Axiom A - Axiom A - Wikipedia

v matematika, Smaleův axiom A definuje třídu dynamické systémy které byly rozsáhle studovány a jejichž dynamika je poměrně dobře pochopena. Výrazným příkladem je Mapa podkovy Smale. Termín „axiom A“ pochází z Stephen Smale.^[1][2] Důležitost těchto systémů dokazuje chaotická hypotéza, v němž se uvádí, že „pro všechny praktické účely“ jde o skupinu více subjektů termostatický systém je aproximován pomocí Anosov systém.^[3]

Definice

Nechat M být hladké potrubí s difeomorfismus F: M→M. Pak F je axiom Difefomorfismus pokud platí následující dvě podmínky:

1. The nes putující sada z F, Ω(F), je hyperbolická sada a kompaktní.
2. Sada periodické body z F je hustý v Ω(F).

Pro povrchy hyperbolicita nestékající množiny implikuje hustotu periodických bodů, ale ve vyšších dimenzích to již neplatí. Přesto se někdy nazývají difeomorfismy axiomu A hyperbolické difeomorfismy, protože část M kde dochází k zajímavé dynamice, Ω(F), vykazuje hyperbolické chování.

Axiom A difeomorfismy se zobecňují Systémy Morse – Smale, které splňují další omezení (konečně mnoho periodických bodů a transverzálnost stabilních a nestabilních dílčích potrubí). Mapa podkovy Smale je axiom Difefomorfismus s nekonečně mnoha periodickými body a kladný topologická entropie.

Vlastnosti

Žádný Anosov difeomorfismus splňuje axiom A. V tomto případě celé potrubí M je hyperbolický (i když se jedná o otevřenou otázku, zda se netulující sada Ω(F) tvoří celek M).

Rufus Bowen ukázal, že se netoulající souprava Ω(F) libovolného axiomu Difefomorfismus podporuje a Markovova přepážka.^[2][4] Proto omezení F na určitou obecnou podmnožinu Ω(F) je konjugován s a posun konečného typu.

Hustota periodických bodů v netulující se sadě implikuje její místní maximálnost: existuje otevřené sousedství U z Ω(F) takové, že

${ displaystyle cap _ {n in mathbb {Z}} f ^ {n} (U) = Omega (f).}$

Stabilita Omega

Důležitou vlastností systémů Axiom A je jejich strukturální stabilita proti malým poruchám.^[5] To znamená, že trajektorie narušeného systému zůstávají v topologické korespondenci 1-1 s neporušeným systémem. Tato vlastnost je důležitá, protože ukazuje, že systémy Axiom A nejsou výjimečné, ale jsou v jistém smyslu „robustní“.

Přesněji pro každého C¹-rozrušení F_ε z F, jeho netulující se souprava je tvořena dvěma kompaktními, F_ε-variantní podmnožiny Ω₁ a Ω₂. První podmnožina je homeomorfní Ω(F) přes a homeomorfismus h který sdružuje omezení F na Ω(F) s omezením na F_ε na Ω₁:

${ Displaystyle f _ { epsilon} circ h (x) = h circ f (x), quad forall x in Omega (f).}$

Li Ω₂ je tedy prázdný h je na Ω(F_ε). Pokud tomu tak je pro každou poruchu F_ε pak F je nazýván Omega stabilní. Difeomorfismus F je omega stabilní právě tehdy, pokud splňuje axiom A a stav bez cyklu (že oběžná dráha, jakmile opustí neměnnou podmnožinu, se nevrátí).

Viz také

• Ergodický tok

Reference

• Ruelle, David (1978). Termodynamický formalismus. Matematické struktury klasické rovnováhy. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN  0-201-13504-3. Zbl  0401.28016.
• Ruelle, David (1989). Chaotická evoluce a podivné atraktory. Statistická analýza časových řad pro deterministické nelineární systémy. Lezioni Lincee. Poznámky připravil Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN  0-521-36830-8. Zbl  0683.58001.