Laplaceova-Stieltjesova transformace - Laplace–Stieltjes transform

The Laplaceova-Stieltjesova transformace, pojmenovaný pro Pierre-Simon Laplace a Thomas Joannes Stieltjes, je integrální transformace podobně jako Laplaceova transformace. Pro funkce se skutečnou hodnotou, je to Laplaceova transformace a Stieltjes měří, nicméně je často definován pro funkce s hodnotami v Banachův prostor. Je užitečný v řadě oblastí matematika, počítaje v to funkční analýza a určité oblasti teoretický a použitá pravděpodobnost.

Skutečné funkce

Laplaceova-Stieltjesova transformace funkce se skutečnou hodnotou G je dán a Lebesgue – Stieltjes integrál formuláře

{ displaystyle int e ^ {- sx} , dg (x)}

pro s A komplexní číslo. Stejně jako u obvyklé Laplaceovy transformace získá člověk trochu jinou transformaci v závislosti na doméně integrace, a aby bylo možné definovat integrál, je také nutné vyžadovat, aby G být z ohraničená variace o regionu integrace. Nejběžnější jsou:

Bilaterální (nebo oboustranná) Laplaceova-Stieltjesova transformace je dána vztahem

{ displaystyle {{ mathcal {L}} ^ {*} g } (s) = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- sx} , dg (x).}

Jednostranná (jednostranná) Laplaceova-Stieltjesova transformace je dána vztahem

{ displaystyle {{ mathcal {L}} ^ {*} g } (s) = lim _ { varepsilon až 0 ^ {+}} int _ {- varepsilon} ^ { infty} e ^ {- sx} , dg (x).}

Limit je nezbytný k zajištění toho, aby transformace zachytila možný skok G(X) na X = 0, jak je potřeba k pochopení Laplaceovy transformace Diracova delta funkce.

Obecnější transformace lze považovat za integraci přes obrys v souboru složité letadlo; vidět Zhavrid 2001.

Laplaceova-Stieltjesova transformace v případě funkce se skalární hodnotou je tedy považována za speciální případ Laplaceova transformace a Stieltjes měří. Vtipu

{ displaystyle { mathcal {L}} ^ {*} g = { mathcal {L}} (dg).}

Zejména sdílí mnoho vlastností s obvyklou Laplaceovou transformací. Například konvoluční věta drží:

{ displaystyle {{ mathcal {L}} ^ {*} (g * h) } (s) = {{ mathcal {L}} ^ {*} g } (s) {{ mathcal {L}} ^ {*} h } (s).}

Často pouze skutečné hodnoty proměnné s jsou považovány, i když integrál existuje jako vlastní Lebesgueův integrál pro danou skutečnou hodnotu s = σ, pak existuje také pro celý komplex s s re (s) ≥ σ.

Transformace Laplace – Stieltjes se přirozeně objeví v následujícím kontextu. Li X je náhodná proměnná s kumulativní distribuční funkce F, pak je Laplaceova-Stieltjesova transformace dána znakem očekávání:

{ displaystyle {{ mathcal {L}} ^ {*} F } (s) = mathrm {E} doleva [e ^ {- sX} doprava].}

Vektorové míry

Zatímco Laplaceova-Stieltjesova transformace funkce se skutečnou hodnotou je zvláštním případem Laplaceovy transformace míry aplikované na přidruženou Stieltjesovu míru, konvenční Laplaceova transformace nedokáže zpracovat vektorové míry: opatření s hodnotami v a Banachův prostor. Ty jsou však důležité v souvislosti se studiem poloskupiny které vznikají v parciální diferenciální rovnice, harmonická analýza, a teorie pravděpodobnosti. Nejdůležitějšími poloskupinami jsou tepelná poloskupina, Riemann-Liouville semigroup, a Brownův pohyb a další nekonečně dělitelné procesy.

Nechat G být funkcí od [0, ∞) do Banachova prostoru X z silně ohraničená variace během každého konečného intervalu. To znamená, že pro každý pevný podinterval [0,T] jeden má

{ displaystyle sup sum _ {i} vlevo | g (t_ {i}) - g (t_ {i + 1}) vpravo | _ {X} < infty}

Kde supremum přebírá všechny oddíly [0,T]

{ displaystyle 0 = t_ {0}

Stieltjesův integrál s ohledem na vektorovou míru dg

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

je definována jako a Riemann – Stieltjesův integrál. Ve skutečnosti, pokud π je označený oddíl intervalu [0,T] s rozdělením 0 = t₀ ≤ t₁ ≤ ... ≤ t_n = T, významné body ${ displaystyle tau _ {i} v [t_ {i}, t_ {i + 1}]}$ a velikost ok ${ displaystyle | pi | = max vlevo | t_ {i} -t_ {i + 1} vpravo |,}$ Riemann-Stieltjesův integrál je definován jako hodnota limitu

{ displaystyle lim _ {| pi | až 0} součet _ {i = 0} ^ {n-1} e ^ {- s tau _ {i}} vlevo [g (t_ {i + 1}) - g (t_ {i}) vpravo]}

převzato v topologii dne X. Hypotéza silně ohraničené variace zaručuje konvergenci.

Pokud je v topologii X omezení

{ displaystyle lim _ {T to infty} int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

existuje, pak hodnota tohoto limitu je Laplaceova-Stieltjesova transformace G.

Související transformace

Transformace Laplace – Stieltjes úzce souvisí s ostatními integrální transformace, včetně Fourierova transformace a Laplaceova transformace. Pamatujte zejména na následující:

Li G má derivát G' pak Laplaceova-Stieltjesova transformace G je Laplaceova transformace G' .

{ displaystyle {{ mathcal {L}} ^ {*} g } (s) = {{ mathcal {L}} g '} (s),}

Můžeme získat Fourier-Stieltjesova transformace z G (a podle výše uvedené poznámky Fourierova transformace G' ) od

{ displaystyle {{ mathcal {F}} ^ {*} g } (s) = {{ mathcal {L}} ^ {*} g } (je), qquad s in mathbb {R}.}

Pravděpodobnostní rozdělení

Li X je spojitý náhodná proměnná s kumulativní distribuční funkce F(t) pak momenty z X lze vypočítat pomocí^[1]

{ displaystyle operatorname {E} [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} vlevo. { frac {d ^ {n} {{ mathcal {L}} ^ {*} F } (s)} {ds ^ {n}}} vpravo | _ {s = 0}.}

Exponenciální rozdělení

Pro exponenciálně distribuovanou náhodnou proměnnou Y s parametrem sazby λ LST je,

{ displaystyle { widetilde {Y}} (s) = {{ mathcal {L}} ^ {*} F_ {Y} } (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {-st} lambda e ^ {- lambda t} dt = { frac { lambda} { lambda + s}}}

ze kterých lze vypočítat první tři momenty jako 1 /λ, 2/λ² a 6 /λ³.

Erlang distribuce

Pro Z s Erlang distribuce (což je součet n exponenciální distribuce) použijeme skutečnost, že rozdělení pravděpodobnosti součtu nezávislých náhodných proměnných je rovno konvoluce jejich rozdělení pravděpodobnosti. Takže když

{ displaystyle Z = Y_ {1} + cdots + Y_ {n}}

s Y_i nezávislý pak

{ displaystyle { widetilde {Z}} (s) = { widetilde {Y}} _ {1} (s) cdots { widetilde {Y}} _ {n} (s)}

proto v případě, kdy Z má distribuci Erlang,

{ displaystyle { widetilde {Z}} (s) = left ({ frac { lambda} { lambda + s}} right) ^ {n}.}

Rovnoměrné rozdělení

Pro U s rovnoměrné rozdělení na intervalu (A,b), transformace je dána

{ displaystyle { widetilde {U}} (s) = int _ {a} ^ {b} e ^ {- st} { frac {1} {ba}} dt = { frac {e ^ {- sa} -e ^ {- sb}} {s (ba)}}.}

Reference

^ Harchol-Balter, M. (2012). "Transformační analýza". Modelování výkonu a návrh počítačových systémů. str. 433. doi:10.1017 / CBO9781139226424.032. ISBN 9781139226424.

Apostol, T.M. (1957), Matematická analýza (1. vyd.), Reading, MA: Addison-Wesley; 2. vydání (1974) ISBN 0-201-00288-4.
Apostol, T.M. (1997), Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii čísel (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0.
Grimmett, G.R .; Stirzaker, D.R. (2001), Pravděpodobnost a náhodné procesy (3. vyd.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-857222-0.
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Funkční analýza a poloskupiny„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, PAN 0423094.
Zhavrid, N.S. (2001) [1994], „Laplaceova transformace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.

[1] Harchol-Balter, M. (2012). "Transformační analýza". Modelování výkonu a návrh počítačových systémů. str. 433. doi:10.1017 / CBO9781139226424.032. ISBN 9781139226424.

[1]