Morerasova věta - Moreras theorem - Wikipedia

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

Pokud je integrál podél každého C je tedy nula F je holomorfní na D.

v komplexní analýza, pobočka matematika, Morerova věta, pojmenoval podle Giacinto Morera, dává důležité kritérium pro prokázání, že a funkce je holomorfní.

Morerova věta říká, že a kontinuální, komplex -hodnotená funkce F definované na otevřená sada D v složité letadlo to uspokojuje

${ displaystyle mast _ { gamma} f (z) , dz = 0}$

pro každý uzavřený po částech C¹ křivka ${ displaystyle gamma}$ v D musí být holomorfní D.

Předpoklad Morerovy věty je stejný jako F mít primitivní naD.

Konverzace věty není obecně pravdivá. Holomorfní funkce nemusí mít ve své doméně primitivní funkci, ledaže by někdo stanovil další předpoklady. Naopak platí pokud doména je jednoduše připojeno; tohle je Cauchyho integrální věta s tím, že linka integrální holomorfní funkce podél a uzavřená křivka je nula.

Standardní protiklad je funkce F(z) = 1/z, který je holomorfní na ℂ - {0}. V jakékoli jednoduše propojené čtvrti U v ℂ - {0}, 1 /z má primitivní funkci definovanou L(z) = ln (r) + iθ, kde z = re^iθ. Kvůli nejednoznačnosti θ až do přidání jakéhokoli celočíselného násobku 2π, jakýkoli nepřetržitý výběr θ na U bude stačit k definování primitivní funkce 1 /z na U. (Je to tím, že θ nelze definovat spojitě na jednoduché uzavřené křivce obsahující počátek v jejím vnitřku, který je kořenem proč 1 /z nemá na celé své doméně antiderivativ ℂ - {0}.) A protože derivace aditivní konstanty je 0, může být k antiderivátu přidána jakákoli konstanta a stále je to primitivní funkce 1 /z.

V určitém smyslu je 1 /z protipříklad je univerzální: Pro každou analytickou funkci, která nemá ve své doméně žádné primitivní funkce, je důvodem to, že 1 /z samo o sobě nemá primitivní funkci na ℂ - {0}.

Důkaz

Integrály podél dvou cest z A na b jsou stejné, protože jejich rozdíl je integrál podél uzavřené smyčky.

Existuje relativně základní důkaz věty. Jeden konstruuje anti-derivát pro F výslovně.

Bez ztráty obecnosti lze předpokládat, že D je připojeno. Opravte bod z₀ v Da pro všechny ${ displaystyle z v D}$, nechť ${ displaystyle gamma: [0,1] do D}$ být po částech C¹ křivka taková ${ displaystyle gamma (0) = z_ {0}}$ a ${ displaystyle gamma (1) = z}$. Poté definujte funkci F být

${ displaystyle F (z) = int _ { gamma} f ( zeta) , d zeta.}$

Předpokládejme, že funkce je dobře definovaná ${ displaystyle tau: [0,1] do D}$ je další po částech C¹ křivka taková ${ displaystyle tau (0) = z_ {0}}$ a ${ displaystyle tau (1) = z}$. Křivka ${ displaystyle gamma tau ^ {- 1}}$ (tj. kombinace křivky ${ displaystyle gamma}$ s ${ displaystyle tau}$ obráceně) je po částech uzavřen C¹ zakřivit dovnitř D. Pak,

${ displaystyle int _ { gamma} f ( zeta) , d zeta + int _ { tau ^ {- 1}} f ( zeta) , d zeta = mast _ { gamma tau ^ {- 1}} f ( zeta) , d zeta = 0.}$

A z toho vyplývá

${ displaystyle int _ { gamma} f ( zeta) , d zeta = int _ { tau} f ( zeta) , d zeta.}$

Pak pomocí kontinuity F abychom odhadli rozdílové kvocienty, dostaneme to F′(z) = F(z). Kdybychom si vybrali jiné z₀ v D, F by se změnilo konstantou: totiž výsledkem integrace F podél žádný po částech pravidelná křivka mezi novou z₀ a staré, a to nemění derivaci.

Od té doby F je derivát holomorfní funkce F, je holomorfní. Skutečnost, že deriváty holomorfních funkcí jsou holomorfní, lze dokázat tím, že holomorfní funkce jsou analytické, tj. mohou být reprezentovány konvergentní výkonovou řadou, a skutečnost, že výkonové řady mohou být diferencovány po jednotlivých členech. Tím je důkaz dokončen.

Aplikace

Morerova věta je standardní nástroj komplexní analýza. Používá se téměř v každém argumentu, který zahrnuje nealgebraickou konstrukci holomorfní funkce.

Jednotné limity

Předpokládejme například, že F₁, F₂, ... je posloupnost holomorfních funkcí, jednotně konvergující na spojitou funkci F na otevřeném disku. Podle Cauchyova věta, víme, že

${ displaystyle mast _ {C} f_ {n} (z) , dz = 0}$

pro každého n, podél libovolné uzavřené křivky C na disku. Z toho pak vyplývá jednotná konvergence

${ displaystyle mast _ {C} f (z) , dz = mast _ {C} lim _ {n až infty} f_ {n} (z) , dz = lim _ {n to infty} mast _ {C} f_ {n} (z) , dz = 0}$

pro každou uzavřenou křivku C, a tedy podle Morerovy věty F musí být holomorfní. Tuto skutečnost lze použít k prokázání, že pro všechny otevřená sada Ω ⊆C, sada A(Ω) ze všech ohraničený analytické funkce u : Ω →C je Banachův prostor s respektem k nadřazená norma.

Nekonečné součty a integrály

Morerovu větu lze také použít ve spojení s Fubiniho věta a Weierstrassův M-test ukázat analytičnost funkcí definovaných součty nebo integrály, jako je Funkce Riemann zeta

${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}}$

nebo Funkce gama

${ displaystyle Gamma ( alpha) = int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha -1} e ^ {- x} , dx.}$

To konkrétně ukazuje

${ displaystyle mast _ {C} Gamma ( alfa) , d alfa = 0}$

pro vhodnou uzavřenou křivku Cpsaním

${ displaystyle mast _ {C} Gamma ( alpha) , d alpha = mast _ {C} int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha -1} e ^ {- x} , dx , d alfa}$

a poté pomocí Fubiniho věty ospravedlnit změnu pořadí integrace, dostat

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} mast _ {C} x ^ { alpha -1} e ^ {- x} , d alpha , dx = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} mast _ {C} x ^ { alpha -1} , d alpha , dx.}$

Pak se použije analytičnost α ↦ X^α−1 k závěru, že

${ displaystyle mast _ {C} x ^ { alfa -1} , d alfa = 0,}$

a tudíž výše uvedený dvojitý integrál je 0. Podobně v případě funkce zeta M-test ospravedlňuje záměnu integrálu podél uzavřené křivky a součtu.

Oslabení hypotéz

Hypotézy Morerovy věty mohou být značně oslabeny. Zejména to stačí pro integrál

${ displaystyle mast _ { částečné T} f (z) , dz}$

být nula pro každý uzavřený (plný) trojúhelník T obsažené v regionu D. Toto ve skutečnosti charakterizuje holomorphy, tj. F je holomorfní D pouze tehdy, pokud platí výše uvedené podmínky. Z toho také vyplývá následující zobecnění výše uvedeného faktu o jednotných mezích holomorfních funkcí: if F₁, F₂, ... je posloupnost holomorfních funkcí definovaných na otevřené množině Ω ⊆C který konverguje k funkci F rovnoměrně na kompaktní podmnožiny Ω F je holomorfní.

Viz také

• Cauchy – Riemannovy rovnice
• Metody integrace kontury
• Zbytky (komplexní analýza)
• Mittag-Lefflerova věta

Reference

• Ahlfors, Larsi (1. ledna 1979), Komplexní analýza, International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-000657-7, Zbl  0395.30001.
• Conway, John B. (1973), Funkce jedné komplexní proměnné I., Postgraduální texty z matematiky, 11, Springer Verlag, ISBN  978-3-540-90328-4, Zbl  0277.30001.
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Teorie funkcí jedné komplexní proměnné, Postgraduální studium matematiky, 40Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-3962-4
• Morera, Giacinto (1886), „Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa“, Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (v italštině), 19 (2): 304–307, JFM  18.0338.02.
• Rudin, Walter (1987) [1966], Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), McGraw-Hill, str. xiv + 416, ISBN  978-0-07-054234-1, Zbl  0925.00005.

externí odkazy

• „Morerova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Morerova věta“. MathWorld.
• Článek EoM