Feigenbaumova funkce - Feigenbaum function

Ve studii o dynamické systémy termín Feigenbaumova funkce byl použit k popisu dvou různých funkcí zavedených fyzikem Mitchell Feigenbaum:^[1]

• řešení funkční rovnice Feigenbaum-Cvitanović; a
• funkce změny měřítka, která popisovala obaly atraktor z logistická mapa

Feigenbaum-Cvitanovićova funkční rovnice

Tato funkční rovnice vzniká při studiu jednorozměrných map, které v závislosti na parametru procházejí kaskádou zdvojnásobení období. Objevil Mitchell Feigenbaum a Predrag Cvitanović,^[2] rovnice je matematickým vyjádřením univerzálnost zdvojnásobení období. Určuje funkci G a parametr α vztahem

${ displaystyle g (x) = - alfa g (g ({ frac {1} { alpha}} x))}$

s původními podmínkami

• G(0) = 1,
• G′ (0) = 0 a
• G′′(0) < 0

Pro konkrétní formu řešení s kvadratickou závislostí řešeníblízko x = 0, α = 2,5029 ... jeden z Feigenbaumovy konstanty.

Funkce změny měřítka

Funkce škálování Feigenbaum poskytuje kompletní popis atraktor z logistická mapa na konci kaskády zdvojnásobení období. Lákadlem je a Cantor set, a stejně jako sada Cantor ve střední třetině, může být pokryta konečnou sadou segmentů, všechny větší než minimální velikost d_n. Pro pevné d_n sada segmentů tvoří kryt Δ_n atraktoru. Poměr segmentů ze dvou po sobě jdoucích krytů, Δ_n a Δ_{n + 1} lze uspořádat tak, aby aproximovaly funkci σ, funkce změny měřítka Feigenbaum.

Viz také

• Logistická mapa
• Prezentační funkce

Poznámky

Bibliografie

• Feigenbaum, M. (1978). "Kvantitativní univerzálnost pro třídu nelineárních transformací". Žurnál statistické fyziky. 19 (1): 25–52. Bibcode:1978JSP .... 19 ... 25F. CiteSeerX  10.1.1.418.9339. doi:10.1007 / BF01020332. PAN  0501179. S2CID  124498882.
• Feigenbaum, M. (1979). "Univerzální metrické vlastnosti nelineárních transformací". Žurnál statistické fyziky. 21 (6): 669–706. Bibcode:1979JSP .... 21..669F. CiteSeerX  10.1.1.418.7733. doi:10.1007 / BF01107909. PAN  0555919. S2CID  17956295.
• Feigenbaum, Mitchell J. (1980). "Přechod na neperiodické chování v turbulentních systémech". Komunikace v matematické fyzice. 77 (1): 65–86. Bibcode:1980CMaPh..77 ... 65F. doi:10.1007 / BF01205039. S2CID  18314876.
• Epstein, H .; Lascoux, J. (1981). "Analytické vlastnosti Feigenbaumovy funkce". Commun. Matematika. Phys. 81 (3): 437–453. Bibcode:1981CMaPh..81..437E. doi:10.1007 / BF01209078. S2CID  119924349.
• Feigenbaum, Mitchell J. (1983). "Univerzální chování v nelineárních systémech". Physica. 7D (1–3): 16–39. Bibcode:1983PhyD .... 7 ... 16F. doi:10.1016/0167-2789(83)90112-4. Vázaný jako Order in Chaos, Proceedings of the International Conference on Order and Chaos konané v Centru pro nelineární studia, Los Alamos, Nové Mexiko 87545, USA 24. – 28. Května 1982, Eds. David Campbell, Harvey Rose; Severní Holandsko Amsterdam ISBN  0-444-86727-9.
• Lanford III, Oscar E. (1982). „Počítačem podporovaný důkaz domněnek Feigenbaum“. Býk. Dopoledne. Matematika. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15008-X. PAN  0648529.
• Campanino, M .; Epstein, H .; Ruelle, D. (1982). „Na Feigenbaumově funkční rovnici ${ Displaystyle g circ g ( lambda x) + lambda g (x) = 0}$". Topologie. 21 (2): 125–129. doi:10.1016/0040-9383(82)90001-5. PAN  0641996.
• Lanford III, Oscar E. (1984). „Kratší důkaz existence pevného bodu Feigenbaum“. Commun. Matematika. Phys. 96 (4): 521–538. Bibcode:1984CMaPh..96..521L. CiteSeerX  10.1.1.434.1465. doi:10.1007 / BF01212533. S2CID  121613330.
• Epstein, H. (1986). "Nové důkazy o existenci Feigenbaumových funkcí". Commun. Matematika. Phys. 106 (3): 395–426. Bibcode:1986CMaPh.106..395E. doi:10.1007 / BF01207254. S2CID  119901937.
• Eckmann, Jean-Pierre; Wittwer, Peter (1987). „Úplný důkaz domněnek Feigenbaum“. J. Stat. Phys. 46 (3/4): 455. Bibcode:1987JSP .... 46..455E. doi:10.1007 / BF01013368. PAN  0883539. S2CID  121353606.
• Stephenson, John; Wang, Yong (1991). "Vztahy mezi řešeními Feigenbaumovy rovnice". Appl. Matematika. Lett. 4 (3): 37–39. doi:10.1016 / 0893-9659 (91) 90031-P. PAN  1101871.
• Stephenson, John; Wang, Yong (1991). "Vztahy mezi vlastními funkcemi souvisejícími s řešením Feigenbaumovy rovnice". Appl. Matematika. Lett. 4 (3): 53–56. doi:10.1016 / 0893-9659 (91) 90035-T. PAN  1101875.
• Briggs, Keith (1991). "Přesný výpočet Feigenbaumových konstant". Matematika. Comp. 57 (195): 435–439. Bibcode:1991MaCom..57..435B. doi:10.1090 / S0025-5718-1991-1079009-6. PAN  1079009.
• Tsygvintsev, Alexej V .; Mestel, Ben D .; Obaldestin, Andrew H. (2002). „Pokračující zlomky a řešení Feigenbaum-Cvitanovićovy rovnice“. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 334 (8): 683–688. doi:10.1016 / S1631-073X (02) 02330-0.
• Mathar, Richard J. (2010). "Čebyševova řada reprezentace Feigenbaumovy funkce zdvojnásobení období". arXiv:1008.4608 [math.DS ].
• Varin, V. P. (2011). "Spektrální vlastnosti operátora zdvojnásobujícího období". Předtisk KIAM. 9. arXiv:1202.4672.
• Weisstein, Eric W. „Feigenbaumova funkce“. MathWorld.