Menger houba - Menger sponge

Ilustrace M4, houba po čtyřech iteracích procesu výstavby

v matematika, Menger houba (také známý jako Mengerova kostka, Mengerova univerzální křivka, Sierpinského kostkanebo Sierpinski houba)[1][2][3] je fraktální křivka. Jedná se o trojrozměrné zobecnění jednorozměrného Cantor set a dvourozměrný Sierpinski koberec. Poprvé to popsal Karl Menger v roce 1926, ve studiích koncepce topologická dimenze.[4][5]

Konstrukce

Obrázek 3: Sochařská reprezentace iterací 0 (dole) až 3 (nahoře).

Konstrukci houby Menger lze popsat následovně:

  1. Začněte kostkou.
  2. Rozdělte každý obličej krychle na devět čtverců Rubikova kostka. Tím se kostka rozdělí na 27 menších kostek.
  3. Odstraňte menší krychli uprostřed každé plochy a odstraňte menší krychli ve středu větší krychle a ponechejte 20 menších kostek. Toto je houba Menger úrovně 1 (připomínající a neplatná kostka ).
  4. Opakujte kroky dva a tři pro každou ze zbývajících menších kostek a pokračujte v iteraci ad infinitum.

Druhá iterace poskytuje houbičku úrovně 2, třetí iterace houbičku úrovně 3 atd. Samotná houba Menger je limitem tohoto procesu po nekonečném počtu iterací.

Ilustrace iterativní konstrukce houby Menger až M3, třetí iterace
Animace houby Menger pomocí (4) kroků rekurze

Vlastnosti

Šestihranný průřez Mengerovy houby úrovně 4. Vidět série řezů kolmo na úhlopříčku prostoru.

The nTřetí stupeň houby Menger, Mn, se skládá z 20n menší kostky, každá s délkou strany (1/3)n. Celkový objem Mn je tedy (20/27)n. Celková plocha Mn je dáno výrazem 2 (20/9)n + 4(8/9)n.[6][7] Proto se objem konstrukce blíží nule, zatímco její povrchová plocha se zvyšuje bez omezení. Jakýkoli zvolený povrch v konstrukci bude při pokračování konstrukce důkladně propíchnut, takže limitem není ani pevná látka, ani povrch; má topologickou dimenzi 1 a je proto identifikován jako křivka.

Každá plocha stavby se stává a Sierpinski koberec, a průsečík houby s jakoukoli úhlopříčkou krychle nebo jakoukoli středovou čárou obličejů je a Cantor set. Průřez houbou skrz její těžiště a kolmo na a úhlopříčka prostoru je obyčejný šestiúhelník propíchnutý hexagramy uspořádány do šestinásobné symetrie.[8] Počet těchto hexagramů v sestupné velikosti je dán vztahem , s [9].

Houba Hausdorffova dimenze je protokol 20/protokol 3 ≅ 2,727. The Lebesgue pokrývající rozměr houby Menger je jedna, stejná jako každá jiná křivka. Menger v konstrukci z roku 1926 ukázal, že houba je a univerzální křivka, v tom každý křivka [ru ] je homeomorfní do podskupiny houby Menger, kde a křivka znamená jakýkoli kompaktní metrický prostor Lebesgue pokrývající dimenzi jedna; to zahrnuje stromy a grafy libovolně počitatelný počet hran, vrcholů a uzavřených smyček, spojených libovolným způsobem. Podobným způsobem Sierpinski koberec je univerzální křivka pro všechny křivky, které lze nakreslit v dvourozměrné rovině. Mengerova houba konstruovaná ve třech rozměrech rozšiřuje tuto myšlenku na grafy, které nejsou rovinný, a mohou být vloženy do libovolného počtu rozměrů.

Houba Menger je a uzavřená sada; protože je také ohraničený, Heine – Borelův teorém znamená, že je kompaktní. Má to Lebesgueovo opatření 0. Protože obsahuje spojité cesty, je to nespočetná sada.

Pokusy také ukázaly, že u stejného materiálu mohly kostky se strukturou houby Menger rozptýlit šoky pětkrát lépe než kostky bez pórů.[10]

Kostky s Mengerovými fraktálními strukturami po zatížení rázovou vlnou. Barva označuje nárůst teploty spojený s plastickou deformací.[10]

Formální definice

Formálně lze houbu Menger definovat takto:

kde M0 je jednotková kostka a

MegaMenger

Model a tetrix prohlíženo středem Cambridge Level-3 MegaMenger v roce 2015 Cambridge Science Festival
Jeden z MegaMengers, u University of Bath

MegaMenger byl projekt zaměřený na vytvoření největšího fraktálového modelu, jehož průkopníkem byl Matt Parker z Queen Mary University of London a Laura Taalman z Univerzita Jamese Madisona. Každá malá kostka je vyrobena ze šesti vzájemně propojených skládaných vizitek, což dává celkem 960 000 na houbu úrovně čtyři. Vnější povrchy jsou poté pokryty papírovými nebo lepenkovými panely potištěnými designem koberce Sierpinski, aby byly estetičtější.[11] V roce 2014 bylo zkonstruováno dvacet Mengerových hub třetí úrovně, které by dohromady vytvořily distribuovanou houbu Menger úrovně čtyři.[12]

Podobné fraktály

Jeruzalémská kostka

Třetí iterace Jeruzalémská kostka

A Jeruzalémská kostka je fraktální objekt popsaný Ericem Bairdem v roce 2011. Je vytvořen rekurzivním vrtáním Řecký kříž -tvory ve tvaru kostky.[13][14] Jméno pochází z tváře krychle připomínající a Jeruzalémský kříž vzor.

Konstrukci jeruzalémské kostky lze popsat takto:

  1. Začněte s kostkou.
  2. Prořízněte kříž skrz každou stranu krychle a ponechejte osm kostek (hodnosti +1) v rozích původní krychle, stejně jako dvanáct menších kostek (hodnosti +2) umístěných na okrajích původní kostky mezi kostkami hodnocení +1.
  3. Opakujte postup na kostkách 1. a 2. úrovně.
3D vytištěný model Jeruzalémské kostky

Každá iterace přidává osm kostek první pozice a dvanáct kostek druhé pozice, což je dvacetinásobný nárůst. (Podobně jako Mengerova houba, ale se dvěma kostkami různé velikosti.) Nekonečné opakované opakování má za následek vznik Jeruzalémské kostky.

Ostatní

Sierpinski-Menger vločka. Osm rohových kostek a jedna centrální kostka jsou pokaždé udržovány v dolních a dolních krocích rekurze. Tento zvláštní trojrozměrný fraktál má Hausdorffovu dimenzi nativně dvourozměrného objektu, jako je rovina, tj. protokol 9/protokol 3=2
  • A Mosely sněhová vločka je fraktál založený na krychli s rekurzivně odstraněnými rohy.[15]
  • A tetrix je čtyřstěnový fraktál vyrobený ze čtyř menších kopií, uspořádaných do čtyřstěnu.[16]

Viz také

Reference

  1. ^ Beck, Christian; Schögl, Friedrich (1995). Termodynamika chaotických systémů: Úvod. Cambridge University Press. str. 97. ISBN  9780521484510.
  2. ^ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fraktály ve vědě. Springer. str. 7. ISBN  9783642779534.
  3. ^ Menger, Karl (2013). Vzpomínky na vídeňský kruh a matematické kolokvium. Springer Science & Business Media. str. 11. ISBN  9789401111027.
  4. ^ Menger, Karl (1928), Dimenzeheorie, B.G Teubner Publishers
  5. ^ Menger, Karl (1926), „Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.“, Komunikace s Amsterdamskou akademií věd. Dotisk anglického překladu Edgar, Gerald A., vyd. (2004), Klasika na fraktálech„Studies in Nonlinearity, Westview Press. Pokročilý knižní program, Boulder, CO, ISBN  978-0-8133-4153-8, PAN  2049443
  6. ^ Demonstrační projekt Wolfram, Objem a povrch Mengerovy houby
  7. ^ University of British Columbia Science and Mathematics Education Research Group, Mathematics Geometry: Menger Sponge
  8. ^ Chang, Kenneth (27. června 2011). „Tajemství Mengerovy houby“. Citováno 8. května 2017 - přes NYTimes.com.
  9. ^ „A299916 - OEIS“. oeis.org. Citováno 2018-08-02.
  10. ^ A b Dattelbaum, Dana M .; Ionita, Axinte; Patterson, Brian M .; Branch, Brittany A .; Kuettner, Lindsey (01.07.2020). „Ztráta rázové vlny porézními strukturami ovládanými rozhraním“. Zálohy AIP. 10 (7): 075016. doi:10.1063/5.0015179.
  11. ^ Tim Chartier. „Milion vizitek představuje matematickou výzvu“. Citováno 2015-04-07.
  12. ^ „MegaMenger“. Citováno 2015-02-15.
  13. ^ Robert Dickau (2014-08-31). „Cross Menger (Jerusalem) Cube Fractal“. Robert Dickau. Citováno 2017-05-08.
  14. ^ Eric Baird (2011-08-18). „Jeruzalémská kostka“. Alt. Fraktály. Citováno 2013-03-13., publikoval v Časopis Tangente 150, „l'art fractal“ (2013), s. 45.
  15. ^ Wade, Lizzie. „Skládací fraktální umění ze 49 000 vizitek“. Citováno 8. května 2017.
  16. ^ W., Weisstein, Eric. "Tetrix". mathworld.wolfram.com. Citováno 8. května 2017.

Další čtení

externí odkazy