Standardní mapa - Standard map

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Standardní mapa"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Přehrát média

Fázový prostor standardní mapy s variací parametru ${displaystyle K}$ od 0 do 5,19 (${displaystyle p_ {n}}$ v osách y, ${displaystyle heta _ {n}}$ v osách x). Všimněte si vzhledu „tečkované“ zóny, podpisu chaotické chování.

Dráhy standardní mapy pro K. = 0.6.

Dráhy standardní mapy pro K. = 0.971635.

Dráhy standardní mapy pro K. = 1.2.

Dráhy standardní mapy pro K. = 2,0. Velká zelená oblast je hlavní chaotickou oblastí mapy.

Jedna oběžná dráha standardní mapy pro K.= 2,0. Zvětšený detail se středem na ${displaystyle heta = 0,282}$, p = 0,666, z celkové šířky / výšky 0,02. Všimněte si extrémně rovnoměrného rozložení oběžné dráhy.

The standardní mapa (také známý jako Chirikov – Taylor mapa nebo jako Chirikov standardní mapa) je oblast zachování chaotická mapa ze čtverce se stranou ${displaystyle 2pi}$ na sebe.^[1] Je konstruován a Poincarého povrch sekce z kopl rotátor, a je definován:

${displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + Ksin (heta _ {n})}$

${displaystyle heta _ {n + 1} = heta _ {n} + p_ {n + 1}}$

kde ${displaystyle p_ {n}}$ a ${displaystyle heta _ {n}}$ jsou přijímány modulo ${displaystyle 2pi}$.

Vlastnosti chaosu standardní mapy byly stanoveny Boris Chirikov v roce 1969.

Fyzický model

Tato mapa popisuje Poincarého povrch sekce pohybu jednoduchého mechanického systému známého jako kopl rotátor. Kopnutý rotátor se skládá z tyče bez gravitační síly, která se může bez tření otáčet v rovině kolem osy umístěné v jednom z jeho hrotů a která je pravidelně kopána do druhého hrotu.

Standardní mapa je povrch řezu aplikovaný a stroboskopická projekce na proměnných kopaného rotátoru.^[1] Proměnné ${displaystyle heta _ {n}}$ a ${displaystyle p_ {n}}$ respektive určit úhlovou polohu páčky a její moment hybnosti po n-tý kop. Konstanta K. měří intenzitu kopů na kopnutém rotátoru.

The kopl rotátor přibližuje systémy studované v oborech mechanika částic fyzika akcelerátoru, fyzika plazmatu, a fyzika pevných látek. Například kruhový urychlovače částic urychlovat částice periodickými kopy, které cirkulují v trubici paprsku. Strukturu paprsku lze tedy aproximovat nakopnutým rotorem. Tato mapa je však zajímavá ze základního hlediska ve fyzice a matematice, protože se jedná o velmi jednoduchý model konzervativního systému, který zobrazuje Hamiltonovský chaos. Je proto užitečné studovat vývoj chaosu v tomto druhu systému.

Hlavní vlastnosti

Pro ${displaystyle K = 0}$ mapa je lineární a pouze periodická a kvaziperiodická oběžné dráhy jsou možné. Při zakreslení fázový prostor (θ–p rovina), periodické dráhy se objevují jako uzavřené křivky a kvaziperiodické dráhy jako náhrdelníky uzavřených křivek, jejichž středy leží v jiné větší uzavřené křivce. Který typ oběžné dráhy je pozorován, závisí na počátečních podmínkách mapy.

Nelinearita mapy se zvyšuje s K., a s ním i možnost pozorovat chaotická dynamika pro vhodné počáteční podmínky. To je znázorněno na obrázku, který zobrazuje soubor různých oběžných drah povolených na standardní mapu pro různé hodnoty ${displaystyle K> 0}$. Všechny zobrazené dráhy jsou periodické nebo kvaziperiodické, s výjimkou zelené, která je chaotická a vyvíjí se ve velké oblasti fázového prostoru jako zdánlivě náhodná sada bodů. Obzvláště pozoruhodná je extrémní uniformita distribuce v chaotické oblasti, i když to může být klamné: dokonce i v chaotických oblastech existuje nekonečné množství zmenšujících se malých ostrovů, které během iterace nejsou nikdy navštěvovány, jak je ukázáno zblízka.

Kruhová mapa

Standardní mapa souvisí s kruhová mapa, který má jedinou podobnou iterovanou rovnici:

${displaystyle heta _ {n + 1} = heta _ {n} + Omega -Ksin (heta _ {n})}$

ve srovnání s

${displaystyle heta _ {n + 1} = heta _ {n} + p_ {n} + Ksin (heta _ {n})}$

${displaystyle p_ {n + 1} = heta _ {n + 1} - heta _ {n}}$

pro standardní mapu byly rovnice uspořádány tak, aby zdůrazňovaly podobnost. V podstatě kruhová mapa nutí hybnost na konstantu.

Viz také

• Ushikiho věta

Poznámky

Reference

• Chirikov, B.V. Výzkum týkající se teorie nelineární rezonance a stochasticity. Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969) (v ruštině) [angl. Transl., CERN Trans. 71 - 40, Ženeva, říjen (1971), přeložil A. T. Sanders]. odkaz
• Chirikov, B.V. Univerzální nestabilita vícerozměrných oscilátorových systémů. Phys. Rep. V.52. str. 263 (1979) Elsvier, Amsterdam.
• Lichtenberg, A.J. & Lieberman, M.A. (1992). Pravidelná a chaotická dynamika. Springer, Berlín. ISBN  978-0-387-97745-4. Springerův odkaz
• Ott, Edward (2002). Chaos v dynamických systémech. Cambridge University Press New, York. ISBN  0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos a analýza časových řad. Oxford University Press. ISBN  0-19-850840-9.

externí odkazy

• Standardní mapa na MathWorld
• Chirikov standardní mapa na Scholarpedia
• Web věnovaný Borisovi Chirikovovi
• Interaktivní Java applet vizualizující oběžné dráhy standardní mapy, od Achima Luhna
• Aplikace pro Mac pro standardní mapu, James Meiss
• Interaktivní standardní mapa appletu Javavascript na základě zkušeností.math.cnrs.fr