Invariantní míra - Invariant measure

v matematika, an invariantní míra je opatření to někteří zachovávají funkce. Ergodická teorie je studie invariantních měr v dynamické systémy. The Krylov – Bogolyubovova věta dokazuje existenci invariantních opatření za určitých podmínek pro uvažovanou funkci a prostor.

Definice

Nechť (X, Σ) být a měřitelný prostor a nechte F být měřitelná funkce z X pro sebe. Opatření μ na (X, Σ) se říká, že je neměnný pod F pokud pro každou měřitelnou sadu A v Σ,

${displaystyle mu left (f ^ {- 1} (A) ight) = mu (A).}$

Z hlediska tlačit kupředu, toto říká, že F_∗(μ) = μ.

Shromažďování opatření (obvykle pravděpodobnostní opatření ) zapnuto X které jsou neměnné pod F je někdy označován M_F(X). Sbírka ergodická opatření, E_F(X), je podmnožinou M_F(X). Navíc jakékoli konvexní kombinace dvou invariantních měr je také invariantní, takže M_F(X) je konvexní sada; E_F(X) se skládá přesně z krajních bodů M_F(X).

V případě a dynamický systém (X, T, φ), kde (X, Σ) je měřitelný prostor jako dříve, T je monoidní a φ : T × X → X je vývojová mapa, míra μ na (X, Σ) se říká, že je invariantní míra pokud se jedná o invariantní míru pro každou mapu φ_t : X → X. Výslovně, μ je neměnný kdyby a jen kdyby

${displaystyle mu left (varphi _ {t} ^ {- 1} (A) ight) = mu (A) qquad forall tin T, Ain Sigma.}$

Jinak řečeno, μ je neměnná míra pro posloupnost náhodné proměnné (Z_t)_t≥0 (možná a Markovův řetězec nebo řešení a stochastická diferenciální rovnice ) pokud, kdykoli je počáteční stav Z₀ je distribuován podle μ, takže je Z_t kdykoli později t.

Když lze dynamický systém popsat a operátor přenosu, pak invariantní míra je vlastní vektor operátoru, který odpovídá vlastní hodnotě 1, což je největší vlastní hodnota daná Frobeniova-Perronova věta.

Příklady

Zmáčkněte mapování listy hyperbolický úhel invariantní, jak se pohybuje a hyperbolický sektor (fialová) do jedné ze stejné oblasti. Modré a zelené obdélníky také udržují stejnou plochu

• Zvažte skutečná linie R se svým obvyklým Borel σ-algebra; opravit A ∈ R a zvažte překladovou mapu T_A : R → R dána:

${displaystyle T_ {a} (x) = x + a.}$

Pak jednorozměrný Lebesgueovo opatření λ je neměnná míra pro T_A.

• Obecněji, na n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ s obvyklou Borel σ-algebrou, n-rozměrné Lebesgueovo opatření λⁿ je neměnným měřítkem pro všechny izometrie euklidovského prostoru, tj. mapa T : Rⁿ → Rⁿ které lze zapsat jako

${displaystyle T (x) = Ax + b}$

pro některé n × n ortogonální matice A ∈ O (n) a vektor b ∈ Rⁿ.

• Invariantní míra v prvním příkladu je jedinečná až do triviální renormalizace s konstantním faktorem. To nemusí nutně platit: Vezměme si množinu skládající se pouze ze dvou bodů ${displaystyle {oldsymbol {m {S}}} = {A, B}}$ a mapa identity ${displaystyle T = {m {Id}}}$ což ponechává každý bod pevný. Pak jakékoli měřítko pravděpodobnosti ${displaystyle mu: {oldsymbol {m {S}}} ightarrow {oldsymbol {m {R}}}}$ je neměnný. Všimněte si, že S triviálně má rozklad na T-invariantní komponenty {A} a {B}.
• Míra kruhové úhly v stupňů nebo radiány je neměnný pod otáčení. Podobně, míra hyperbolický úhel je neměnný pod zmáčknout mapování.
• Plocha míra v euklidovské rovině je neměnná pod 2 × 2 reálné matice s determinantem 1, také známý jako speciální lineární skupina SL (2, R).
• Každý lokálně kompaktní skupina má Haarovo opatření to je neměnné v rámci skupinové akce.

Viz také

• Kvaziinvariantní míra

Reference

• Invariantní opatření, John Von Neumann, AMS Bookstore, 1999, ISBN  978-0-8218-0912-9