Fraktální řetězec - Fractal string - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek nemá žádný hlavní část. Pomozte prosím přidáním úvodní části k tomuto článku. Další informace viz průvodce rozvrženíma na Wikipedii pokyny pro hlavní sekci zajistit, aby sekce obsahovala všechny podstatné podrobnosti. Diskutujte o tomto problému v článku diskusní stránka. (Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Fraktální řetězec"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Obyčejné fraktální řetězce

Obyčejný fraktální tětiva ${ displaystyle omega}$ je ohraničená otevřená podmnožina řádku reálného čísla. Jakoukoli takovou podmnožinu lze zapsat jako nanejvýšpočitatelný spojení připojených otevřené intervaly s přidruženými délkami ${ displaystyle { mathcal {L}} = { ell _ {1}, ell _ {2}, ldots }}$ psáno v nerostoucím pořadí. Povolujeme ${ displaystyle omega}$ skládat se z konečně mnoha otevřených intervalů, v takovém případě ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ se skládá z konečně mnoha délek. Odkazujeme na ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ jako fraktální řetězec.

Příklad

The sada Cantor střední třetiny je konstruováno odstraněním střední třetiny z jednotkového intervalu ${ displaystyle (0,1)}$, poté odstraníme prostřední třetiny následujících intervalů, ad infinitum. Vymazané intervaly ${ displaystyle Omega = left { left ({ frac {1} {3}}, { frac {2} {3}} right), left ({ frac {1} {9} }, { frac {2} {9}} doprava), doleva ({ frac {7} {9}}, { frac {8} {9}} doprava), ldots doprava } }$ mají odpovídající délky ${ displaystyle { mathcal {L}} = left {{ frac {1} {3}}, { frac {1} {9}}, { frac {1} {9}}, ldots že jo}}$. Induktivně můžeme ukázat, že existují ${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$ intervaly odpovídající každé délce ${ displaystyle 3 ^ {- n}}$. Říkáme tedy, že multiplicita délky ${ displaystyle 3 ^ {- n}}$ je ${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$.

Heuristický

Geometrické informace o Cantorovi uvedené ve výše uvedeném příkladu jsou obsaženy v běžném fraktálovém řetězci ${ displaystyle { mathcal {L}}}$. Z těchto informací můžeme vypočítat rozměr počítání krabic sady Cantor. Tato představa o fraktální dimenze lze zobecnit na komplexní dimenze, což nám poskytne úplné geometrické informace týkající se lokálních oscilací v geometrii Cantorovy sady.

Geometrická funkce zeta

Li ${ displaystyle sum _ {j in mathbb {J}} { ell _ {j}} < infty,}$ říkáme to ${ displaystyle Omega}$ má geometrickou realizaci v ${ displaystyle mathbb {R},}$ ${ displaystyle Omega = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} I_ {i}}$, Kde ${ displaystyle I_ {i}}$ jsou intervaly v ${ displaystyle mathbb {R}}$, všech délek ${ displaystyle { ell _ {j} } _ {j in mathbb {J}}}$, vzato s multiplicitou.

Pro každý fraktální řetězec ${ displaystyle { mathcal {L}}}$, můžeme se přidružit k ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ geometrická funkce zeta ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}}}$ definována jako Dirichletova řada ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (s) = součet _ {j in mathbb {J}} ell _ {j} ^ {s}}$. Póly geometrické funkce zeta ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (y)}$ se nazývají komplexní rozměry fraktálního řetězce ${ displaystyle { mathcal {L}}}$. Obecná filozofie teorie komplexních dimenzí pro fraktální řetězce je, že komplexní dimenze popisují vnitřní oscilaci v geometrii, spektrech a dynamice fraktálového řetězce ${ displaystyle { mathcal {L}}}$.

The úsečka konvergence z ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (s)}$ je definován jako ${ displaystyle sigma = inf left { alpha in mathbb {R}: sum _ {j = 1} ^ { infty} ell _ {j} ^ { alpha} < infty že jo}}$.

Pro fraktální řetězec ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ s nekonečně mnoha nenulovými délkami, úsečkou konvergence ${ displaystyle sigma}$ se shoduje s Minkowského rozměr hranice řetězce, ${ displaystyle částečné Omega}$. V našem příkladu je hraničním řetězcem Cantor samotná sada Cantor. Takže úsečka konvergence geometrické funkce zeta ${ displaystyle zeta _ { mathcal {L}} (y)}$ je Minkowského rozměr sady Cantor, což je ${ displaystyle { frac { log 2} { log 3}}}$.

Složité rozměry

Pro fraktální řetězec ${ displaystyle { mathcal {L}}}$, složený z nekonečného sledu délek, složité rozměry fraktálního řetězce jsou póly analytického pokračování geometrické funkce zeta spojené s fraktálním řetězcem. (Když analytické pokračování geometrické funkce zeta není definováno pro celou komplexní rovinu, vezmeme podmnožinu komplexní roviny zvanou „okno“ a hledáme „viditelné“ komplexní dimenze, které v tomto okně existují.^[1])

Příklad

Pokračujeme příkladem fraktálního řetězce spojeného se střední třetinou Cantorovy sady a počítáme ${ displaystyle zeta _ { mathbb {C}} (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ {n-1}} {3 ^ {ns}}} = { frac { frac {1} {3 ^ {s}}} {1 - { frac {2} {3 ^ {s}}}}}}$. Vypočítáme úsečka konvergence být hodnotou ${ displaystyle s}$ uspokojující ${ displaystyle 3 ^ {s} = 2}$, aby ${ displaystyle s = log _ {3} 2 = { frac { log 2} { log 3}}}$ je Minkowského rozměr sady Cantor.

Pro složité ${ displaystyle s}$, ${ displaystyle zeta _ { mathbb {C}} (y)}$ má póly na nekonečně mnoho řešení ${ displaystyle 3 ^ {s} = 2}$, které se v tomto příkladu vyskytují v ${ displaystyle s = { frac { log 2 + 2 pi ik} { log 3}}}$, pro všechna celá čísla ${ displaystyle k}$. Tato sbírka bodů se nazývá sada komplexních dimenzí prostřední třetiny Cantorovy sady.

Aplikace

Pro fraktální řetězce spojené se sadami, jako jsou sady Cantor, vytvořené z odstraněných intervalů, které jsou Racionální mocniny základní délky, komplexní dimenze se objevují v pravidelném aritmetickém postupu rovnoběžně s imaginární osou a nazývají se mříž fraktální struny. Sady, které tuto vlastnost nemají, se nazývají nemřížkový. V teorii měr takových objektů existuje dichotomie: obyčejný fraktální řetězec je Minkowski měřitelný právě tehdy, je-li nemřížkový.

Existence nerealistických komplexních dimenzí s pozitivní skutečnou částí byla navržena jako podpisový znak fraktálních objektů.^[1] Formálně Michel Lapidus a Machiel van Frankenhuijsen navrhují definovat „fraktálnost“ jako přítomnost alespoň jedné nerealistické komplexní dimenze s pozitivní skutečnou částí.^[1] Tato nová definice fraktality řeší některé staré problémy fraktální geometrie. Například s tím může každý souhlasit Cantorovo ďáblovo schodiště je fraktál, což je s touto novou definicí fraktality z hlediska komplexních dimenzí, ale není to ve smyslu Mandelbrota.

Zobecněné fraktální řetězce

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2018)

Reference