) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d) | ![X (z) = { mathcal {Z}} {x [n] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f) | |  |
---|
Linearita | ![a_ {1} x_ {1} [n] + a_ {2} x_ {2} [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97ce6ff93cf3ccb0258ad080057561fe1defb16) |  |  | Obsahuje ROC1 ∩ ROC2 |
---|
Časová expanze | ![{ displaystyle x_ {K} [n] = { begin {cases} x [r], & n = Kr 0, & n notin K mathbb {Z} end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e274e1002f0d604eb381b0e63477d10a32ed9a2) s  |  |  |  |
---|
Decimování | ![{ displaystyle x [Kn]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a6e62f39dd3b33afd36dbe216281373a3fe73e) |  | ohio-state.edu neboee.ic.ac.uk | |
---|
Časová prodleva | ![x [n-k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0) s a ![{ displaystyle x: x [n] = 0 celkem n <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ea34cc30987c38570b7840d63f6c829c5e84e7) |  | ![{ begin {aligned} Z {x [nk] } & = sum _ {n = 0} ^ { infty} x [nk] z ^ {- n} & = sum _ {j = -k} ^ { infty} x [j] z ^ {- (j + k)} && j = nk & = sum _ {j = -k} ^ { infty} x [j] z ^ { -j} z ^ {- k} & = z ^ {- k} sum _ {j = -k} ^ { infty} x [j] z ^ {- j} & = z ^ { -k} sum _ {j = 0} ^ { infty} x [j] z ^ {- j} && x [ beta] = 0, beta <0 & = z ^ {- k} X ( z) end {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d295516d056488d044f4f7b79ad32c636e864c49) | ROC, kromě z = 0 pokud k > 0 a z = ∞ pokud k < 0 |
---|
Časový posun | ![{ displaystyle x [n + k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3d26f01fb22189383e95aaaeff42f772b2b7c0) s  | Bilaterální Z-transformace: Jednostranná Z-transformace:[9]![{ displaystyle z ^ {k} X (z) -z ^ {k} součet _ {n = 0} ^ {k-1} x [n] z ^ {- n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1652819babf911321c6f77faab68d604acc05e) | | |
---|
První rozdíl zpět | ![x [n] -x [n-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2294625d3fa83bdd70d50e99c19cc0ad4f103ac7) s X[n] = 0 pro n<0 |  | | Obsahuje průsečík ROC z X1(z) a z ≠ 0 |
---|
První rozdíl vpřed | ![{ displaystyle x [n + 1] -x [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701e3120035bdb76413d2e128ea822b548430a7e) | ![{ displaystyle (z-1) X (z) -zx [0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372e1f5939a55428a43151997677095d632597db) | | |
---|
Časový obrat | ![x [-n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2958bd31d147e297b9544bac8ecb293bc64c54e2) |  |  |  |
---|
Škálování v z-doméně | ![a ^ {n} x [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e6317bd81d87cfd18bb11f24d33e311654f66) |  | ![{ begin {aligned} { mathcal {Z}} left {a ^ {n} x [n] right } & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} a ^ { n} x (n) z ^ {- n} & = suma _ {n = - infty} ^ { infty} x (n) (a ^ {- 1} z) ^ {- n} & = X (a ^ {- 1} z) end {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f8477f13051fac644aa7c6b4d06995580f049f) |  |
---|
Složitá konjugace | ![x ^ {*} [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebfe6cd83983535242e2e7090ec8afd92fda490) |  | ![{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {x ^ {*} (n) } & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} x ^ {*} (n) z ^ {- n} & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} left [x (n) (z ^ {*}) ^ {- n} right] ^ {* } & = left [ sum _ {n = - infty} ^ { infty} x (n) (z ^ {*}) ^ {- n} right] ^ {*} & = X ^ {*} (z ^ {*}) end {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a171fcc40b4257e1567ce9b1381ff4f0dfcac) | |
---|
Skutečná část | ![operatorname {Re} {x [n] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e937c065ea014ea1a800b7d65e8598dd53b04fe) | ![{ tfrac {1} {2}} vlevo [X (z) + X ^ {*} (z ^ {*}) vpravo]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52189e67c3e7a9197f1fef536da483dd8298f088) | | |
---|
Imaginární část | ![operatorname {Im} {x [n] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ba3d404961701358a86f290f7ed4c584331b1) | ![{ tfrac {1} {2j}} vlevo [X (z) -X ^ {*} (z ^ {*}) vpravo]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93477d1ad565aba61bd29e4fb3e6a036797a5036) | | |
---|
Diferenciace | ![nx [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf25e4ef78078f099b667b5ae491f9de3d61ff) |  |  | ROC, pokud je racionální;ROC případně s vyloučením hranice, pokud je iracionální[10] |
---|
Konvoluce | ![x_ {1} [n] * x_ {2} [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729fc738effd3f2e021a0aafd5b601e5636866e) |  | ![{ begin {aligned} { mathcal {Z}} {x_ {1} (n) * x_ {2} (n) } & = { mathcal {Z}} left { sum _ {l = - infty} ^ { infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) right } & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} left [ sum _ {l = - infty} ^ { infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) right] z ^ {- n} & = sum _ {l = - infty} ^ { infty} x_ {1} (l) left [ sum _ {n = - infty} ^ { infty} x_ {2} (nl) z ^ {- n} right] & = left [ sum _ {l = - infty} ^ { infty} x_ {1} (l) z ^ {- l} right] ! ! left [ sum _ {n = - infty} ^ { infty} x_ {2} (n) z ^ {- n} right] & = X_ {1} (z) X_ {2} (z) end {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3985e381c0872301ffe55acf809d1a3f73142d0d) | Obsahuje ROC1 OC ROC2 |
---|
Křížová korelace | ![r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c75f9bd7c335ef723987776fe4b720fdd74ce7) |  | | Obsahuje průsečík ROC z a  |
---|
Nashromáždění | ![sum _{k=-infty }^{n}x[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d6540c00220987b9e9b320d050bcbba37c4b4b) |  | ![{egin{aligned}sum _{n=-infty }^{infty }sum _{k=-infty }^{n}x[k]z^{-n}&=sum _{n=-infty }^{infty }(x[n]+cdots +x[-infty ])z^{-n}&=X[z]left(1+z^{-1}+z^{-2}+cdots
ight)&=X[z]sum _{j=0}^{infty }z^{-j}&=X[z]{frac {1}{1-z^{-1}}}end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3be12bdb3e4c8f0f0f7c7361b8289f9c62cb56) | |
---|
Násobení | ![x_{1}[n]x_{2}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6743e17b24b69f8e3967724f056c04b779ee3e) |  | | - |
---|
Parsevalova věta
![sum _{n=-infty }^{infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]quad =quad {frac {1}{j2pi }}oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({ frac {1}{v^{*}}})v^{-1}mathrm {d} v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff45b737972bd6dc88fc06588ae6e08910d74e8b)
Věta o počáteční hodnotě: Pokud X[n] je tedy příčinná
![x[0]=lim _{z o infty }X(z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815494d8476445adef605f74b5b5a6765fb203c4)
Věta o konečné hodnotě: Pokud póly (z−1)X(z) jsou tedy uvnitř kruhu jednotek
![x[infty ]=lim _{z o 1}(z-1)X(z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1462160ef0f0d8de8000f78372f2a1b21c2a6031)
Tabulka běžných párů Z-transformace
Tady:
![u:nmapsto u[n]={egin{cases}1,&ngeq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c15373dbd58410ab17d3c2c7ebe2123e276298)