Křivka vyplňování prostoru - Space-filling curve

Tři iterace Peanoova křivka konstrukce, jejíž limit je křivka vyplňování prostoru.

v matematická analýza, a křivka vyplňování prostoru je křivka jehož rozsah obsahuje celou 2-dimenzionální jednotka čtverec (nebo obecněji n-rozměrová jednotka hyperkrychle ). Protože Giuseppe Peano (1858–1932) jako první objevil v prostoru jednu křivku vyplňující prostor 2-rozměrná rovina jsou někdy nazývány Peano křivky, ale tato fráze také odkazuje na Peanoova křivka, konkrétní příklad křivky vyplňování prostoru nalezený Peanem.

Definice

Intuitivně lze křivku ve dvou nebo třech (nebo vyšších) rozměrech považovat za cestu neustále se pohybujícího bodu. Aby se odstranila vrozená neurčitost této představy, Jordán v roce 1887 představil následující přísnou definici, která byla od té doby přijata jako přesný popis pojmu a křivka:

Křivka (s koncovými body) je a spojitá funkce jehož doménou je jednotkový interval [0, 1].

V nejobecnější formě může být rozsah takové funkce libovolný topologický prostor, ale v nejčastěji studovaných případech bude rozsah ležet v a Euklidovský prostor jako je 2-dimenzionální rovina (a rovinná křivka) nebo trojrozměrný prostor (prostorová křivka).

Někdy je křivka identifikována pomocí obraz funkce (množina všech možných hodnot funkce), místo samotné funkce. Je také možné definovat křivky bez koncových bodů jako spojitou funkci na skutečná linie (nebo v intervalu otevřených jednotek(0, 1)).

Dějiny

V roce 1890 Peano objevil spojitou křivku, nyní nazývanou Peanoova křivka, který prochází každým bodem jednotkového čtverce (Peano (1890) ). Jeho cílem bylo postavit a průběžné mapování z jednotkový interval na jednotka čtverec. Peano byl motivován Georg Cantor dřívější protiintuitivní výsledek, že nekonečný počet bodů v jednotkovém intervalu je stejný mohutnost jako nekonečný počet bodů v jakékoli konečně-dimenzionální potrubí, například jednotkový čtverec. Peano vyřešil problém v tom, zda by takové mapování mohlo být spojité; tj. křivka, která vyplňuje prostor. Peanoovo řešení nezavádí kontinuitu osobní korespondence mezi jednotkovým intervalem a jednotkovým čtvercem a taková korespondence skutečně neexistuje (viz „Vlastnosti“ níže).

Bylo běžné spojovat nejasné představy o hubenost a 1-rozměrnost křivek; všechny normálně se vyskytující křivky byly po částech diferencovatelné (tj. mají po částech spojité derivace) a takové křivky nemohou zaplnit celý čtvereček jednotky. Proto se ukázalo, že Peanova prostorová křivka je vysoce neintuitivní.

Z Peanova příkladu bylo snadné odvodit spojité křivky, jejichž rozsahy obsahovaly n-dimenzionální hyperkrychle (pro jakékoli kladné celé číslo n). Bylo také snadné rozšířit Peanov příklad na spojité křivky bez koncových bodů, které vyplňovaly celý n-dimenzionální euklidovský prostor (kde n je 2, 3 nebo jakékoli jiné kladné celé číslo).

Nejznámější křivky vyplňování prostoru jsou konstruovány iterativně jako limit posloupnosti po částech lineární spojité křivky, přičemž každá z nich se blíží limitu vyplňování prostoru.

Peanov průkopnický článek neobsahoval žádné ilustrace jeho konstrukce, která je definována v pojmech ternární expanze a a operátor zrcadlení. Ale grafická konstrukce mu byla naprosto jasná - vytvořil ornamentální obklad, který ukazoval obrázek křivky v jeho domě v Turíně. Peanoův článek také končí pozorováním, že tato technika může být zjevně rozšířena na další podivné základny kromě základny 3. Jeho volba vyhnout se jakémukoli odvolání k grafická vizualizace byl bezpochyby motivován touhou po fundovaném, zcela přísném důkazu, který nic nezatěžoval obrázky. V té době (počátek založení obecné topologie) byly grafické důkazy stále zahrnuty do důkazů, přesto se staly překážkou pro pochopení často neintuitivních výsledků.

O rok později, David Hilbert publikoval ve stejném časopise variaci Peanovy konstrukce (Hilbert 1891 ). Hilbertův článek jako první zahrnoval obrázek, který pomáhá vizualizovat konstrukční techniku, v podstatě stejný jako zde ilustrovaný. Analytická forma Hilbertova křivka je však komplikovanější než Peano.

Šest iterací konstrukce Hilbertovy křivky, jejichž mezní křivku vyplňování prostoru navrhl matematik David Hilbert.

Nástin konstrukce křivky vyplňování prostoru

Nechat ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}}}$ označit Cantorův prostor ${ displaystyle scriptstyle mathbf {2} ^ { mathbb {N}}}$ .

Začínáme s nepřetržitou funkcí ${ displaystyle scriptstyle h}$ z Cantorova prostoru ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}}}$ na celý jednotkový interval ${ displaystyle scriptstyle [0, , 1]}$ . (Omezení Funkce Cantor do Cantor set je příklad takové funkce.) Z ní získáme spojitou funkci ${ displaystyle scriptstyle H}$ z topologického produktu ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} ; times ; { mathcal {C}}}$ na celý čtverec jednotky ${ displaystyle scriptstyle [0, , 1] ; krát ; [0, , 1]}$ nastavením

{ displaystyle H (x, y) = (h (x), h (y)). ,}

Protože sada Cantor je homeomorfní k produktu ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} krát { mathcal {C}}}$ , existuje nepřetržitá bijekce ${ displaystyle scriptstyle g}$ od Cantora ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} ; times ; { mathcal {C}}}$ . Kompozice ${ displaystyle scriptstyle f}$ z ${ displaystyle scriptstyle H}$ a ${ displaystyle scriptstyle g}$ je spojitá funkce mapující sadu Cantor na celý čtverec jednotky. (Alternativně bychom mohli použít větu, kterou každý kompaktní metrický prostor je souvislý obraz sady Cantor pro získání funkce ${ displaystyle scriptstyle f}$ .)

Nakonec lze jeden rozšířit ${ displaystyle scriptstyle f}$ na spojitou funkci ${ displaystyle scriptstyle F}$ jehož doménou je celý jednotkový interval ${ displaystyle scriptstyle [0, , 1]}$ . To lze provést buď pomocí Věta o prodloužení Tietze na každou ze složek ${ displaystyle scriptstyle f}$ nebo jednoduše prodloužením ${ displaystyle scriptstyle f}$ „lineárně“ (tj. na každém vymazaném otevřeném intervalu ${ displaystyle scriptstyle (a, , b)}$ v konstrukci sady Cantor definujeme rozšiřující část ${ displaystyle scriptstyle F}$ na ${ displaystyle scriptstyle (a, , b)}$ být úsečkou v jednotkovém čtverci spojující hodnoty ${ displaystyle scriptstyle f (a)}$ a ${ displaystyle scriptstyle f (b)}$ ).

Vlastnosti

Mortone a Hilbert křivky úrovně 6 (4⁵= 1024 buněk v rekurzivní čtvercový oddíl ) vykreslení každé adresy jako jiné barvy v Standard RGB a pomocí Geohash štítky. Sousedství mají podobné barvy, ale každá křivka nabízí jiný vzor seskupování podobných v menších měřítcích.

Pokud křivka není injektivní, pak lze najít dva protínající se křivky křivky, každý získaný zvážením obrazů dvou disjunktních segmentů z domény křivky (segment jednotkové čáry). Tyto dva subcurves protínají, pokud průsečík ze dvou obrázků je neprázdný. Jeden by mohl být v pokušení si myslet, že smysl křivky protínající je, že se nutně navzájem protínají, jako průsečík dvou neparalelních linií, z jedné strany na druhou. Dvě křivky (nebo dvě dílčí křivky jedné křivky) se však mohou navzájem dotýkat bez křížení, jako je tomu například u přímky tečné ke kruhu.

Nespojitá křivka, která se neprotíná, nemůže vyplnit čtverec jednotky, protože to způsobí, že křivka bude homeomorfismus z jednotkového intervalu na jednotkový čtverec (jakýkoli spojitý bijekce od a kompaktní prostor na a Hausdorffův prostor je homeomorfismus). Ale jednotkový čtverec nemá cut-point, a proto nemůže být homeomorfní s jednotkovým intervalem, ve kterém jsou všechny body kromě koncových bodů cut-body. Existují nesebné křivky nenulové oblasti, Osgoodovy křivky, ale nevyplňují prostor.

U klasických křivek vyplňování prostoru Peano a Hilbert, kde se protínají dvě podkrivky (v technickém smyslu), existuje samokontakt bez samokřižování. Křivka vyplňování prostoru může být (všude) samočinná, pokud jsou její přibližné křivky samočinné. Aproximace křivky vyplňování prostoru se mohou samy vyhnout, jak ukazují výše uvedené obrázky. Ve 3 dimenzích mohou samočinné aproximační křivky dokonce obsahovat uzly. Aproximační křivky zůstávají v ohraničené části n-dimenzionální prostor, ale jejich délky se zvětšují bez omezení.

Křivky vyplňující prostor jsou zvláštními případy fraktální křivky. Žádná diferencovatelná křivka vyplňování prostoru nemůže existovat. Zhruba řečeno, diferencovatelnost omezuje rychlost otáčení křivky.

Věta Hahn – Mazurkiewicz

The Hahn –Mazurkiewicz věta je následující charakterizace prostorů, které jsou spojitým obrazem křivek:

Neprázdný Hausdorff topologický prostor je spojitý obraz jednotkového intervalu právě tehdy, je-li kompaktní, připojeno, místně připojen, druhý spočetný prostor.

Někdy se nazývají mezery, které jsou spojitým obrazem jednotkového intervalu Peano prostory.

V mnoha formulacích věty Hahn – Mazurkiewicz, druhý spočetný je nahrazen měřitelný. Tyto dvě formulace jsou ekvivalentní. V jednom směru je kompaktní Hausdorffův prostor a normální prostor a tím Urysohn věta o metrizaci, druhý spočetný pak znamená měřitelný. Naopak kompaktní metrický prostor je počítatelný jako druhý.

Kleinianské skupiny

Existuje mnoho přirozených příkladů křivek vyplňujících prostor nebo spíše koulí vyplňujících teorii dvojnásobně zdegenerované teorie Kleinianské skupiny. Například,Cannon & Thurston (2007) ukázal, že kruh v nekonečnu univerzální kryt vlákna a mapování torusu a mapa pseudo-Anosov je křivka plnění koule. (Zde je koule sférou v nekonečnu hyperbolický 3-prostor.)

Integrace

Wiener poukázal na Fourierova integrace a některé její aplikace že křivky vyplňování prostoru lze použít ke zmenšení Lebesgueova integrace ve vyšších dimenzích k integraci Lebesgue v jedné dimenzi.

Viz také

Reference

Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], „Group invariant Peano curves“, Geometrie a topologie, 11 (3): 1315–1355, doi:10.2140 / gt.2007.11.1315, ISSN 1465-3060, PAN 2326947
Hilbert, D. (1891), „Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück“, Mathematische Annalen (v němčině), 38 (3): 459–460, doi:10.1007 / BF01199431, S2CID 123643081
Mandelbrot, B. B. (1982), „Ch. 7: Harnessing the Peano Monster Curves“, Fraktální geometrie přírodyW. H. Freeman.
McKenna, Douglas M. (1994), „SquaRecurves, E-Tours, Eddies a Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid“, v Guy, Richard K.; Woodrow, Robert E. (eds.), Světlejší stránka matematiky: sborník z pamětní konference Eugena Strense o rekreační matematice a její historii, Mathematical Association of America, str.49–73, ISBN 978-0-88385-516-4.
Peano, G. (1890), „Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane“, Mathematische Annalen (francouzsky), 36 (1): 157–160, doi:10.1007 / BF01199438, S2CID 179177780.
Sagan, Hans (1994), Křivky vyplňování prostoruUniversitext, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, PAN 1299533.

externí odkazy

Applety Java:

Křivky plnění Peano Plane v uzlu
Křivky plnění letadel Hilberta a Moora v uzlu
Všechny křivky plnění Peano Plane v uzlu

Fraktály
Vlastnosti	Fraktální rozměry Assouad Počítání krabic Korelace Hausdorff Balení Topologické Rekurze Self-podobnost
Iterovaná funkce Systém	Barnsleyova kapradina Cantor set Sněhová vločka Koch Menger houba Sierpinski koberec Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňování prostoru Blancmangeova křivka De Rhamova křivka Minkowski Dračí křivka Hilbertova křivka Kochova křivka Křivka Lévy C. Mooreova křivka Peanoova křivka Sierpińského křivka T-čtverec n-vločka
Zvláštní atraktor	Multifrakční systém
L-systém	Fraktální baldachýn Křivka vyplňování prostoru H strom
Únikový čas fraktály	Hořící loď fraktál Julia set Plněné Newtonův fraktál Lyapunov fraktál Mandelbrotova sada Misiurewicz bod Newtonův fraktál Tricorn Mandelbox Mandelbulb
Vykreslování techniky	Buddhabrot Orbitová past Pickover stopka
Náhodný fraktály	Brownův pohyb Brownův strom Brownův motor Fraktální krajina Lévyho let Teorie perkolace Samohybná chůze
Lidé	Georg Cantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Aleksandr Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
jiný	"Jak dlouhé je pobřeží Británie? " Paradox pobřeží Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze Krása fraktálů (Kniha 1986) Fraktální umění Chaos: Vytváření nové vědy (1987 kniha) Fraktální geometrie přírody (1982 kniha) Kaleidoskop Teorie chaosu