Fraktální rozměr - Fractal dimension

11,5 x 200 = 2300 km

28 x 100 = 2 800 km

70 x 50 = 3500 km

Obrázek 1. Vzhledem k tomu, že délka měřicí tyčinky je zmenšována a zmenšována, celková délka měřeného pobřeží se zvyšuje.

v matematika, konkrétněji v fraktální geometrie, a fraktální dimenze je poměr poskytující statistický index o složitost porovnání podrobností v a vzor (přísně vzato, a fraktální vzor) se mění s měřítko při kterém se měří. Rovněž byla charakterizována jako míra vyplňování prostoru kapacita vzoru, který říká, jak se fraktál škáluje odlišně od prostor je vložen do; fraktální dimenze nemusí být celé číslo.^[1][2][3]

Základní myšlenka „zlomeného“ rozměry má dlouhou historii v matematice, ale samotný termín byl uveden do popředí pomocí Benoit Mandelbrot na základě jeho papír z roku 1967 na sebepodobnost ve kterém diskutoval zlomkové rozměry.^[4] V tomto příspěvku citoval Mandelbrot předchozí práci Lewis Fry Richardson popisující protiintuitivní představu, že měřená délka pobřeží se mění s délkou použité měřicí tyčinky (viz obr ). Pokud jde o tuto představu, fraktální rozměr pobřežní čáry kvantifikuje, jak se mění počet změřených měřících tyčí potřebných k měření pobřežní čáry s měřítkem použitým na hůlku.^[5] Existuje několik formálních matematické definice fraktální dimenze, která staví na tomto základním konceptu změny v detailu se změnou v měřítku.

Nakonec termín fraktální dimenze se stal výraz, s nímž se Mandelbrot sám stal nejpohodlnějším, pokud jde o zapouzdření významu slova fraktální, termín, který vytvořil. Po několika iteracích v průběhu let se Mandelbrot rozhodl pro toto použití jazyka: „... používat fraktální bez pedantské definice použít fraktální dimenze jako obecný termín použitelný pro Všechno varianty. “^[6]

Jeden netriviální příklad je fraktální dimenze a Sněhová vločka Koch. Má to topologická dimenze z 1, ale v žádném případě to není a usměrnitelná křivka: délka křivky mezi libovolnými dvěma body na sněhové vločce Koch je nekonečný. Žádný malý kousek z něj nemá podobu čáry, ale spíše se skládá z nekonečného počtu segmentů spojených v různých úhlech. Fraktální dimenzi křivky lze vysvětlit intuitivně, když uvažujeme o fraktální linii jako o objektu příliš podrobném na to, aby byl jednorozměrný, ale příliš jednoduchý na to, aby byl dvourozměrný.^[7] Proto může být jeho dimenze nejlépe popsána ne jeho obvyklou topologickou dimenzí 1, ale jeho fraktální dimenzí, což je často číslo mezi jednou a dvěma; v případě sněhové vločky Koch je to asi 1,262.

Úvod

Obrázek 2. 32 segmentů kvadrický fraktál zmenšen a prohlížen skrz krabice různých velikostí. Vzor ilustruje sebe podobnost. Teoretická fraktální dimenze pro tento fraktál je log32 / log8 = 1,67; jeho empirická fraktální dimenze z počítání krabic analýza je ± 1%^[8] použitím fraktální analýza software.

A fraktální dimenze je index pro charakterizaci fraktální vzory nebo sady vyčíslením jejich složitost jako poměr změny v detailu ke změně měřítka.^[5]:1 Teoreticky lze měřit několik typů fraktální dimenze a empiricky (viz obr ).^[3][9] Fraktální dimenze se používají k charakterizaci širokého spektra objektů od abstraktních^[1][3] k praktickým jevům, včetně turbulencí,^[5]:97–104 říční sítě,^:246–247 růst měst,^[10][11] fyziologie člověka,^[12][13] lék,^[9] a tržní trendy.^[14] Základní myšlenka zlomek nebo fraktální rozměry má dlouhou historii v matematice, kterou lze vysledovat až do 16. století,^[5]:19[15] ale podmínky fraktální a fraktální dimenze byly vytvořeny matematikem Benoitem Mandelbrotem v roce 1975.^{[1][2][5][9][14][16]}

Fraktální rozměry byly nejprve použity jako index charakterizující komplikované geometrické tvary, u nichž se detaily zdály důležitější než hrubý obraz.^[16] U množin popisujících běžné geometrické tvary se teoretická fraktální dimenze rovná známé množině Euklidovský nebo topologická dimenze. Je tedy 0 pro množiny popisující body (0rozměrné množiny); 1 pro sady popisující čáry (jednorozměrné sady mající pouze délku); 2 pro sady popisující povrchy (2-rozměrné sady mající délku a šířku); a 3 pro sady popisující objemy (trojrozměrné sady mající délku, šířku a výšku). Ale toto se u fraktálních sad mění. Pokud teoretická fraktální dimenze sady překročí její topologickou dimenzi, je sada považována za fraktální geometrii.^[17]

Na rozdíl od topologických dimenzí může index fraktálu trvatcelé číslo hodnoty,^[18] což naznačuje, že množina vyplňuje svůj prostor kvalitativně a kvantitativně odlišně od toho, jak to dělá běžná geometrická množina.^[1][2][3] Například křivka s fraktální dimenzí velmi blízkou 1, řekněme 1,10, se chová docela jako obyčejná čára, ale křivka s fraktální dimenzí 1,9 se stočí prostorem téměř jako povrch. Podobně povrch s fraktální dimenzí 2,1 vyplňuje prostor velmi podobně jako obyčejný povrch, ale povrch s fraktální dimenzí 2,9 se přehýbá a proudí tak, aby vyplňoval prostor spíše jako objem.^{[17]:48[poznámky 1]} Tento obecný vztah lze vidět na dvou obrázcích fraktální křivky v Obr a Obr - 32segmentový obrys na obr. 2, spletitý a vyplňující prostor, má fraktální dimenzi 1,67, ve srovnání se znatelně méně složitou Kochovou křivkou na obr. 3, která má fraktální dimenzi 1,26.

Obrázek 3. The Kochova křivka je klasika iterováno fraktální křivka. Jedná se o teoretický konstrukt, který je vytvořen iterativním škálováním počátečního segmentu. Jak je znázorněno, každý nový segment je zmenšen o 1/3 na 4 nové kousky položené od konce ke konci, přičemž mezi nimi jsou nakloněny 2 střední kousky, takže pokud by šlo o trojúhelník, jeho základna by byla délkou středu kus, takže celý nový segment zapadá napříč tradičně měřenou délkou mezi koncovými body předchozího segmentu. Zatímco animace zobrazuje pouze několik iterací, teoretická křivka je tímto způsobem zmenšena nekonečně. Kromě asi 6 iterací na tak malém obrázku je detail ztracen.

Vztah rostoucí fraktální dimenze s vyplňováním prostoru lze chápat tak, že znamená, že fraktální dimenze měří hustotu, ale není tomu tak; ty dva nejsou striktně korelovány.^[8] Místo toho dimenze fraktálu měří složitost, koncept související s určitými klíčovými rysy fraktálů: sebepodobnost a detail nebo nesrovnalost.^{[poznámky 2]} Tyto vlastnosti jsou patrné na dvou příkladech fraktálních křivek. Obě jsou křivky s topologická dimenze 1, takže by se dalo doufat, že bude možné měřit jejich délku a derivaci stejným způsobem jako u běžných křivek. Ale nemůžeme dělat ani jednu z těchto věcí, protože fraktální křivky mají složitost v podobě sebepodobnosti a detailů, které běžným křivkám chybí.^[5] The sebepodobnost spočívá v nekonečné škálování a detail v definujících prvcích každé sady. The délka mezi libovolnými dvěma body na těchto křivkách je nekonečný, bez ohledu na to, jak blízko jsou dva body, což znamená, že je nemožné přiblížit délku takové křivky rozdělením křivky na mnoho malých segmentů.^[19] Každý menší díl se skládá z nekonečného počtu zmenšených segmentů, které vypadají přesně jako první iterace. To nejsou usměrnitelné křivky, což znamená, že je nelze měřit rozdělením do mnoha segmentů, které se přibližují jejich příslušné délce. Nelze je smysluplně charakterizovat hledáním jejich délek a derivací. Lze však určit jejich fraktální rozměry, což ukazuje, že oba vyplňují prostor více než běžné čáry, ale méně než povrchy, a umožňuje je v tomto ohledu porovnat.

Dvě fraktální křivky popsané výše ukazují typ sebepodobnosti, který je přesný s opakující se jednotkou detailu, která je snadno vizualizována. Tento druh struktury lze rozšířit na další prostory (např fraktální který rozšiřuje Kochovu křivku do 3-d prostoru, má teoretický D = 2,5849). Taková úhledně spočítatelná složitost je však pouze jedním příkladem sebepodobnosti a detailů, které jsou ve fraktálech přítomny.^[3][14] Například příklad britské pobřežní linie vykazuje sebepodobnost přibližného vzoru s přibližným měřítkem.^[5]:26 Celkově, fraktály ukázat několik typy a stupně podobnosti a detaily, které nemusí být snadno vizualizovatelné. Mezi ně patří například podivné atraktory u nichž byl detail popsán jako v podstatě, hromadí se hladké části,^[17]:49 the Julia set, což lze považovat za složité víry nad víry a srdeční frekvence, což jsou vzorce hrubých hrotů opakovaných a časově upravených.^[20] Fraktální složitost nemusí být vždy vyřešitelná na snadno uchopitelné jednotky detailu a měřítka bez složitých analytických metod, ale je stále kvantifikovatelná prostřednictvím fraktálních dimenzí.^{[5]:197; 262}

Dějiny

Podmínky fraktální dimenze a fraktální byly vytvořeny Mandelbrotem v roce 1975,^[16] asi deset let poté, co publikoval článek o sebepodobnosti na pobřeží Británie. Různé historické autority mu připisují také syntetizaci staletí komplikované teoretické matematiky a inženýrských prací a jejich nové použití při studiu složitých geometrií, které se vzpíraly popisu v obvyklých lineárních pojmech.^[15][21][22] Nejranější kořeny toho, co Mandelbrot syntetizoval jako fraktální dimenzi, lze jasně vysledovat až k spisům o nediferencovatelných, nekonečně podobných funkcích, které jsou důležité v matematické definici fraktálů, v době, kdy počet byl objeven v polovině 16. století.^[5]:405 Ve zveřejněném díle o těchto funkcích po určitou dobu nastal klid, poté obnova začínající koncem 19. století publikováním matematických funkcí a množin, které se dnes nazývají kanonické fraktály (jako stejnojmenná díla von Koch,^[19] Sierpiński, a Julie ), ale v době jejich formulace byly často považovány za protikladné matematické „příšery“.^[15][22] Tyto práce byly doprovázeny snad nejdůležitějším bodem ve vývoji koncepce fraktální dimenze prostřednictvím práce Hausdorff na počátku 20. století, kteří definovali „zlomek“ dimenze který začal být pojmenován po něm a je často používán při definování moderního fraktály.^{[4][5]:44[17][21]}

Vidět Fraktální historie Pro více informací

Úloha škálování

Obrázek 4. Tradiční pojmy geometrie pro definování měřítka a kóty.
${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle 1 ^ {2} {=} 1}$, ${ displaystyle 1 ^ {3} {=} 1}$
${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle 2 ^ {2} {=} 4}$, ${ displaystyle 2 ^ {3} {=} 8}$
${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle 3 ^ {2} {=} 9}$, ${ displaystyle 3 ^ {3} {=} 27}$ ^[23]

Koncept fraktální dimenze spočívá v nekonvenčních pohledech na změnu měřítka a dimenzi.^[24] Tak jako Obr ilustruje, tradiční představy o geometrii diktují, že tvary lze předvídatelně škálovat podle intuitivních a známých představ o prostoru, ve kterém jsou obsaženy, například při měření přímky pomocí první měřicí tyčinky a další 1/3 její velikosti druhá tyč má celkovou délku třikrát tolik tyčinek dlouhých jako ta první. To platí také ve 2 rozměrech. Pokud někdo změří plochu čtverce, pak znovu změří krabičku o délce strany 1/3 velikosti originálu, najde 9krát více čtverců než u první míry. Takové známé vztahy škálování lze matematicky definovat obecným pravidlem škálování v rovnici 1, kde je proměnná ${ displaystyle N}$ znamená počet tyčinek, ${ displaystyle varepsilon}$ pro faktor měřítka a ${ displaystyle D}$ pro fraktální dimenzi:

${ displaystyle {N = varepsilon ^ {- D}}.}$

(1)

Toto pravidlo měřítka typizuje konvenční pravidla o geometrii a kótě - u čar to kvantifikuje, protože ${ displaystyle N = 3}$ když ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}}$ jako v příkladu výše, ${ displaystyle D = 1,}$ a na čtverce, protože ${ displaystyle N = 9}$ když ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}, D = 2.}$

Obrázek 5. První čtyři iterace z Sněhová vločka Koch, který má přibližnou hodnotu Hausdorffova dimenze z 1.2619.

Stejné pravidlo platí pro fraktální geometrii, ale méně intuitivně. Abychom to propracovali, fraktální čára měřená zpočátku na jednu délku, když se znovu změří pomocí nové tyčinky zmenšené o 1/3 staré, nemusí být očekávaná 3, ale místo toho 4krát tolik škálovaných tyčinek dlouhých. V tomto případě, ${ displaystyle N = 4}$ když ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}},}$ a hodnota ${ displaystyle D}$ lze najít přeuspořádáním rovnice 1:

${ displaystyle { log _ { varepsilon} {N} = {- D} = { frac { log {N}} { log { varepsilon}}}}.}$

(2)

To znamená pro fraktál popsaný ${ displaystyle N = 4}$ když ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}, D = 1,2619,}$ neceločíselná dimenze, která naznačuje, že fraktál má dimenzi, která se nerovná prostoru, ve kterém se nachází.^[3] Měřítko použité v tomto příkladu je stejné měřítko Kochova křivka a sněhová vločka. Za zmínku stojí, že zobrazené obrázky nejsou skutečné fraktály, protože měřítko popsané hodnotou ${ displaystyle D}$ nemůže pokračovat nekonečně z jednoduchého důvodu, že obrazy existují pouze do bodu jejich nejmenší komponenty, pixelu. Teoretický vzorec, který digitální obrazy představují, však nemá žádné diskrétní kousky podobné pixelu, ale spíše je složen z nekonečný počet nekonečně zmenšených segmentů spojených v různých úhlech a skutečně má fraktální rozměr 1,2619.^[5][24]

D není jedinečný deskriptor

Obrázek 6. Dva L-systémy rozvětvené fraktály, které jsou vyrobeny vytvořením 4 nových dílů na každou 1/3 škálování takže mají stejnou teoretickou ${ displaystyle D}$ jako Kochova křivka a pro kterou je empirická počítání krabic ${ displaystyle D}$ bylo prokázáno s přesností 2%.^[8]

Stejně jako v případě kót určených pro čáry, čtverce a kostky jsou fraktální kóty obecnými deskriptory, které jednoznačně nedefinují vzory.^[24][25] Hodnota D například u výše popsaného fraktálu Koch kvantifikuje inherentní škálování vzoru, ale jednoznačně nepopisuje ani neposkytuje dostatek informací k jeho rekonstrukci. Mohlo by být vytvořeno mnoho fraktálových struktur nebo vzorů, které mají stejný vztah škálování, ale dramaticky se liší od Kochovy křivky, jak je znázorněno v Obrázek 6.

Příklady toho, jak lze konstruovat fraktální vzory, viz Fraktál, Sierpinského trojúhelník, Mandelbrotova sada, Difúze omezená agregace, Systém L.

Fraktální povrchové struktury

Koncept fraktality se stále více uplatňuje v oblasti věda o povrchu, poskytující most mezi povrchovými charakteristikami a funkčními vlastnostmi.^[26] Četné deskriptory povrchů se používají k interpretaci struktury nominálně plochých povrchů, které často vykazují vlastní afinitní rysy napříč několika délkovými měřítky. Znamenat drsnost povrchu, obvykle označovaný R_A, je nejčastěji používaným deskriptorem povrchu, nicméně řada dalších deskriptorů včetně střední strmosti, střední kvadratická drsnost (R._RMS) a další jsou pravidelně aplikovány. Zjistilo se však, že mnoho fyzikálních povrchových jevů nelze snadno interpretovat s odkazem na takové deskriptory, takže fraktální dimenze se stále více používá k vytvoření korelace mezi povrchovou strukturou, pokud jde o chování při škálování a výkon.^[27] Fraktální rozměry povrchů byly použity k vysvětlení a lepšímu pochopení jevů v oblastech kontaktní mechanici,^[28] třecí chování,^[29] odpor elektrického kontaktu^[30] a transparentní vodivé oxidy.^[31]

Obrázek 7: Ilustrace zvyšující se fraktality povrchu. Vlastní afinní povrchy (vlevo) a odpovídající profily povrchů (vpravo) ukazující rostoucí fraktální dimenzi D_F

Příklady

Koncept fraktální dimenze popsaný v tomto článku je základním pohledem na komplikovaný konstrukt. Zde diskutované příklady byly vybrány kvůli jasnosti a jednotka měřítka a poměry byly známy předem. V praxi však lze fraktální rozměry určit pomocí technik, které přibližují měřítko a podrobnosti z limity odhadováno z regresní čáry přes log vs log grafy velikosti vs. měřítka. Níže je uvedeno několik formálních matematických definic různých typů fraktální dimenze. Ačkoli se u některých klasických fraktálů všechny tyto rozměry shodují, obecně nejsou ekvivalentní:

• Dimenze počítání krabic: D je odhadovaný jako exponent a mocenský zákon.

${ displaystyle D_ {0} = lim _ { varepsilon až 0} { frac { log N ( varepsilon)} { log { frac {1} { varepsilon}}}}}$

• Informační dimenze: D bere v úvahu průměr informace potřebné k identifikaci obsazeného boxu váhy s velikostí boxu; ${ displaystyle p}$ je pravděpodobnost.

${ displaystyle D_ {1} = lim _ { varepsilon až 0} { frac {- langle log p _ { varepsilon} rangle} { log { frac {1} { varepsilon}}} }}$

• Korelační dimenze: D je založeno na ${ displaystyle M}$ jako počet bodů použitých ke generování reprezentace fraktálu a G_ε, počet párů bodů blíže k sobě než ε.

${ displaystyle D_ {2} = lim _ {M až infty} lim _ { varepsilon až 0} { frac { log (g _ { varepsilon} / M ^ {2})} { log varepsilon}}}$^{[Citace je zapotřebí ]}

• Zobecněné nebo Rényiho dimenze: Dimenze počítání krabic, informace a korelace lze považovat za zvláštní případy spojitého spektra zobecněné rozměry řádu α, definované:

${ displaystyle D _ { alpha} = lim _ { varepsilon až 0} { frac {{ frac {1} { alpha -1}} log ( sum _ {i} p_ {i} ^ { alpha})} { log varepsilon}}}$

• Higuchiho rozměr^[32]

${ displaystyle D = { frac {d log (L (k))} {d log (k)}}}$

• Lyapunovova dimenze
• Multifrakční dimenze: speciální případ Rényiho dimenzí, kde se chování změny měřítka liší v různých částech vzoru.
• Exponent nejistoty
• Hausdorffova dimenze: Pro jakoukoli podmnožinu ${ displaystyle S}$ metrického prostoru ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle d geq 0}$, d-dimenzionální Obsah Hausdorff z S je definováno

${ displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = inf { Bigl {} součet _ {i} r_ {i} ^ {d}: { text {existuje obal}} S { text {koulemi s rádiusy}} r_ {i}> 0 { Bigr }}.}$

The Hausdorffova dimenze z S je definováno

${ displaystyle dim _ { operatorname {H}} (X): = inf {d geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 }.}$

• Rozměr balení
• Dimenze Assouad
• Místní připojená dimenze^[33]

Odhad z údajů z reálného světa

Mnoho skutečných jevů vykazuje omezené nebo statistické fraktální vlastnosti a fraktální rozměry, z nichž byly odhadnuty odebrány vzorky data pomocí počítače fraktální analýza techniky. V praxi jsou měření fraktální dimenze ovlivněna různými metodologickými problémy a jsou citlivá na numerický nebo experimentální šum a omezení množství dat. Pole nicméně rychle roste, protože odhadované fraktální dimenze pro statisticky podobné jevy mohou mít mnoho praktických aplikací v různých oborech včetně astronomie,^[34] akustika,^[35] diagnostické zobrazování,^[36][37][38]ekologie,^[39]elektrochemické procesy,^[40]analýza obrazu,^{[41][42][43][44]}biologie a medicína,^{[45][46][47][48]}neurověda,^[13]síťová analýza,^[49]fyziologie,^[12]fyzika,^[50][51] a Riemann zeta nuly.^[52]

Alternativou k přímému měření je uvažování o matematickém modelu, který se podobá tvorbě fraktálního objektu v reálném světě. V tomto případě lze ověření provést také porovnáním jiných než fraktálních vlastností implikovaných modelem s naměřenými daty. v koloidní fyzika, vznikají systémy složené z částic s různými fraktálními rozměry. K popisu těchto systémů je vhodné hovořit o a rozdělení fraktálních dimenzí a nakonec jejich časová evoluce: proces, který je řízen složitou souhrou mezi nimi agregace a srůstání.^[53]

Fraktální dimenze sítí a prostorových sítí

Bylo zjištěno, že mnoho sítí v reálném světě je si podobných a lze je charakterizovat fraktální dimenzí.^[54][55]Síťové modely zabudované do vesmíru mohou mít navíc souvislou fraktální dimenzi, která závisí na distribuci dálkových spojů.^[56]

Viz také

• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze - článek seznamu Wikipedie
• Lakunarita - pojem v geometrii a fraktální analýze
• Fraktální derivát - Zobecnění derivace na fraktály

Poznámky

Reference

Další čtení

• Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). (Ne) chování trhů: fraktální pohled na riziko, zkázu a odměnu. Profilové knihy. ISBN  978-1-84765-155-6.

externí odkazy

• TruSoft's Benoit Softwarový produkt pro fraktální analýzu vypočítá fraktální rozměry a exponenty hurst.
• Java applet pro výpočet fraktálních rozměrů
• Úvod do fraktální analýzy
• Bowley, Roger (2009). „Fraktální dimenze“. Šedesát symbolů. Brady Haran pro University of Nottingham.
• "Fraktály si obvykle nejsou podobné “. 3Modrá1Hnědá.