Krylov – Bogolyubovova věta - Krylov–Bogolyubov theorem

v matematika, Krylov – Bogolyubovova věta (také známý jako věta o invariantních opatřeních) může odkazovat na jeden ze dvou souvisejících základních věty v rámci teorie dynamické systémy. Věty zaručují existenci invariantní opatření pro určité „pěkné“ mapy definované na „pěkných“ prostorech a pojmenované podle ruština -ukrajinština matematici a teoretičtí fyzici Nikolay Krylov a Nikolay Bogolyubov kdo dokázal věty.^[1]

Formulace vět

Invariantní míry pro jednu mapu

Věta (Krylov – Bogolyubov). Nechť (X, T) být a kompaktní, měřitelný topologický prostor a F : X → X A průběžná mapa. Pak F připouští invariant Borel míra pravděpodobnosti.

To znamená, že pokud Borel (X) označuje Borel σ-algebra generované kolekcí T z otevřené podmnožiny z X, pak existuje míra pravděpodobnosti μ : Borel (X) → [0, 1] takové, že pro jakoukoli podmnožinu A ∈ Borel (X),

${displaystyle mu left (F ^ {- 1} (A) ight) = mu (A).}$

Z hlediska tlačit kupředu, toto říká, že

${displaystyle F _ {*} (mu) = mu.}$

Invariantní opatření pro Markovův proces

Nechat X být Polský prostor a nechte ${displaystyle P_ {t}, tgeq 0,}$ být pravděpodobnost přechodu pro časově homogenní Markov poloskupina na X, tj.

${displaystyle Pr [X_ {t} v A | X_ {0} = x] = P_ {t} (x, A).}$

Věta (Krylov – Bogolyubov). Pokud existuje bod ${displaystyle xin X}$ pro které je rodina pravděpodobnostních opatření {P_t(X, ·) | t > 0} je rovnoměrně těsné a poloskupina (P_t) splňuje Fellerův majetek, pak existuje alespoň jedno invariantní měřítko pro (P_t), tj. míra pravděpodobnosti μ na X takhle

${displaystyle (P_ {t}) _ {ast} (mu) = mu {mbox {pro všechny}} t> 0.}$

Viz také

• Pro 1. větu: Ya. G. Sinaj (Vyd.) (1997): Dynamické systémy II. Ergodická teorie s aplikacemi na dynamické systémy a statistickou mechaniku. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-17001-4. (Sekce 1).
• Pro 2. větu: G. Da Prato a J. Zabczyk (1996): Ergodicita pro nekonečné dimenzionální systémy. Cambridge Univ. Lis. ISBN  0-521-57900-7. (Část 3).

Poznámky

Tento článek včlení materiál od Krylov-Bogolubovova věta na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.