Věta o počáteční hodnotě - Initial value theorem - Wikipedia

v matematická analýza, věta o počáteční hodnotě je věta, která se používá k relaci frekvenční doména výrazy pro časová doména chování se blíží čas nula.^[1]

Je také známý pod zkratkou IVT.

Nechat

{ displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} , dt}

být (jednostranný) Laplaceova transformace z ƒ(t). Li ${ displaystyle f}$ je omezen na ${ displaystyle (0, infty)}$ (nebo pokud jen ${ displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})}$ ) a ${ displaystyle lim _ {t až 0 ^ {+}} f (t)}$ existuje, pak říká věta o počáteční hodnotě^[2]

{ displaystyle lim _ {t , to , 0} f (t) = lim _ {s až infty} {sF (s)}.}

Důkaz

Předpokládejme, že první ${ displaystyle f}$ je omezený. Říci ${ displaystyle lim _ {t až 0 ^ {+}} f (t) = alfa}$ . Změna proměnné v integrálu ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} , dt}$ ukázat to

{ displaystyle sF (s) = int _ {0} ^ { infty} f left ({ frac {t} {s}} right) e ^ {- t} , dt}

.

Od té doby ${ displaystyle f}$ je ohraničený, Věta o dominantní konvergenci ukázat to

{ displaystyle lim _ {s to infty} sF (s) = int _ {0} ^ { infty} alpha e ^ {- t} , dt = alfa.}

Samozřejmě zde opravdu nepotřebujeme DCT, lze poskytnout velmi jednoduchý důkaz pouze pomocí elementárního počtu:

Začněte výběrem ${ displaystyle A}$ aby ${ displaystyle int _ {A} ^ { infty} e ^ {- t} , dt < epsilon}$ a pak si toho povšimněte ${ displaystyle lim _ {s to infty} f left ({ frac {t} {s}} right) = alpha}$ jednotně pro ${ displaystyle t in (0, A]}$ .)

Věta předpokládající právě to ${ displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})}$ vyplývá z věty pro omezené ${ displaystyle f}$ :Definovat ${ displaystyle g (t) = e ^ {- ct} f (t)}$ . Pak ${ displaystyle g}$ je omezený, takže jsme to ukázali ${ displaystyle g (0 ^ {+}) = lim _ {s až infty} sG (s)}$ .Ale ${ displaystyle f (0 ^ {+}) = g (0 ^ {+})}$ a ${ displaystyle G (s) = F (s + c)}$ , tak