Dimenze Assouad - Assouad dimension

Assouadova dimenze zapnutá Sierpińského trojúhelník. Pro R = 2 ar = 1 ${ displaystyle N_ {r} (B_ {R} (x) cap E) = 3 = left ({ frac {2} {1}} right) ^ { alpha}}$, takže dimenze může být ${ displaystyle { frac {log (3)} {log (2)}}}$ jako Hausdorffova dimenze.

v matematika - konkrétně v fraktální geometrie - Dimenze Assouad je definice fraktální dimenze pro podmnožiny a metrický prostor. To bylo představeno Patrice Assouad v jeho 1977 PhD teze a později publikováno v roce 1979 Georges Bouligand (1928). Kromě toho, že se používá ke studiu fraktálů, používá se ke studiu také dimenze Assouad kvazikonformní zobrazení a problémy s integrovatelností.

Definice

The Dimenze Assouad z ${ displaystyle X, d_ {A} (X)}$, je infimum všech ${ displaystyle s}$ takhle ${ displaystyle (X, varsigma)}$ je ${ displaystyle (M, s)}$- pro některé homogenní ${ displaystyle M geq 1}$.^[1]

Nechat ${ displaystyle (X, d)}$ být metrický prostor a nechte ${ displaystyle E}$ být neprázdnou podmnožinou ${ displaystyle X}$. Pro ${ displaystyle r> 0}$, nechť ${ displaystyle N_ {r} (E)}$ označují nejmenší počet metrik otevřené koule o poloměru menším nebo rovném r s nimiž je možné otevřete kryt sada ${ displaystyle E}$. Assouadská dimenze ${ displaystyle E}$ je definován jako infimal ${ displaystyle alpha geq 0}$ pro které existují pozitivní konstanty ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle rho}$ takže kdykoli

${ displaystyle 0$

následující vázané chyty:

${ displaystyle sup _ {x v E} N_ {r} (B_ {R} (x) cap E) leq C left ({ frac {R} {r}} right) ^ { alfa}.}$

Intuicí, která je základem této definice, je to, že pro množinu E s "běžnou" celočíselnou dimenzí n, počet malých kuliček o poloměru r potřebné k pokrytí průsečíku větší koule o poloměru R s E bude měřítko jako (R/r)ⁿ.

Reference

Další čtení

• Assouad, Patrice (1979). „Étude d'une dimenze metrique liée à la possibilité de plongements dans Rⁿ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B. 288 (15): A731 – A734. ISSN  0151-0509. PAN532401
• Bouligand, M.G. (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin des Sciences Mathématiques 52, str. 320–344.