Paley – Wienerova věta - Paley–Wiener theorem

v matematika, a Paley – Wienerova věta je libovolná věta, která souvisí s vlastnostmi rozpadu funkce nebo rozdělení v nekonečnu s analytičnost jeho Fourierova transformace. Věta je pojmenována pro Raymond Paley (1907–1933) a Norbert Wiener (1894–1964). Původní věty nepoužívaly jazyk distribuce, a místo toho se vztahuje na čtvercově integrovatelné funkce. První taková věta používající distribuce byla způsobena Laurent Schwartz.

Holomorfní Fourierovy transformace

Klasické Paley-Wienerovy věty využívají holomorfní Fourierovu transformaci na třídách čtvercově integrovatelné funkce podporováno na skutečné lince. Formálně je myšlenka přijmout integrál definující (inverzní) Fourierovu transformaci

${ displaystyle f ( zeta) = int _ {- infty} ^ { infty} F (x) e ^ {ix zeta} , dx}$

a povolit ζ být a komplexní číslo v horní polorovina. Lze pak očekávat, že se bude diferencovat podle integrálu, aby si ověřil, že Cauchy – Riemannovy rovnice držet, a tím i to F definuje analytickou funkci. Tento integrál však nemusí být dobře definován, dokonce ani pro F v L²(R) - skutečně od té doby ζ je v horní polovině roviny, modul E^ixζ roste exponenciálně jako ${ displaystyle x rightarrow - infty}$ - takže rozlišování pod integrálním znamením nepřichází v úvahu. Je třeba zavést další omezení F aby bylo zajištěno, že tento integrál je dobře definovaný.

Prvním takovým omezením je toto F být podporován na R₊: to znamená, F ∈ L²(R₊). Teorie Paley – Wiener nyní tvrdí následující:^[1] Holomorfní Fourierova transformace F, definován

${ displaystyle f ( zeta) = int _ {0} ^ { infty} F (x) e ^ {ix zeta} , dx}$

pro ζ v horní polorovina je holomorfní funkce. Navíc tím, že Plancherelův teorém, jeden má

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} vlevo | f ( xi + i eta) vpravo | ^ {2} , d xi leq int _ {0} ^ { infty} | F (x) | ^ {2} , dx}$

a tím dominovala konvergence,

${ displaystyle lim _ { eta až 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ { infty} left | f ( xi + i eta) -f ( xi) vpravo | ^ {2} , d xi = 0.}$

Naopak, pokud F je holomorfní funkce v horní polorovině uspokojivá

${ displaystyle sup _ { eta> 0} int _ {- infty} ^ { infty} vlevo | f ( xi + i eta) vpravo | ^ {2} , d xi = C < infty}$

pak existuje F v L²(R₊) takové, že F je holomorfní Fourierova transformace F.

V abstraktních termínech tato verze věty výslovně popisuje Hardy prostor H²(R). Věta to říká

${ displaystyle { mathcal {F}} H ^ {2} ( mathbf {R}) = L ^ {2} ( mathbf {R _ {+}}).}$

Toto je velmi užitečný výsledek, protože umožňuje jeden průchod Fourierovy transformace funkce v Hardyho prostoru a provádět výpočty ve snadno pochopitelném prostoru L²(R₊) čtvercových integrovatelných funkcí podporovaných na kladné ose.

Uložením alternativního omezení F být kompaktně podporováno, jeden získá další Paley-Wienerovu větu.^[2] Předpokládejme to F je podporováno v [-A, A], aby F ∈ L²(−A,A). Pak se holomorfní Fourierova transformace

${ displaystyle f ( zeta) = int _ {- A} ^ {A} F (x) e ^ {ix zeta} , dx}$

je celá funkce z exponenciální typ A, což znamená, že existuje konstanta C takhle

${ displaystyle | f ( zeta) | leq Ce ^ {A | zeta |},}$

a navíc F je čtvercově integrovatelný přes vodorovné čáry:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | f ( xi + i eta) | ^ {2} , d xi < infty.}$

Naopak jakákoli celá funkce exponenciálního typu A který je čtvercově integrovatelný přes vodorovné čáry, je holomorfní Fourierova transformace an L² funkce podporovaná v [-A, A].

Schwartzova Paleyova-Wienerova věta

Schwartzova Paleyova – Wienerova věta tvrdí, že Fourierova transformace a rozdělení z kompaktní podpora na Rⁿ je celá funkce na Cⁿ a poskytuje odhady jeho růstu v nekonečnu. Bylo prokázáno Laurent Schwartz (1952 ). Zde uvedená formulace pochází z Hörmander (1976).

Obecně lze Fourierovu transformaci definovat pro jakoukoli temperované rozdělení; navíc jakákoli distribuce kompaktní podpory proti je temperované rozdělení. Li proti je distribuce kompaktní podpory a F je nekonečně diferencovatelná funkce, výraz

${ displaystyle v (f) = proti (x mapsto f (x))}$

je dobře definován.

Je možné ukázat, že Fourierova transformace proti je funkce (na rozdíl od obecného temperovaného rozdělení) uvedená na hodnotě s podle

${ displaystyle { hat {v}} (s) = (2 pi) ^ {- { frac {n} {2}}} v left (x mapsto e ^ {- i langle x, s rangle} right)}$

a že tuto funkci lze rozšířit na hodnoty s v komplexním prostoru Cⁿ. Toto rozšíření Fourierovy transformace do komplexní domény se nazývá Fourier-Laplaceova transformace.

Schwartzova věta. Celá funkce F na Cⁿ je Fourier-Laplaceova transformace distribuce proti kompaktní podpory právě tehdy, když pro všechny z ∈ Cⁿ,

${ displaystyle | F (z) | leq C (1+ | z |) ^ {N} e ^ {B | { text {Im}} (z) |}}$

pro některé konstanty C, N, B. Distribuce proti ve skutečnosti bude podporováno v uzavřené kouli středu 0 a poloměru B.

Další podmínky růstu pro celou funkci F uložit distribuci vlastnosti pravidelnosti proti. Například:^[3]

Teorém. Pokud pro každé pozitivní N existuje konstanta C_N takové, že pro všechny z ∈ Cⁿ,

${ displaystyle | F (z) | leq C_ {N} (1+ | z |) ^ {- N} e ^ {B | { text {Im}} (z) |}}$

pak proti je nekonečně diferencovatelná funkce a naopak.

Ostřejší výsledky poskytující dobrou kontrolu nad singulární podpora z proti byly formulovány uživatelem Hörmander (1976). Zejména,^[4] nechat K. být konvexní kompaktní soubor Rⁿ s podpůrnou funkcí H, definován

${ displaystyle H (x) = sup _ {y v K} langle x, y rangle.}$

Pak singulární podpora proti je obsažen v K. právě když existuje konstanta N a posloupnost konstant C_m takhle

${ displaystyle | { hat {v}} ( zeta) | leq C_ {m} (1+ | zeta |) ^ {N} e ^ {H ({ text {Im}} ( zeta) )}}$

pro ${ displaystyle | { text {Im}} ( zeta) | leq m log (| zeta | +1).}$

Poznámky

Reference

• Hörmander, L. (1976), Lineární parciální diferenciální operátorySpringer Verlag.
• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), New York: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054234-1, PAN  0924157.
• Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions“, Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem.], 1952: 196–206, PAN  0052555
• Strichartz, R. (1994), Průvodce teorií distribuce a Fourierovými transformacemi, CRC Press, ISBN  0-8493-8273-4.
• Yosida, K. (1968), Funkční analýza, Academic Press.