N-vločka - N-flake

An n-vločka, polyflakenebo Sierpinski n-gon,^[1]:1 je fraktální konstruováno vycházející z n-gon. Tento n-gon je nahrazen vločkou menší n-gony, takže zmenšené polygony jsou umístěny na vrcholy, a někdy ve středu. Tento proces se rekurzivně opakuje a výsledkem je fraktál. Typicky existuje také omezení, že n-gony se musí dotýkat, ale nesmí se překrývat.

Ve dvou rozměrech

Nejběžnější odrůda n-vločka je dvourozměrná (pokud jde o její topologická dimenze ) a je tvořen polygony. Čtyři nejběžnější speciální případy jsou tvořeny trojúhelníky, čtverci, pětiúhelníky a šestiúhelníky, ale lze je rozšířit na libovolný mnohoúhelník.^[1]:2 Jeho hranicí je von Kochova křivka různých typů - v závislosti na n-gon - a nekonečně mnoho Kochových křivek je uvnitř. Fraktály zabírají nulovou plochu, přesto mají nekonečný obvod.

Vzorec měřítko r pro všechny n-vločka je:^[2]

${ displaystyle r = { frac {1} {2 left (1+ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { lfloor n / 4 rfloor} { cos { frac {2 pi k} {n}}} vpravo)}}}$

kde je kosinus vyhodnocen v radiánech a n je počet stran n-gon. The Hausdorffova dimenze a n-vločka je ${ displaystyle textstyle { frac { log m} { log r}}}$, kde m je počet polygonů v každé jednotlivé vločce a r je měřítkový faktor.

Sierpinského trojúhelník

The Sierpinského trojúhelník je n-vločka tvořená postupnými vločkami tří trojúhelníků. Každá vločka je vytvořena umístěním trojúhelníků se stupnicí o 1/2 do každého rohu trojúhelníku, který nahrazují. Své Hausdorffova dimenze je rovný ${ displaystyle textstyle { frac { log (3)} { log (2)}}}$ ≈ 1,585. The ${ displaystyle textstyle { frac { log (3)} { log (2)}}}$ se získá, protože každá iterace má 3 trojúhelníky, které jsou zmenšeny o 1/2.

• 

  Šestá iterace Sierpinského trojúhelníku.

• 

  Sierpinského trojúhelník vytvořený chaos hra.

Vicsekův fraktál

Pátá iterace Vicsekova fraktálu

Pokud by byl z dané definice sestrojen sierpinski 4-gon, činitel měřítka by byl 1/2 a fraktál by byl jednoduše čtverec. Zajímavější alternativou je Vicsekův fraktál, zřídka nazývaný quadraflake, je tvořen postupnými vločkami pěti čtverců se stupnicí o 1/3. Každá vločka je vytvořena buď umístěním zmenšeného čtverce do každého rohu a jednoho do středu nebo jednoho na každou stranu čtverce a jednoho do středu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (3)}}}$ ≈ 1,4650. The ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (3)}}}$ se získá, protože každá iterace má 5 čtverců, které jsou zmenšeny o 1/3. Hranice Vicsek Fractal je a Kvadratická Kochova křivka typu 1.

Pentaflake

Přiblížení na hranici pentaflaku

Pentaflake neboli sierpinski pětiúhelník je tvořen postupnými vločkami šesti pravidelných pětiúhelníků.^[3]Každá vločka je vytvořena umístěním pětiúhelníku do každého rohu a jednoho do středu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 1,8617, kde ${ displaystyle textstyle { varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}}$ (Zlatý řez ). The ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (1+ varphi)}}}$ je získáno, protože každá iterace má 6 pětiúhelníků, které jsou škálovány ${ displaystyle textstyle { frac {1} {1+ varphi}}}$. Hranicí pentaflaku je Kochova křivka 72 stupňů.

Existuje také variace pentaflaku, která nemá žádný centrální pětiúhelník. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 1,6723. Tato variace stále obsahuje nekonečně mnoho Kochových křivek, ale jsou o něco viditelnější.

Hexaflake

A hexaflake, je tvořen postupnými vločkami sedmi pravidelných šestiúhelníků.^[4] Každá vločka je vytvořena umístěním zmenšeného šestiúhelníku do každého rohu a jednoho do středu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ ≈ 1,7712. The ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ je získáno, protože každá iterace má 7 šestiúhelníků, které jsou zmenšeny o 1/3. Hranicí hexaflaku je standardní Kochova křivka 60 stupňů a nekonečně mnoho Koch sněhové vločky jsou obsaženy uvnitř. Také projekce cantorova kostka do letadla ortogonální k jeho hlavní úhlopříčce je hexaflake.

Stejně jako pentaflake existuje také variace hexaflaku, nazývaná Sierpinski šestiúhelník, která nemá žádný centrální šestiúhelník.^[5] Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (3)}}}$ ≈ 1,6309. Tato variace stále obsahuje nekonečně mnoho Kochových křivek 60 stupňů.

• 

  Hexaflake

• 

  Prvních šest iterací hexaflaku.

• 

  Čtvrtá iterace Sierpinského šestiúhelníku.

• 

  Ortogonální projekce cantorovy kostky ukazující hexaflake.

Polyflake

n- vločky vyšších polygonů také existují, i když jsou méně časté a obvykle nemají centrální mnohoúhelník. Některé příklady jsou uvedeny níže; 7-vločka přes 12-vločka. I když to nemusí být zřejmé, tyto vyšší poly vločky stále obsahují nekonečně mnoho Kochových křivek, ale úhel Kochových křivek se zmenšuje n zvyšuje. Jejich Hausdorffovy rozměry se počítají o něco obtížněji než nižší n-vločky, protože jejich měřítko je méně zřejmé. Hausdorffova dimenze je však vždy menší než dvě, ale ne méně než jedna. Zajímavý n-vločka je ∞vločka, protože jako hodnota n zvyšuje, an n-vločková Hausdorffova dimenze se blíží 1,^[1]:7

• 

  První čtyři iterace heptaflake nebo 7-flake.

• 

  První čtyři iterace octoflake nebo 8-flake.

• 

  První čtyři iterace enneaflake nebo 9-flake.

• 

  První čtyři iterace dekaflake nebo 10-flake.

• 

  První čtyři iterace hendecaflake nebo 11-flake.

• 

  První čtyři iterace dodecaflake nebo 12-flake.

Ve třech rozměrech

n-vločky lze zobecnit na vyšší dimenze, zejména na a topologická dimenze ze tří.^[6] Místo mnohoúhelníků pravidelné mnohostěn jsou iterativně nahrazeny. I když existuje nekonečné množství pravidelných mnohoúhelníků, existuje pouze pět pravidelných, konvexních mnohostěnů. Z tohoto důvodu se také nazývají trojrozměrné n-vločky platonické pevné fraktály.^[7] Ve třech rozměrech je objem fraktálů nulový.

Sierpinski čtyřstěn

A Sierpinski čtyřstěn je tvořen postupnými vločkami čtyř pravidelných čtyřstěnů. Každá vločka je vytvořena umístěním a čtyřstěn zmenšen o 1/2 v každém rohu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (4)} { log (2)}}}$, což je přesně rovno 2. Na každé ploše je Sierpinského trojúhelník a uvnitř je nekonečně mnoho.

• 

  Třetí iterace Sierpinského čtyřstěnu.

Hexahedron flake

Šestiúhelník nebo krychle, vločka definovaná stejným způsobem jako Sierpinského čtyřstěn, je jednoduše krychle^[8] a není zajímavý jako fraktál. Existují však dvě příjemné alternativy. Jedním z nich je Menger Sponge, kde je každá kostka nahrazena trojrozměrným prstencem kostek. Jeho dimenze Hausdorff je ${ displaystyle textstyle { frac { log (20)} { log (3)}}}$ ≈ 2.7268.

Další hexahedronová vločka může být vyrobena podobným způsobem jako Vicsekův fraktál prodloužena do tří rozměrů. Každá kostka je rozdělena na 27 menších kostek a středový kříž je zachován, což je opak oproti Menger houba kde je kříž odstraněn. Není to však doplněk Menger Sponge. Jeho dimenze Hausdorff je ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ ≈ 1,7712, protože křížek 7 kostek, z nichž každá je zmenšena o 1/3, nahradí každou kostku.

• 

  Čtvrtá iterace Menger Sponge.

• 

  Třetí iterace 3D Vicsekův fraktál.

Oktaedronová vločka

Oktaedronová vločka neboli sierpinski oktaedron je tvořena po sobě jdoucími vločkami šesti pravidelných oktaedrů. Každá vločka je vytvořena umístěním osmistěn zmenšen o 1/2 v každém rohu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (2)}}}$ ≈ 2,5849. Na každé tváři je Sierpinského trojúhelník a uvnitř je nekonečně mnoho.

• 

  Třetí iterace oktaedronové vločky.

Dodecahedron flake

Dodecahedron flake, nebo sierpinski dodecahedron, je tvořen po sobě jdoucími vločkami dvaceti pravidelných dodecahedra. Každá vločka je vytvořena umístěním a dvanáctistěn zmenšen ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2+ varphi}}}$ v každém rohu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (20)} { log (2+ varphi)}}}$ ≈ 2.3296.

• 

  Druhá iterace fraktální vločky dodekaedronu.

Ikosahedronová vločka

Ikosahedronová vločka nebo sierpinski icosahedron je tvořena po sobě jdoucími vločkami dvanácti pravidelných dvacetistěn. Každá vločka je vytvořena umístěním dvacetistěnu zmenšen ${ displaystyle textstyle { frac {1} {1+ varphi}}}$ v každém rohu. Jeho dimenze Hausdorff se rovná ${ displaystyle textstyle { frac { log (12)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 2.5819.

• 

  Třetí iterace dvacetistěnové fraktální vločky.

Viz také

• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze

Reference

externí odkazy

• Quadraflakes, Pentaflakes, Hexaflakes a další - obsahuje kód Mathematica pro generování těchto fraktálů