Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze - List of fractals by Hausdorff dimension
Benoit Mandelbrot uvedla, že „A fraktální je ze své podstaty množina, pro kterou Hausdorff-Besicovitchova dimenze přísně překračuje topologická dimenze."[1]Zde je uveden seznam fraktálů seřazených podle zvětšení Hausdorffovy dimenze za účelem vizualizace toho, co pro fraktál znamená mít nízkou nebo vysokou dimenzi.
Deterministické fraktály
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Září 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Hausdorffova dimenze (přesná hodnota) | Hausdorffova dimenze (Cca.) | název | Ilustrace | Poznámky |
---|---|---|---|---|
Vypočítáno | 0.538 | Feigenbaumův atraktor | ![]() | Feigenbaumův atraktor (viz mezi šipkami) je sada bodů generovaných postupnými iteracemi logistická funkce pro hodnotu kritického parametru , kde zdvojnásobení období je nekonečné. Tato dimenze je stejná pro všechny rozlišitelné a unimodální funkce.[2] |
0.6309 | Cantor set | ![]() | Postaveno odstraněním střední třetiny při každé iteraci. Nikde hustá a ne a spočetná sada. | |
0.6942 | Asymetrický Cantor set | ![]() | Dimenze není , což je zobecněný Cantorův soubor s γ = 1/4, který má v každé fázi stejnou délku.[3] Postaveno odstraněním druhého čtvrtletí při každé iteraci. Nikde hustá a ne a spočetná sada. (zlatý řez ). | |
0.69897 | Skutečná čísla jehož základ je 10 číslic sudý | ![]() | Podobně jako u Cantor set.[4] | |
0.88137 | Spektrum Fibonacciho Hamiltoniana | Studium spektra Fibonacciho Hamiltoniana dokazuje horní a dolní mez pro jeho fraktální dimenzi ve velkém spojovacím režimu. Tyto hranice ukazují, že spektrum konverguje k explicitní konstantě.[5][stránka potřebná ] | ||
0 Zobecněná Cantorova sada | ![]() Postaveno odstraněním na th iterace střední interval délky z každého zbývajícího segmentu (délky ). V jeden získá obvyklé Cantor set. Různé mezi 0 a 1 se získá libovolná fraktální dimenze .[6] | | ||
1 | Sada Smith – Volterra – Cantor | ![]() | Postaveno odstraněním středového intervalu délky každého zbývajícího intervalu na nth iterace. Nikde hustá, ale má Lebesgueovo opatření ½. | |
1 | Křivka Takagi nebo Blancmange | ![]() | Definováno v jednotkovém intervalu , kde je funkce trojúhelníkové vlny. Zvláštní případ křivky Takahi-Landsberg: s . Hausdorffova dimenze se rovná pro v . (Hunt citovaný Mandelbrotem[7]). | |
Vypočítáno | 1.0812 | Julia set z² + 1/4 | ![]() | Julia se vydala C = 1/4.[8] |
Řešení s z | 1.0933 | Hranice Rázový fraktál | ![]() | Fraktální znázornění dynamiky spojené s Tribonacciho morfismem zavedené G.Rauzym: , a .[9][stránka potřebná ][10] je jedním z konjugovaných kořenů . |
1.12915 | obrys Ostrov Gosper | ![]() | Termín používaný Mandelbrotem (1977).[11] Ostrov Gosper je hranicí Gosperova křivka. | |
Měřeno (počítání krabic) | 1.2 | Dendrite Julia set | ![]() | Julia nastavena na parametry: Real = 0 a Imaginary = 1. |
1.2083 | Fibonacciho slovo fraktální 60 ° | ![]() | Stavět z Fibonacciho slovo. Viz také standardní Fibonacciho slovo fraktál. (Zlatý řez ). | |
1.2108 | Hranice krotkého twindragonu | ![]() | Jeden ze šesti 2-rep dlaždice v rovině (lze obkládat dvěma vlastními kopiemi stejné velikosti).[12][13] | |
1.26 | Mapa Hénon | ![]() | Kanonický Mapa Hénon (s parametry A = 1,4 a b = 0,3) má Hausdorffův rozměr 1,261 ± 0,003. Různé parametry poskytují různé hodnoty dimenze. | |
1.2619 | Triflake | ![]() | Tři protisněhové vločky uspořádané tak, aby se mezi protisněhovými vločkami vytvořila sněhová vločka koch. | |
1.2619 | Kochova křivka | ![]() | 3 Kochovy křivky tvoří vločku Koch nebo protisněhovou vločku. | |
1.2619 | hranice Terdragonova křivka | ![]() | L-systém: stejný jako dračí křivka s úhlem = 30 °. Fudgeflake je založen na 3 počátečních segmentech umístěných v trojúhelníku. | |
1.2619 | 2D Cantorův prach | ![]() | Cantor ve 2 rozměrech. | |
1.2619 | 2D L-systém větev | ![]() | Rozvětvovací vzorec L-Systems se 4 novými kusy zvětšenými o 1/3. Generování vzoru pomocí statistické namísto přesné sebepodobnosti přináší stejnou fraktální dimenzi. | |
Vypočítáno | 1.2683 | Julia set z2 − 1 | ![]() | Julia se vydala C = −1.[8] |
1.3057 | Apollonian těsnění | ![]() | Počínaje 3 tečnými kružnicemi opakovaně sbírejte nové kruhy do doplňkových mezer. Také sada limitů generovaná odrazy ve 4 vzájemně tečných kruzích. Vidět[8] | |
1.328 | 5 inverze kruhů fraktální | ![]() | Sada limitů generovaná iterovanými inverzemi vzhledem k 5 vzájemně tečným kruhům (červeně). Také Apollonian balení. Vidět[14] | |
1.36521[15] | Kvadratický ostrov von Koch pomocí křivky typu 1 jako generátoru | ![]() | Také známý jako Minkowski klobása | |
Vypočítáno | 1.3934 | Douady králík | ![]() | Julia se vydala C = −0 123 + 0,745i.[8] |
1.4649 | Vicsekův fraktál | ![]() | Postaveno iterativní záměnou každého čtverce křížem 5 čtverců. | |
1.4649 | Kvadratická von Kochova křivka (typ 1) | ![]() | Lze rozpoznat vzorec Vicsekova fraktálu (výše). | |
1.4961 | Čtyřhranný kříž | ![]() | ![]() Kvadrický kříž je vytvořen změnou měřítka 3-segmentové generátorové jednotky o 51/2 poté přidejte 3 jednotky s plným měřítkem, jednu do každého původního segmentu, plus třetinu jednotky s měřítkem (modrá), aby se zvětšila délka podstavce počáteční 3-segmentové jednotky (fialová). Obrázky generované pomocí Fractal Generator pro ImageJ. | |
1.5000 | A Funkce Weierstrass: | ![]() | Hausdorffova dimenze Weierstrassovy funkce definován s a je .[16][17] | |
1.5000 | Kvadratická von Kochova křivka (typ 2) | ![]() | Také se nazývá „klobása Minkowski“. | |
1.5236 | Hranice Dračí křivka | ![]() | srov. Chang & Zhang.[18][13] | |
1.5236 | Hranice twindragonova křivka | ![]() | Lze postavit pomocí dvou dračích křivek. Jeden ze šesti 2-rep dlaždice v rovině (lze obkládat dvěma kopiemi stejné velikosti).[12] | |
1.5850 | 3-větvový strom | ![]() ![]() | Každá větev nese 3 větve (zde 90 ° a 60 °). Fraktální rozměr celého stromu je fraktální rozměr koncových větví. Pozn .: 2 větvový strom má fraktální rozměr pouze 1. | |
1.5850 | Sierpinského trojúhelník | ![]() | Také trojúhelník Pascal modulo 2. | |
1.5850 | Křivka hrotu šípu Sierpiński | Stejný limit jako trojúhelník (výše), ale vytvořený s jednorozměrnou křivkou. | ||
1.5850 | Hranice T-čtverec fraktální | ![]() | Samotný rozměr fraktálu (ne hranice) je | |
1.61803 | zlatý drak | ![]() | Postaveno ze dvou podobností poměrů a , s . Jeho rozměr se rovná protože . S (Zlaté číslo ). | |
1.6309 | Pascalův trojúhelník modulo 3 | ![]() | Pro trojúhelníkový modul k, pokud k je prvočíslo, fraktální dimenze je (srov. Stephen Wolfram[19]). | |
1.6309 | Sierpinski Hexagon | ![]() | Postaveno způsobem Sierpinski koberec, na šestihranné mřížce, se 6 podobnostmi poměru 1/3. The Sněhová vločka Koch je přítomen ve všech stupnicích. | |
1.6379 | Fibonacciho slovo fraktální | ![]() | Fraktál založený na Fibonacciho slovo (nebo králičí sekvence) Sloane A005614. Ilustrace: Fraktální křivka po 23 krocích (F23 = 28657 segmentů).[20] (Zlatý řez ). | |
Řešení | 1.6402 | Přitahovatel IFS s 3 podobnosti poměrů 1/3, 1/2 a 2/3 | ![]() | Zevšeobecnění: Zajištění podmínky otevřené množiny, přitahovatel iterovaný funkční systém skládající se z podobnosti poměrů , má Hausdorffův rozměr , řešení rovnice se shoduje s iterační funkcí euklidovského kontrakčního faktoru: .[4] |
1.6667 | 32segmentový kvadrický fraktál (pravidlo měřítka 1/8) | ![]() | ![]() Generátor pro 32 segmentový kvadrický fraktál v měřítku 1/8. | |
1.6826 | Pascalův trojúhelník modulo 5 | ![]() | Pro trojúhelníkový modul k, pokud k je prvočíslo, fraktální dimenze je (srov. Stephen Wolfram[19]). | |
Měřeno (počítání krabic) | 1.7 | Mapa Ikeda atraktor | ![]() | Pro parametry a = 1, b = 0,9, k = 0,4 ap = 6 na mapě Ikeda . Vychází z modelu pole interaktivity plochých vln v optickém prstencovém laseru. Různé parametry poskytují různé hodnoty.[21] |
1.6990 | 50 segmentový kvadrický fraktál (měřítko 1/10) | ![]() | Postaveno změnou měřítka 50 segmentového generátoru (viz vložka) o 1/10 pro každou iteraci a nahrazením každého segmentu předchozí struktury zmenšenou kopií celého generátoru. Zobrazená struktura je vyrobena ze 4 generátorových jednotek a je iterována třikrát. Fraktálová dimenze pro teoretickou strukturu je log 50 / log 10 = 1,6990. Obrázky generované pomocí Fractal Generator pro ImageJ[22].![]() Generátor pro 50 segmentový fraktál. | |
1.7227 | Fraktál větrník | ![]() | Postaven s dlaždicí Conway's Pinwheel. | |
1.7712 | Fraktál sfingy | ![]() | Postaveno s obkladem hexiamondu Sfingy, odstraněním dvou z devíti dílčích sfing.[23] | |
1.7712 | Hexaflake | ![]() | Postaveno iterativní záměnou každého šestiúhelníku za vločku 7 šestiúhelníků. Jeho hranicí je von Kochova vločka a obsahuje nekonečno Kochových vloček (černé nebo bílé). | |
1.7712 | Fraktální H-I de Rivera | ![]() | Počínaje jednotkovým čtvercem, který rozděluje jeho rozměry na tři stejné části a tvoří devět sebe podobných čtverců s prvním čtvercem, jsou odstraněny dva střední čtverce (ten, který je nahoře a ten pod centrálním čtvercem) v každém ze sedmi čtverců, které nejsou vyloučený proces se opakuje, takže pokračuje neomezeně dlouho. | |
1.7848 | Von Kochova křivka 85 ° | ![]() | Zobecnění von Kochovy křivky pod úhlem A zvoleno mezi 0 a 90 °. Fraktální dimenze je tedy . | |
1.8272 | Jáafinní fraktální sada | ![]() | Vytvořte iterativně z a pole na náměstí, s . Jeho dimenze Hausdorff se rovná [4] s a je počet prvků v th sloupec. The rozměr počítání krabic dává jiný vzorec, proto jinou hodnotu. Na rozdíl od sebepodobných sad závisí Hausdorffova dimenze self-afinních sad na poloze iterovaných prvků a pro obecný případ zatím neexistuje žádný vzorec. | |
1.8617 | Pentaflake | ![]() | Postaveno opakovanou výměnou každého pětiúhelníku za vločku se šesti pětiúhelníky. (Zlatý řez ). | |
řešení | 1.8687 | Opičí strom | ![]() | Tato křivka se objevila v Benoit Mandelbrot „Fraktální geometrie přírody“ (1983). Je založen na 6 podobnostech poměru a 5 podobností poměru .[24] |
1.8928 | Sierpinski koberec | ![]() | Každá strana houby Menger je koberec Sierpinski, stejně jako spodní povrch 3D kvadratického povrchu Koch (typ 1). | |
1.8928 | 3D Cantorův prach | ![]() | Cantor ve 3 rozměrech. | |
1.8928 | Kartézský součin von Kochova křivka a Cantor set | ![]() | Zevšeobecnění: Nechť F × G je kartézský součin dvou fraktálových sad F a G. Pak .[4] Viz také 2D Cantorův prach a Cantorova kostka. | |
kde | 1.9340 | Hranice Křivka Lévy C. | ![]() | Odhad Duvall a Keesling (1999). Samotná křivka má fraktální rozměr 2. |
2 | Penroseovy obklady | ![]() | Viz Ramachandrarao, Sinha & Sanyal.[25] | |
2 | Hranice Mandelbrotova sada | ![]() | Hranice a samotná množina mají stejnou Hausdorffovu dimenzi.[26] | |
2 | Julia set | ![]() | Pro stanovené hodnoty C (počítaje v to C patřící k hranici sady Mandelbrot), sada Julia má rozměr 2.[26] | |
2 | Sierpińského křivka | ![]() | Každý Peanoova křivka naplnění letadla má Hausdorffův rozměr 2. | |
2 | Hilbertova křivka | ![]() | ||
2 | Peanoova křivka | ![]() | A rodina křivek postavených podobným způsobem, jako například Wunderlichovy křivky. | |
2 | Mooreova křivka | ![]() | Lze rozšířit ve 3 rozměrech. | |
2 | Lebesgueova křivka nebo křivka řádu Z | ![]() | Na rozdíl od předchozích je tato křivka vyplňování prostoru téměř všude diferencovatelná. Jiný typ lze definovat ve 2D. Stejně jako Hilbertova křivka může být rozšířena ve 3D.[27] | |
2 | Dračí křivka | ![]() | A jeho hranice má fraktální rozměr 1,5236270862.[28] | |
2 | Terdragonova křivka | ![]() | L-systém: F → F + F - F, úhel = 120 °. | |
2 | Gosperova křivka | ![]() | Jeho hranicí je ostrov Gosper. | |
Řešení | 2 | Křivka vyplňující Sněhová vločka Koch | ![]() | Navrhl Mandelbrot v roce 1982,[29] vyplňuje Sněhová vločka Koch. Je založen na 7 podobnostech poměru 1/3 a 6 podobnostech poměru . |
2 | Sierpiński čtyřstěn | ![]() | Každý čtyřstěn je nahrazen 4 čtyřstěnem. | |
2 | H-fraktál | ![]() | Také Mandelbrot strom který má podobný vzor. | |
2 | Pythagorův strom (fraktál) | ![]() | Každý čtverec generuje dva čtverce s redukčním poměrem . | |
2 | 2D řecký křížový fraktál | ![]() | Každý segment je nahrazen křížem tvořeným 4 segmenty. | |
Měřeno | 2.01 ±0.01 | Rösslerův atraktor | ![]() | Fraktální dimenze Rösslerova atraktoru je mírně nad 2. Pro a = 0,1, b = 0,1 a c = 14 se odhaduje mezi 2,01 a 2,02.[30] |
Měřeno | 2.06 ±0.01 | Lorenzův atraktor | ![]() | Pro parametry ,= 16 a . Viz McGuinness (1983)[31] |
2.3219 | Fraktální pyramida | ![]() | Každý čtvercová pyramida je nahrazeno 5 čtvercovými pyramidami poloviční velikosti. (Liší se od čtyřstěnu Sierpinski, který každý nahrazuje trojúhelníková pyramida se 4 trojúhelníkovými pyramidami poloviční velikosti). | |
2.3296 | Fraktál dodekaedronu | ![]() | Každý dvanáctistěn je nahrazen 20 dodecahedra. (Zlatý řez ). | |
2 Povrch pyramidy | ![]() Každý trojúhelník je nahrazen 6 trojúhelníky, z nichž 4 identické trojúhelníky tvoří pyramidu na bázi diamantu a zbývající dva zůstávají ploché s délkami a vzhledem k pyramidovým trojúhelníkům. Dimenze je parametr, pro hodnoty větší než 2,3 dochází k vlastnímu průniku.[32] | | ||
2.3347 | 3D kvadratický povrch Koch (typ 1) | ![]() | 3D rozšíření kvadratické Kochovy křivky (typ 1). Obrázek ukazuje druhou iteraci. | |
2.4739 | Balení apollonské koule | ![]() | Meziprostor, který zanechali apollonské koule. Apollonian těsnění ve 3D. Dimenze vypočítaná M. Borkovcem, W. De Parisem a R. Peikertem.[33] | |
2.50 | 3D kvadratický povrch Koch (typ 2) | ![]() | 3D rozšíření kvadratické Kochovy křivky (typ 2). Obrázek ukazuje druhou iteraci. | |
2.529 | Jeruzalémská kostka | ![]() | Iterace n je vytvořena s 8 kostkami iterace n-1 (v rozích) a 12 kostkami iterace n-2 (spojující rohy). Kontrakční poměr je . | |
2.5819 | Ikosahedronový fraktál | ![]() | Každý dvacetistěnu je nahrazen 12 icosahedra. (Zlatý řez ). | |
2.5849 | 3D řecký kříž fraktál | ![]() | Každý segment je nahrazen křížem tvořeným 6 segmenty. | |
2.5849 | Octahedron fractal | ![]() | Každý osmistěn je nahrazen 6 oktaédry. | |
2.5849 | povrch von Koch | ![]() | Každá rovnostranná trojúhelníková plocha je rozdělena na 4 stejné trojúhelníky. Pomocí středového trojúhelníku jako základny vytvořte čtyřstěn. Nahraďte trojúhelníkovou základnu čtyřbokým „stanem“. | |
2.7095 | Von Koch ve 3D | ![]() | Začněte šestistranným mnohostěnem, jehož plochami jsou rovnoramenné trojúhelníky se stranami v poměru 2: 2: 3. Vyměňte každý mnohostěn za 3 jeho kopie, o 2/3 menší.[34] | |
2.7268 | Menger houba | ![]() | A jeho povrch má fraktální rozměr , což je stejné jako u objemu. | |
3 | 3D Hilbertova křivka | ![]() | Hilbertova křivka rozšířená do 3 dimenzí. | |
3 | 3D Lebesgueova křivka | ![]() | Lebesgueova křivka rozšířená do 3 dimenzí. | |
3 | 3D Mooreova křivka | ![]() | Mooreova křivka rozšířená do 3 dimenzí. | |
3 | 3D H-fraktál | ![]() | H-fraktál rozšířený do 3 dimenzí.[35] | |
(domnělý) | 3 (bude potvrzeno) | Mandelbulb | ![]() | Rozšíření sady Mandelbrot (síla 8) ve 3 rozměrech[36][nespolehlivý zdroj? ] |
Náhodné a přirozené fraktály
Hausdorffova dimenze (přesná hodnota) | Hausdorffova dimenze (Cca.) | název | Ilustrace | Poznámky |
---|---|---|---|---|
1/2 | 0.5 | Nuly a Wienerův proces | ![]() | Nuly Wienerova procesu (Brownův pohyb) jsou a nikde hustá sada z Lebesgueovo opatření 0 s fraktální strukturou.[4][37] |
Řešení kde a | 0.7499 | náhodný Cantor set s 50% - 30% | ![]() | Zobecnění: při každé iteraci je délka levého intervalu definována náhodnou proměnnou , variabilní procento délky původního intervalu. Totéž pro pravý interval s náhodnou proměnnou . Je to Hausdorffova dimenze splňuje: (kde je očekávaná hodnota z ).[4] |
Řešení | 1.144... | von Kochova křivka s náhodným intervalem | ![]() | Délka prostředního intervalu je náhodná proměnná s rovnoměrným rozložením na intervalu (0,1 / 3).[4] |
Měřeno | 1.22±0.02 | Pobřeží Irska | ![]() | Hodnoty fraktální dimenze celého pobřeží Irska určily McCartney, Abernethy a Gault[38] na University of Ulster a Teoretická fyzika studenti na Trinity College v Dublinu pod dohledem S. Hutzlera.[39] Všimněte si, že existují výrazné rozdíly mezi členitým západním pobřežím Irska (fraktální rozměr asi 1,26) a mnohem hladším východním pobřežím (fraktální rozměr 1,10)[39] |
Měřeno | 1.25 | Pobřeží Velké Británie | ![]() | Fraktální rozměr západního pobřeží Velké Británie, měřeno Lewis Fry Richardson a citováno uživatelem Benoît Mandelbrot.[40] |
1.2619 | von Kochova křivka s náhodnou orientací | ![]() | Jeden zde zavádí prvek náhodnosti, který neovlivňuje dimenzi, výběrem, při každé iteraci, umístit rovnostranný trojúhelník nad nebo pod křivku.[4] | |
1.333 | Hranice Brownova pohybu | ![]() | (srov. Mandelbrot, Lawler, Schramm, Werner ).[41] | |
1.333 | 2D polymer | Podobně jako Brownův pohyb ve 2D s non-self-křižovatkou.[42] | ||
1.333 | Perkolace vpředu ve 2D, Koroze vpředu ve 2D | ![]() | Fraktální rozměr fronty perkolace invazí (přístupný obvod), na práh perkolace (59,3%). Je to také fraktální rozměr zastavené přední části koroze.[42] | |
1.40 | Klastry klastrů 2D | Pokud jsou omezeny difúzí, shluky se postupně kombinují do jedinečného shluku dimenze 1.4.[42] | ||
1.5 | Graf pravidelného Brownian funkce (Wienerův proces ) | ![]() | Graf funkce tak, že pro jakékoli dvě pozitivní reality a , rozdíl jejich obrázků má centrované gaussovské rozdělení s rozptylem . Zobecnění: frakční Brownův pohyb indexu následuje stejnou definici, ale s odchylkou , v tom případě jeho Hausdorffova dimenze .[4] | |
Měřeno | 1.52 | Pobřeží Norska | ![]() | Viz J. Feder.[43] |
Měřeno | 1.55 | Náhodná chůze bez křižovatky | ![]() | Náhodná procházka ve čtvercové mřížce se samočinným vyhýbáním se rutinou „zpětného chodu“ pro vyhýbání se slepým uličkám. |
1.66 | 3D polymer | Podobně jako Brownův pohyb v kubické mřížce, ale bez vlastního průniku.[42] | ||
1.70 | Klastr 2D DLA | ![]() | Ve 2 dimenzích mají shluky vytvořené agregací s omezenou difúzí fraktální rozměr kolem 1,70.[42] | |
1.7381 | Fraktální perkolace s 75% pravděpodobností | ![]() | Model fraktální perkolace je konstruován postupným nahrazováním každého čtverce znakem a mřížka, ve které je umístěn náhodný soubor dílčích čtverců, přičemž každý dílčí čtverec je zachován s pravděpodobností p. „Téměř jistý“ Hausdorffův rozměr se rovná .[4] | |
7/4 | 1.75 | 2D perkolační trup klastru | ![]() | Trup nebo hranice perkolačního klastru. Může být také generován chůzí generující trup,[44] nebo Schramm-Loewner Evolution. |
1.8958 | 2D perkolační klastr | ![]() | Ve čtvercové mřížce pod místem práh perkolace (59,3%) klastr perkolace invazí má fraktální rozměr 91/48.[42][45] Za touto prahovou hodnotou je shluk nekonečný a 91/48 se stává fraktální dimenzí „mýtin“. | |
2 | Brownův pohyb | ![]() | Nebo náhodná procházka. Hausdorffovy rozměry se rovnají 2 ve 2D, ve 3D a ve všech větších rozměrech (K.Falconer „Geometrie fraktálových množin“). | |
Měřeno | Kolem 2 | Distribuce shluky galaxií | ![]() | Z výsledků průzkumu Sloan Digital Sky Survey z roku 2005.[46] |
2.5 | Kuličky zmačkaného papíru | ![]() | Při pomačkání listů různých velikostí, ale vyrobených ze stejného typu papíru a se stejným poměrem stran (například různé velikosti v ISO 216 Série), poté bude průměr takto získaných koulí zvýšený na neceločíselný exponent mezi 2 a 3 přibližně úměrný ploše listů, ze kterých byly kuličky vyrobeny.[47] Přehyby se vytvoří na všech velikostních stupnicích (viz Univerzálnost (dynamické systémy) ). | |
2.50 | 3D DLA cluster | ![]() | Ve 3 dimenzích mají shluky vytvořené agregací s omezenou difúzí fraktální rozměr kolem 2,50.[42] | |
2.50 | Lichtenbergova postava | ![]() | Jejich vzhled a růst se zdají souviset s procesem agregace omezené difúzí nebo DLA.[42] | |
2.5 | pravidelný Brownian povrch | ![]() | Funkce , udává výšku bodu takové, že pro dva dané pozitivní přírůstky a , pak má středovou Gaussovu distribuci s rozptylem = . Zobecnění: zlomek Brownian povrch indexu následuje stejnou definici, ale s odchylkou , v tom případě jeho Hausdorffova dimenze .[4] | |
Měřeno | 2.52 | 3D perkolace shluk | ![]() | V kubické mřížce, na místě práh perkolace (31,1%) má shluk 3D perkolace invazí fraktální rozměr kolem 2,52.[45] Za touto prahovou hodnotou je shluk nekonečný. |
Měřeno a počítáno | ~2.7 | Povrch Brokolice | ![]() | San-Hoon Kim použil metodu přímého skenování a analýzu průřezu brokolice k závěru, že její fraktální dimenze je ~ 2,7.[48] |
2.79 | Povrch lidský mozek | ![]() | [49][ověření se nezdařilo ] | |
Měřeno a počítáno | ~2.8 | Květák | ![]() | San-Hoon Kim použil metodu přímého skenování a matematickou analýzu průřezu květáku k závěru, že jeho fraktální rozměr je ~ 2,8.[48] |
2.97 | Plicní povrch | ![]() | Alveoly plic tvoří fraktální povrch téměř 3.[42] | |
Vypočítáno | Multiplikativní kaskáda | ![]() | Toto je příklad a multifraktální rozdělení. Výběrem jeho parametrů konkrétním způsobem však můžeme vynutit, aby se distribuce stala monofraktálem.[50][úplná citace nutná ] |
Viz také
Poznámky a odkazy
- ^ Mandelbrot 1982, str. 15
- ^ Aurell, Erik (květen 1987). "O metrických vlastnostech Feigenbaumova atraktoru". Žurnál statistické fyziky. 47 (3–4): 439–458. Bibcode:1987JSP .... 47..439A. doi:10.1007 / BF01007519. S2CID 122213380.
- ^ Tsang, K.Y. (1986). "Rozměrnost podivných atraktorů určená analyticky". Phys. Rev. Lett. 57 (12): 1390–1393. Bibcode:1986PhRvL..57.1390T. doi:10.1103 / PhysRevLett.57.1390. PMID 10033437.
- ^ A b C d E F G h i j k Falconer, Kenneth (1990–2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
- ^ Damanik, D .; Embree, M .; Gorodetski, A .; Tcheremchantse, S. (2008). „Fraktální dimenze spektra Fibonacciho Hamiltoniana“. Commun. Matematika. Phys. 280 (2): 499–516. arXiv:0705.0338. Bibcode:2008CMaPh.280..499D. doi:10.1007 / s00220-008-0451-3. S2CID 12245755.
- ^ Cherny, A. Yu; Anitas, E.M .; Kuklin, AI; Balasoiu, M .; Osipov, V.A. (2010). "Rozptyl z generalizovaných Cantorových fraktálů". J. Appl. Crystallogr. 43 (4): 790–7. arXiv:0911.2497. doi:10.1107 / S0021889810014184. S2CID 94779870.
- ^ Mandelbrot, Benoit (2002). Gaussova sebeovládání a fraktály. ISBN 978-0-387-98993-8.
- ^ A b C d McMullen, Curtis T. (3. října 1997). "Hausdorffova dimenze a konformní dynamika III: Výpočet dimenze ", Abel.Math.Harvard.edu. Přístup: 27. října 2018.
- ^ Messaoudi, Ali. Frontième de numération complexe ", matwbn.icm.edu.pl. (francouzsky) Přístup: 27. října 2018.
- ^ Lothaire, M. (2005), Aplikovaná kombinatorika na slova Encyklopedie matematiky a její aplikace, 105, Cambridge University Press, str.525, ISBN 978-0-521-84802-2, PAN 2165687, Zbl 1133.68067
- ^ Weisstein, Eric W. "Ostrov Gosper". MathWorld. Citováno 27. října 2018.
- ^ A b Ngai, Sirvent, Veerman a Wang (říjen 2000). "Na 2 plazů v letadle 1999 ", Geometriae Dedicata, Svazek 82. Přístup: 29. října 2018.
- ^ A b Duda, Jarek (březen 2011). "Hranice systémů periodických iterovaných funkcí ", Wolfram.com.
- ^ Chang, Angel a Zhang, Tianrong. „Na fraktální struktuře hranice dračí křivky“. Archivovány od originálu dne 14. června 2011. Citováno 9. února 2019.CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz) pdf
- ^ Mandelbrot, B. B. (1983). Fraktální geometrie přírody, str.48. New York: W. H. Freeman. ISBN 9780716711865. Citováno v: Weisstein, Eric W. "Minkowski klobása". MathWorld. Citováno 22. září 2019.
- ^ Shen, Weixiao (2018). "Hausdorffova dimenze grafů klasických Weierstrassových funkcí". Mathematische Zeitschrift. 289 (1–2): 223–266. arXiv:1505.03986. doi:10.1007 / s00209-017-1949-1. ISSN 0025-5874. S2CID 118844077.
- ^ N. Zhang. Hausdorffova dimenze grafů fraktálních funkcí. (V čínštině). Diplomová práce. Zhejiang University, 2018.
- ^ Fraktální rozměr hranice dračího fraktálu
- ^ A b Fraktální rozměr Pascalova trojúhelníku modulo k
- ^ Fibonacciho slovo fraktální
- ^ Theiler, James (1990). „Odhadování fraktální dimenze“ (PDF). J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 7 (6): 1055–73. Bibcode:1990JOSAA ... 7.1055T. doi:10.1364 / JOSAA.7.001055.
- ^ Fraktální generátor pro ImageJ Archivováno 20. března 2012 v Wayback Machine.
- ^ W. Trump, G. Huber, C. Knecht, R. Ziff, bude zveřejněno
- ^ Fraktální křivka stromu opic Archivováno 21. září 2002 v Archiv. Dnes
- ^ Fraktální rozměr Penrosova obkladu
- ^ A b Shishikura, Mitsuhiro (1991). „Hausdorffova dimenze hranice sady Mandelbrot a Julia“. arXiv:matematika / 9201282.
- ^ Varianty Lebesgueovy křivky
- ^ Duda, Jarek (2008). "Složité základní číselné systémy". arXiv:0712.1309v3 [math.DS ].
- ^ Seuil (1982). Penser les mathématiques. ISBN 2-02-006061-2.
- ^ Fraktály a Rösslerův atraktor
- ^ McGuinness, M. J. (1983). "Fraktální rozměr Lorenzova atraktoru". Fyzikální dopisy. 99A (1): 5–9. Bibcode:1983PhLA ... 99 .... 5M. doi:10.1016 / 0375-9601 (83) 90052-X.
- ^ Lowe, Thomas (24. října 2016). „Tři povrchy s proměnnou dimenzí“. ResearchGate.
- ^ Fraktální rozměr balení apollonské koule Archivováno 6. května 2016 v Wayback Machine
- ^ [1]
- ^ Hou, B .; Xie, H .; Wen, W .; Sheng, P. (2008). „Trojrozměrné kovové fraktály a jejich vlastnosti fotonických krystalů“ (PDF). Phys. Rev. B. 77 (12): 125113. Bibcode:2008PhRvB..77l5113H. doi:10.1103 / PhysRevB.77.125113.
- ^ Hausdorffova dimenze Mandelbulb
- ^ Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Brownian Motion", Cambridge University Press, 2010
- ^ McCartney, Mark; Abernethya, Gavin; Gaulta, Lisa (24. června 2010). „Rozdělovač dimenze irského pobřeží“. Irská geografie. 43 (3): 277–284. doi:10.1080/00750778.2011.582632.
- ^ A b Hutzler, S. (2013). „Fraktální Irsko“. Science Spin. 58: 19–20. Citováno 15. listopadu 2016.(Vidět stránka s obsahem, archivováno 26. července 2013)
- ^ Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistická sebepodobnost a zlomková dimenze B. Mandelbrot
- ^ Lawler, Gregory F .; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2001). „Rozměr rovinné Brownovy hranice je 4/3“. Matematika. Res. Lett. 8 (4): 401–411. arXiv:matematika / 0010165. Bibcode:2000math ..... 10165L. doi:10.4310 / MRL.2001.v8.n4.a1. S2CID 5877745.
- ^ A b C d E F G h i Sapoval, Bernard (2001). Universalités et fractales. Flammarion-Champs. ISBN 2-08-081466-4.
- ^ Feder, J., "Fractals", Plenum Press, New York, (1988).
- ^ Procházky generující trup
- ^ A b M Sahini; M Sahimi (2003). Aplikace teorie perkolace. CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2.
- ^ Základní vlastnosti shlukování galaxií ve světle nedávných výsledků průzkumu Sloan Digital Sky Survey
- ^ „Vztahy s mocenským zákonem“. Yale. Archivovány od originál dne 28. června 2010. Citováno 29. července 2010. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ A b Kim, Sang-Hoon (2. února 2008). "Fraktální rozměry zelené brokolice a bílého květáku". arXiv:cond-mat / 0411597.
- ^ Fraktální rozměr povrchu lidského mozku
- ^ [Meakin (1987)]
Další čtení
- Mandelbrot, Benoît (1982). Fraktální geometrie přírody. W.H. Freemane. ISBN 0-7167-1186-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Peitgen, Heinz-Otto (1988). Saupe, Dietmar (ed.). Věda fraktálních obrazů. Springer Verlag. ISBN 0-387-96608-0.
- Barnsley, Michael F. (1. ledna 1993). Fraktály všude. Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-079061-0.
- Sapoval, Bernard; Mandelbrot, Benoît B. (2001). Universalités et fractales: jeux d'enfant ou délits d'initié?. Flammarion-Champs. ISBN 2-08-081466-4.