Tlumící rovnice - Duffing equation

A Sekce Poincaré nucené Duffingovy rovnice naznačující chaotické chování ${ displaystyle ( alpha = 1,}$ ${ displaystyle beta = 5,}$ ${ displaystyle delta = 0,02,}$ ${ displaystyle gamma = 8}$ a ${ displaystyle omega = 0,5)}$.

The Tlumící rovnice (nebo Tlumící oscilátor), pojmenoval podle Georg Duffing (1861–1944), je nelineární druhá objednávka diferenciální rovnice slouží k modelování určitých tlumené a poháněné oscilátory. Rovnice je dána vztahem

${ displaystyle { ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t) ,}$

kde (neznámá) funkce ${ displaystyle x = x (t)}$ je posunutí v čase ${ displaystyle t,}$ ${ displaystyle { dot {x}}}$ je první derivát z ${ displaystyle x}$ s ohledem na čas, tj. rychlost, a ${ displaystyle { ddot {x}}}$ je druhá časová derivace ${ displaystyle x,}$ tj. akcelerace. Čísla ${ displaystyle delta,}$ ${ displaystyle alpha,}$ ${ displaystyle beta,}$ ${ displaystyle gamma}$ a ${ displaystyle omega}$ jsou uvedeny konstanty.

Rovnice popisuje pohyb tlumeného oscilátoru se složitějším potenciál než v jednoduchý harmonický pohyb (což odpovídá případu ${ displaystyle beta = delta = 0}$); z fyzického hlediska modeluje například an pružné kyvadlo jehož jaro je ztuhlost přesně neposlouchá Hookeův zákon.

Duffingova rovnice je příkladem dynamického systému, který vykazuje chaotické chování. Systém Duffing se navíc prezentuje v frekvenční odezva fenomén skokové rezonance, který je jakousi frekvencí hystereze chování.

Parametry

Parametry ve výše uvedené rovnici jsou:

• ${ displaystyle delta}$ kontroluje množství tlumení,
• ${ displaystyle alpha}$ ovládá lineární ztuhlost,
• ${ displaystyle beta}$ řídí množství nelinearity v obnovovací síle; -li ${ displaystyle beta = 0,}$ Duffingova rovnice popisuje tlumený a řízený jednoduchý harmonický oscilátor,
• ${ displaystyle gamma}$ je amplituda periodické hnací síly; -li ${ displaystyle gamma = 0}$ systém je bez hnací síly a
• ${ displaystyle omega}$ je úhlová frekvence periodické hnací síly.

Na Duffingovu rovnici lze pohlížet jako na popis oscilací hmoty připojené k nelineárnímu jaro a lineární tlumič. Potom je obnovovací síla poskytovaná nelineární pružinou ${ displaystyle alpha x + beta x ^ {3}.}$

Když ${ displaystyle alpha> 0}$ a ${ displaystyle beta> 0}$ pružina se nazývá a kalicí pružina. Naopak pro ${ displaystyle beta <0}$ to je změkčovací pružina (stále s ${ displaystyle alpha> 0}$). V důsledku toho přídavná jména kalení a měknutí se používají s ohledem na Duffingovu rovnici obecně, v závislosti na hodnotách ${ displaystyle beta}$ (a ${ displaystyle alpha}$).^[1]

Počet parametrů v Duffingově rovnici lze snížit o dva pomocí změny měřítka, např. exkurze ${ displaystyle x}$ a čas ${ displaystyle t}$ lze upravit jako:^[2] ${ displaystyle tau = t { sqrt { alpha}}}$ a ${ displaystyle y = x alpha / gamma,}$ za předpokladu ${ displaystyle alpha}$ je kladné (jiné škálování je možné pro různé rozsahy parametrů nebo pro různé zdůraznění studovaného problému). Pak:^[3]

${ displaystyle { ddot {y}} + 2 eta , { dot {y}} + y + varepsilon , y ^ {3} = cos ( sigma tau),}$   kde   ${ displaystyle eta = { frac { delta} {2 { sqrt { alpha}}}},}$   ${ displaystyle varepsilon = { frac { beta gamma ^ {2}} { alpha ^ {3}}}.}$   a   ${ displaystyle sigma = { frac { omega} { sqrt { alpha}}}.}$

Tečky označují diferenciaci ${ displaystyle y ( tau)}$ s ohledem na ${ displaystyle tau.}$ To ukazuje, že řešení nucené a tlumené Duffingovy rovnice lze popsat pomocí tří parametrů (${ displaystyle varepsilon,}$ ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle sigma}$) a dva počáteční podmínky (tj. pro ${ displaystyle y (t_ {0})}$ a ${ displaystyle { dot {y}} (t_ {0})}$).

Metody řešení

Duffingova rovnice obecně nepřipouští přesné symbolické řešení. Mnoho přibližných metod však funguje dobře:

• Expanze v a Fourierova řada může poskytnout pohybovou rovnici s libovolnou přesností.
• The ${ displaystyle x ^ {3}}$ termín, nazývaný také Tlumící termín, lze aproximovat jako malou a systém považovat za a rozrušený jednoduchý harmonický oscilátor.
• The Frobeniova metoda přináší komplexní, ale proveditelné řešení.
• Jakékoli z různých numerické metody jako Eulerova metoda a Runge-Kutta může být použito.
• The metoda homotopické analýzy (HAM) byla také hlášena pro získání přibližných řešení Duffingovy rovnice, také pro silnou nelinearitu.^[4][5]

Ve zvláštním případě netlumený (${ displaystyle delta = 0}$) a nedospělý (${ displaystyle gamma = 0}$) Tlumící rovnici, přesné řešení lze získat pomocí Jacobiho eliptické funkce.^[6]

Ohraničenost řešení pro nevynucený oscilátor

Netlumený oscilátor

Násobení netlumené a nevynucené Duffingovy rovnice, ${ displaystyle gamma = delta = 0,}$ s ${ displaystyle { dot {x}}}$ dává:^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} right) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} vlevo [{ tfrac {1} {2}} vlevo ({ dot {x}} vpravo) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = 0 & Rightarrow { tfrac {1} { 2}} left ({ dot {x}} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} = H, end {zarovnáno}}}$

s H konstanta. Hodnota H je určena počátečními podmínkami ${ displaystyle x (0)}$ a ${ displaystyle { dot {x}} (0).}$

Střídání ${ displaystyle y = { dot {x}}}$ v H ukazuje, že systém je Hamiltonian:

${ displaystyle { dot {x}} = + { frac { částečné H} { částečné y}},}$   ${ displaystyle { dot {y}} = - { frac { částečné H} { částečné x}}}$   s   ${ displaystyle quad H = { tfrac {1} {2}} y ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4} } beta x ^ {4}.}$

Když obojí ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou pozitivní, řešení je omezené:^[7]

${ displaystyle | x | leq { sqrt {2H / alpha}}}$   a   ${ displaystyle | { dot {x}} | leq { sqrt {2H}},}$

s Hamiltonianem H být pozitivní.

Tlumený oscilátor

Podobně pro tlumený oscilátor,^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} & { dot {x}} left ({ ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} right ) = 0 & Rightarrow { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left [{ tfrac {1} {2}} left ({ dot {x}} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} alpha x ^ {2} + { tfrac {1} {4}} beta x ^ {4} right] = - delta , left ({ dot {x}} right) ^ {2} & Rightarrow { frac { mathrm {d} H} { mathrm {d} t}} = - delta , left ({ dot {x}} right) ^ {2} leq 0, end {zarovnáno}}}$

od té doby ${ displaystyle delta geq 0}$ pro tlumení. Bez vynucení tlumený Duffingův oscilátor skončí na (jednom) stabilní rovnovážný bod (s). Rovnovážné body, stabilní a nestabilní, jsou na ${ displaystyle alpha x + beta x ^ {3} = 0.}$ Li ${ displaystyle alpha> 0}$ stabilní rovnováha je na ${ displaystyle x = 0.}$ Li ${ displaystyle alpha <0}$ a ${ displaystyle beta> 0}$ stabilní rovnováhy jsou na ${ displaystyle x = + { sqrt {- alpha / beta}}}$ a ${ displaystyle x = - { sqrt {- alpha / beta}}.}$

Frekvenční odezva

Frekvenční odezva ${ displaystyle z / gamma}$ jako funkce ${ displaystyle omega / { sqrt { alpha}}}$ pro Duffingovu rovnici s ${ displaystyle alpha = gamma = 1}$ a tlumení ${ displaystyle delta = 0,1.}$ Přerušované části frekvenční odezvy jsou nestabilní.^[3]

Vynucený Duffingův oscilátor s kubickou nelinearitou je popsán následující obyčejnou diferenciální rovnicí:

${ displaystyle { ddot {x}} + delta { dot {x}} + alpha x + beta x ^ {3} = gamma cos ( omega t).}$

The frekvenční odezva tohoto oscilátoru popisuje amplituda ${ displaystyle z}$ ustálené odezvy rovnice (tj. ${ displaystyle x (t)}$) v daném okamžiku frekvence vzrušení ${ displaystyle omega.}$ Pro lineární oscilátor s ${ displaystyle beta = 0,}$ frekvenční odezva je také lineární. Pro nenulový kubický koeficient se však frekvenční charakteristika stane nelineární. V závislosti na typu nelinearity může Duffingův oscilátor vykazovat frekvenční odezvu kalení, měknutí nebo smíšeného kalení - měknutí. Každopádně pomocí metoda homotopické analýzy nebo harmonická rovnováha, lze odvodit rovnici frekvenční odezvy v následující podobě:^[9][5]

${ displaystyle left [ left ( omega ^ {2} - alpha - { frac {3} {4}} beta z ^ {2} right) ^ {2} + left ( delta omega right) ^ {2} right] , z ^ {2} = gamma ^ {2}.}$

Pro parametry Duffingovy rovnice dává výše uvedená algebraická rovnice ustálený stav amplituda kmitání ${ displaystyle z}$ při dané budicí frekvenci.

Skoky

Skoky ve frekvenční odezvě. Parametry jsou: ${ displaystyle alpha = gamma = 1,}$,${ displaystyle beta = 0,04}$ a ${ displaystyle delta = 0,1.}$^[9]

U určitých rozsahů parametrů v Duffingově rovnici nemusí být frekvenční odezva a funkce s jednou hodnotou frekvence vynucení ${ displaystyle omega.}$ Pro kalicí pružinový oscilátor (${ displaystyle alpha> 0}$ a dostatečně velký pozitivní ${ displaystyle beta> beta _ {c +}> 0}$) převis kmitočtové odezvy na vysokofrekvenční stranu a na nízkofrekvenční stranu oscilátoru se změkčovací pružinou (${ displaystyle alpha> 0}$ a ${ displaystyle beta < beta _ {c -} <0}$). Dolní převislá strana je nestabilní - tj. Části přerušované čáry na obrázcích frekvenční odezvy - a nelze ji realizovat po delší dobu. V důsledku toho se objeví skokový jev:

• když úhlová frekvence ${ displaystyle omega}$ se pomalu zvyšuje (s pevnými dalšími parametry), odezva amplituda ${ displaystyle z}$ klesne na A najednou na B,
• pokud frekvence ${ displaystyle omega}$ se pomalu snižuje, pak v C poskočí amplituda až na D, poté následuje horní větev frekvenční odezvy.

Skoky A – B a C – D se neshodují, takže systém ukazuje hystereze v závislosti na směru rozmítání frekvence.^[9]

Příklady

Časové stopy a fázové portréty

oscilace periody 1 při ${ displaystyle gamma = 0,20}$

oscilace periody 2 při ${ displaystyle gamma = 0,28}$

oscilace periody 4 při ${ displaystyle gamma = 0,29}$

oscilace periody 5 při ${ displaystyle gamma = 0,37}$

chaos v ${ displaystyle gamma = 0,50}$

oscilace periody 2 při ${ displaystyle gamma = 0,65}$

Některé typické příklady časové řady a fázové portréty Duffingovy rovnice, ukazující vzhled subharmonie přes bifurkace zdvojnásobující období - také chaotické chování - jsou zobrazeny na obrázcích níže. Amplituda vynucení se zvyšuje z ${ displaystyle gamma = 0,20}$ na ${ displaystyle gamma = 0,65.}$ Ostatní parametry mají hodnoty: ${ displaystyle alpha = -1,}$ ${ displaystyle beta = + 1,}$ ${ displaystyle delta = 0,3}$ a ${ displaystyle omega = 1.2.}$ Počáteční podmínky jsou ${ displaystyle x (0) = 1}$ a ${ displaystyle { dot {x}} (0) = 0.}$ Červené tečky na fázových portrétech jsou občas ${ displaystyle t}$ které jsou celé číslo násobek doba ${ displaystyle T = 2 pi / omega.}$^[10]

Reference

V souladu

Historický

jiný

externí odkazy

• Tlumící oscilátor na Scholarpedii
• Stránka MathWorld
• Pchelintsev, A.N .; Ahmad, S. (2020). „Řešení Duffingovy rovnice metodou výkonové řady“ (PDF). Transakce TSTU. 26 (1): 118–123.CS1 maint: ref = harv (odkaz)