Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta - Hardy–Littlewood tauberian theorem

v matematická analýza, Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta je tauberiánská věta týkající se asymptotika dílčích součtů a série s asymptotikou jeho Abelův součet. V této formě věta tvrdí, že pokud, jako y ↓ 0, nezáporná sekvence A_n je takový, že existuje asymptotická ekvivalence

{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}}}

pak existuje také asymptotická ekvivalence

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n}

tak jako n → ∞. The integrální formulace věty se týká analogickým způsobem asymptotiky kumulativní distribuční funkce funkce s asymptotikou její Laplaceovy transformace.

Věta byla prokázána v roce 1914 G. H. Hardy a J. E. Littlewood.^[1]^:226 V roce 1930 Jovan Karamata dal nový a mnohem jednodušší důkaz.^[1]^:226

Výrok věty

Formulace série

Tato formulace je od Titchmarsh.^[1]^:226 Předpokládat A_n ≥ 0 pro všechny n, a jako X ↑ 1 máme

{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} x ^ {n} sim {frac {1} {1-x}}.}

Pak jako n jde do ∞ máme

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n.}

Věta je někdy citována v ekvivalentních formách, kde místo požadavku A_n ≥ 0, požadujeme A_n = O (1), nebo požadujeme A_n ≥ −K. pro nějakou konstantu K..^[2]^:155 Věta je někdy citována v jiné ekvivalentní formulaci (změnou proměnné X = 1/E^y ).^[2]^:155 Pokud, jako y ↓ 0,

{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}}}

pak

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n.}

Integrovaná formulace

Následující obecnější formulace pochází od společnosti Feller.^[3]^:445 Zvažte funkci se skutečnou hodnotou F : [0,∞) → R z ohraničená variace.^[4] The Laplaceova-Stieltjesova transformace z F je definován Stieltjesův integrál

{displaystyle omega (s) = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st}, dF (t).}

Věta spojuje asymptotiku ω s asymptotikou ω F následujícím způsobem. Pokud ρ je nezáporné reálné číslo, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní

${displaystyle omega (s) sim Cs ^ {- ho}, quad {m {{as} s o 0}}}$
${displaystyle F (t) sim {frac {C} {Gamma (ho +1)}} t ^ {ho}, quad {m {{as} t o infty.}}}$

Zde Γ označuje Funkce gama. Jeden získá větu pro řadu jako speciální případ tím, že vezme ρ = 1 a F(t) být po částech konstantní funkcí s hodnotou ${displaystyle extstyle {sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}}$ mezi t=n a t=n+1.

Mírné zlepšení je možné. Podle definice a pomalu se měnící funkce, L(X) se pomalu mění v nekonečnu, pokud

{displaystyle {frac {L (tx)} {L (x)}} o 1, quad x o infty}

za každé pozitivní t. Nechat L být funkcí pomalu se měnící v nekonečnu a ρ nezáporné reálné číslo. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní

${displaystyle omega (s) sim s ^ {- ho} L (s ^ {- 1}), quad {m {{as} s o 0}}}$
${displaystyle F (t) sim {frac {1} {Gamma (ho +1)}} t ^ {ho} L (t), quad {m {{as} t o infty.}}}$

Karamatův důkaz

Karamata (1930) našel krátký důkaz věty zvážením funkcí G takhle

{displaystyle lim _ {xightarrow 1} (1-x) součet a_ {n} x ^ {n} g (x ^ {n}) = int _ {0} ^ {1} g (t) dt}

Snadný výpočet ukazuje, že vše monomials G(X)=X^k mít tuto vlastnost, a tedy i všechny polynomy G. To lze rozšířit na funkci G s jednoduchými (krokovými) diskontinuitami aproximací pomocí polynomů shora a zdola (pomocí Weierstrassova věta o aproximaci a trochu navíc fudging) a s využitím skutečnosti, že koeficienty A_n jsou pozitivní. Zejména funkce daná G(t)=1/t pokud 1 /E<t<1 a 0 má jinak tuto vlastnost. Ale pak pro X=E^−1/N součet ΣA_nXⁿG(Xⁿ) je A₀+...+A_Na integrál G je 1, z čehož bezprostředně vyplývá věta Hardy – Littlewood.

Příklady

Nepozitivní koeficienty

Věta může selhat bez podmínky, že koeficienty budou nezáporné. Například funkce

{displaystyle {frac {1} {(1 + x) ^ {2} (1-x)}} = 1-x + 2x ^ {2} -2x ^ {3} + 3x ^ {4} -3x ^ { 5} + cdots}

je asymptotický na 1/4 (1–X) tak jako X má tendenci k 1, ale částečné součty jeho koeficientů jsou 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 ... a nejsou asymptotické pro žádnou lineární funkci.

Littlewoodovo rozšíření Tauberovy věty

V roce 1911 Littlewood prokázal rozšíření Tauber konverzace z Ábelova věta. Littlewood ukázal následující: Pokud A_n = O (1 /n), a jako X ↑ 1 máme

{displaystyle sum a_ {n} x ^ {n} o s,}

pak

{displaystyle sum a_ {n} = s.}

Toto přišlo historicky před tauberiánskou větou Hardy – Littlewood, ale lze to dokázat jako jeho jednoduchou aplikaci.^[1]^:233–235

Věta o prvočísle

V roce 1915 vyvinuli Hardy a Littlewood důkaz o věta o prvočísle na základě jejich tauberiánské věty; dokázali

{displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} Lambda (n) e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}},}

kde Λ je von Mangoldtova funkce a poté závěr

{displaystyle sum _ {nleq x} Lambda (n) sim x,}

ekvivalentní forma věty o prvočísle.^[5]^:34–35^[6]^:302–307Littlewood vyvinul jednodušší důkaz, stále založený na této tauberiánské větě, v roce 1971.^[6]^:307–309

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d Titchmarsh, E. C. (1939). Teorie funkcí (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853349-7.
^ ^A ^b Hardy, G. H. (1991) [1949]. Divergentní série. Providence, RI: AMS Chelsea. ISBN 0-8284-0334-1.
^ Feller, William (1971). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Sv. II. Druhé vydání. New York: John Wiley & Sons. PAN 0270403.
^ Omezená variace je vyžadována pouze místně: na každém omezeném podintervalu [0, ∞). Je však zapotřebí složitějších dalších předpokladů o konvergenci Laplace-Stieltjesovy transformace. Vidět Shubin, M. A. (1987). Pseudodiferenciální operátory a spektrální teorie. Springer Series v sovětské matematice. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-13621-7. PAN 0883081.
^ Hardy, G. H. (1999) [1940]. Ramanujan: Dvanáct přednášek o předmětech navrhovaných jeho životem a dílem. Providence: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2023-0.
^ ^A ^b Narkiewicz, Władysław (2000). Vývoj teorie prvočísel. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66289-8.

externí odkazy

„Tauberianovy věty“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Hardy-Littlewood Tauberianova věta“. MathWorld.

[Titchmarsh-1] A ^b ^C ^d Titchmarsh, E. C. (1939). Teorie funkcí (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853349-7.

[Hardy-2] A ^b Hardy, G. H. (1991) [1949]. Divergentní série. Providence, RI: AMS Chelsea. ISBN 0-8284-0334-1.

[3] Feller, William (1971). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Sv. II. Druhé vydání. New York: John Wiley & Sons. PAN 0270403.

[4] Omezená variace je vyžadována pouze místně: na každém omezeném podintervalu [0, ∞). Je však zapotřebí složitějších dalších předpokladů o konvergenci Laplace-Stieltjesovy transformace. Vidět Shubin, M. A. (1987). Pseudodiferenciální operátory a spektrální teorie. Springer Series v sovětské matematice. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-13621-7. PAN 0883081.

[12Ramanujan-5] Hardy, G. H. (1999) [1940]. Ramanujan: Dvanáct přednášek o předmětech navrhovaných jeho životem a dílem. Providence: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2023-0.

[Narkiewicz-6] A ^b Narkiewicz, Władysław (2000). Vývoj teorie prvočísel. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66289-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]