Komplexní kvadratický polynom - Complex quadratic polynomial - Wikipedia

A komplexní kvadratický polynom je kvadratický polynom jehož koeficienty a variabilní jsou komplexní čísla.

Vlastnosti

Kvadratické polynomy mají následující vlastnosti bez ohledu na formu:

• to je nekritický polynom, tj. má jednu kritický bod,
• To může být postkriticky konečné, tj. oběžná dráha kritického bodu může být konečná, protože kritický bod je periodický nebo preperiodický.^[1]
• Je to unimodální funkce,
• Je to racionální funkce,
• Je to celá funkce.

formuláře

Když má kvadratický polynom pouze jednu proměnnou (univariate ), lze rozlišit jeho čtyři hlavní formy:

• Obecná forma: ${ displaystyle f (x) = a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} qquad ,}$ kde ${ displaystyle qquad a_ {2} neq 0}$
• Rozložená forma použitá pro logistická mapa ${ displaystyle f_ {r} (x) = rx (1-x) ,}$
• ${ displaystyle f _ { theta} (x) = x ^ {2} + lambda x ,}$ který má lhostejnost pevný bod s násobitel ${ displaystyle lambda = e ^ {2 pi theta i} ,}$ na původ^[2]
• Monická a středová forma, ${ displaystyle f_ {c} (x) = x ^ {2} + c ,}$

The monic a středová forma byl rozsáhle studován a má následující vlastnosti:

• Je to nejjednodušší forma a nelineární funkce s jedním součinitel (parametr ),
• Je to vystředěný polynom (součet jeho kritických bodů je nula).^[3]

Forma lambda ${ displaystyle f _ { lambda} (z) = z ^ {2} + lambda z ,}$ je:

• nejjednodušší netriviální narušení neporušeného systému ${ displaystyle z mapsto lambda z}$
• „první rodina dynamických systémů, ve kterých jsou známy výslovně nezbytné a dostatečné podmínky, když je problém malého dělitele stabilní“^[4]

Časování

Mezi formami

Od té doby ${ displaystyle f_ {c} (x) ,}$ je afinní sdružené k obecné formě kvadratického polynomu se často používá ke studiu komplexní dynamika a vytvářet obrázky Mandelbrot, Julie a Fatou sety.

Když člověk chce změnit z ${ displaystyle theta ,}$ na ${ displaystyle c ,}$:^[5]

${ displaystyle c = c ( theta) = { frac {e ^ {2 pi theta i}} {2}} vlevo (1 - { frac {e ^ {2 pi theta i}} {2}} vpravo).}$

Když člověk chce změnit z ${ displaystyle r ,}$ na ${ displaystyle c, ,}$ transformace parametrů je^[6]

${ displaystyle c = c (r) , = , { frac {1- (r-1) ^ {2}} {4}} = - { frac {r} {2}} vlevo ({ frac {r-2} {2}} vpravo)}$

a transformace mezi proměnnými v ${ displaystyle z_ {t + 1} = z_ {t} ^ {2} + c}$ a ${ displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t})}$ je

${ displaystyle z = r left ({ frac {1} {2}} - x right).}$

Se zdvojnásobením mapy

Mezi nimi je polokonjugát dyadická transformace (zdvojnásobující mapa) a kvadratický polynomický případ C = –2.

Zápis

Opakování

Tady ${ displaystyle f ^ {n} ,}$ označuje n-th opakování funkce ${ displaystyle f ,}$ (a ne umocňování funkce):

${ displaystyle f_ {c} ^ {n} (z) = f_ {c} ^ {1} (f_ {c} ^ {n-1} (z)) ,}$

tak

${ displaystyle z_ {n} = f_ {c} ^ {n} (z_ {0}). ,}$

Kvůli možné záměně s umocněním někteří autoři píší ${ displaystyle f ^ { circ n} ,}$ pro niterace funkce ${ displaystyle f. ,}$

Parametr

Monická a středová forma ${ displaystyle f_ {c} (x) = x ^ {2} + c ,}$ lze označit:

• parametr ${ displaystyle c}$
• vnější úhel ${ displaystyle theta}$ paprsku, který přistane:
  • v c v M na rovině parametrů
  • v z = cv J (f) na dynamické rovině

tak :

${ displaystyle f_ {c} = f _ { theta} ,}$

${ displaystyle c = c ({ theta})}$

Mapa

Monická a středová forma, někdy nazývaná Douady-Hubbardova rodina kvadratických polynomů,^[7] se obvykle používá s proměnná ${ displaystyle z ,}$ a parametr ${ displaystyle c ,}$:

${ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c. ,}$

Pokud se používá jako evoluční funkce z diskrétní nelineární dynamický systém

${ displaystyle z_ {n + 1} = f_ {c} (z_ {n}) ,}$

jmenuje se kvadratický mapa:^[8]

${ displaystyle f_ {c}: z až z ^ {2} + c. ,}$

The Mandelbrotova sada je sada hodnot parametru C pro které je počáteční podmínka z₀ = 0 nezpůsobí odklonění iterací do nekonečna.

Kritické položky

Kritický bod

A kritický bod z ${ displaystyle f_ {c} ,}$ je bod ${ displaystyle z_ {cr} ,}$ v dynamické rovině tak, že derivát zmizí:

${ displaystyle f_ {c} '(z_ {cr}) = 0. ,}$

Od té doby

${ displaystyle f_ {c} '(z) = { frac {d} {dz}} f_ {c} (z) = 2z}$

naznačuje

${ displaystyle z_ {cr} = 0 ,}$

vidíme, že jediný (konečný) kritický bod ${ displaystyle f_ {c} ,}$ jde o to ${ displaystyle z_ {cr} = 0 ,}$.

${ displaystyle z_ {0}}$ je počátečním bodem pro Mandelbrotova sada opakování.^[9]

Kritická hodnota

A kritická hodnota ${ displaystyle z_ {cv} }$ z ${ displaystyle f_ {c} ,}$ je obraz kritického bodu:

${ displaystyle z_ {cv} = f_ {c} (z_ {cr}) ,}$

Od té doby

${ displaystyle z_ {cr} = 0 ,}$

my máme

${ displaystyle z_ {cv} = c. ,}$

Takže parametr ${ displaystyle c ,}$ je kritická hodnota ${ displaystyle f_ {c} (z). ,}$

Kritická oběžná dráha

Dynamická rovina s kritickou oběžnou dráhou spadající do 3periodového cyklu

Dynamické letadlo s Julií a kritickou oběžnou dráhou.

Dynamická rovina: změny kritické dráhy kolem vnitřního paprsku hlavní kardioidy pro úhel 1/6

Kritická oběžná dráha má tendenci slabě přitahovat pevný bod s abs (multiplikátor) = 0,99993612384259

The oběžná dráha vpřed kritického bodu se nazývá a kritická oběžná dráha. Kritické dráhy jsou velmi důležité, protože každá přitahuje periodická oběžná dráha přitahuje kritický bod, takže studium kritických drah nám pomáhá porozumět dynamice v Fatou set.^[10][11][12]

${ displaystyle z_ {0} = z_ {cr} = 0 ,}$

${ displaystyle z_ {1} = f_ {c} (z_ {0}) = c ,}$

${ displaystyle z_ {2} = f_ {c} (z_ {1}) = c ^ {2} + c ,}$

${ displaystyle z_ {3} = f_ {c} (z_ {2}) = (c ^ {2} + c) ^ {2} + c ,}$

${ displaystyle ... ,}$

Tato oběžná dráha spadá do přitahuje periodický cyklus pokud existuje.

Kritický sektor

The kritický sektor je sektor dynamické roviny obsahující kritický bod.

Kritický polynom

${ displaystyle P_ {n} (c) = f_ {c} ^ {n} (z_ {cr}) = f_ {c} ^ {n} (0) ,}$

tak

${ displaystyle P_ {0} (c) = 0 ,}$

${ displaystyle P_ {1} (c) = c ,}$

${ displaystyle P_ {2} (c) = c ^ {2} + c ,}$

${ displaystyle P_ {3} (c) = (c ^ {2} + c) ^ {2} + c ,}$

Tyto polynomy se používají pro:

• najít centra těchto Mandelbrotových množin komponent období n. Centra jsou kořeny n-tých kritických polynomů

${ displaystyle center = {c: P_ {n} (c) = 0 } ,}$

• nalezení kořenů Mandelbrotovy množiny složek období n (místní minimum z ${ displaystyle P_ {n} (c) ,}$)
• Misiurewicz body

${ displaystyle M_ {n, k} = {c: P_ {k} (c) = P_ {k + n} (c) } ,}$

Kritické křivky

Kritické křivky

Jsou nazývány diagramy kritických polynomů kritické křivky.^[13]

Tyto křivky vytvářejí kostru (tmavé čáry) a bifurkační diagram.^[14][15]

Prostory, letadla

4D prostor

Jeden může použít Julia-Mandelbrot 4-dimenzionální (4D) prostor pro globální analýzu tohoto dynamického systému.^[16]

rovina w a rovina c

V tomto prostoru jsou 2 základní typy 2D rovin:

• dynamická (dynamická) rovina, ${ displaystyle f_ {c} ,}$- letadlo nebo c-letadlo
• rovina parametru nebo rovina z

K analýze těchto dynamických systémů se používá také další rovina w-letadlo:

• konjugační rovina^[17]
• model letadla^[18]

2D rovina parametrů

Rovina parametrů gama pro komplexní logistickou mapu ${ displaystyle z_ {n + 1} = gama z_ {n} vlevo (1-z_ {n} vpravo),}$

Mapa multiplikátoru

The fázový prostor kvadratické mapy se nazývá jeho rovina parametru. Tady:

${ displaystyle z_ {0} = z_ {cr} ,}$ je konstantní a ${ displaystyle c ,}$ je variabilní.

Neexistuje zde žádná dynamika. Je to jen sada hodnot parametrů. Na rovině parametrů nejsou žádné oběžné dráhy.

Rovina parametrů se skládá z:

• The Mandelbrotova sada
  • The bifurkační lokus = hranice Mandelbrotova sada s
    • kořenové body
  • Ohraničené hyperbolické komponenty sady Mandelbrot = vnitřek sady Mandelbrot^[19] s vnitřními paprsky
• exteriér Mandelbrotovy sady s
  • vnější paprsky
  • ekvipotenciální vedení

Existuje mnoho různých podtypů roviny parametrů.^[20][21]

Viz také:

• Boettcher mapa který mapuje exteriér sady mandelbrot na exteriér disku jednotky
• multiplikátorová mapa, která mapuje vnitřek hyperbolické složky sady Mandelbrot nastavený na vnitřek disku jednotky

2D dynamická rovina

 „Polynomiální Pc mapuje každý dynamický paprsek na jiný paprsek zdvojnásobující úhel (který měříme v celých otáčkách, tj. 0 = 1 = 2π rad = 360◦) a dynamické paprsky jakéhokoli polynomu„ vypadají jako přímé paprsky “blízko nekonečna. To nám umožňuje kombinatoricky studovat sady Mandelbrot a Julia, přičemž dynamickou rovinu nahradíme jednotkovou kružnicí, paprsky úhly a kvadratický polynom zdvojnásobením jedné modulo mapy. “ Virpi K a u k o[22]

Na dynamické rovině lze najít:

• The Julia set
• The Naplněná sada Julia
• The Fatou set
• Oběžné dráhy

Dynamická rovina se skládá z:

• Fatou set
• Julia set

Tady, ${ displaystyle c ,}$ je konstantní a ${ displaystyle z ,}$ je proměnná.

S dvourozměrnou dynamickou rovinou lze zacházet jako s Poincaré průřez trojrozměrného prostoru spojitého dynamického systému.^[23][24]

Dynamické roviny z lze rozdělit do dvou skupin:

• ${ displaystyle f_ {0}}$ letadlo pro ${ displaystyle c = 0}$ (viz komplexní kvadratická mapa )
• ${ displaystyle f_ {c}}$ letadla (všechna ostatní letadla pro ${ displaystyle c neq 0}$ )

Riemannova koule

Prodloužená komplexní rovina plus a bod v nekonečnu

• Riemannova koule

Deriváty

První derivace s ohledem na C

Na rovině parametrů:

• ${ displaystyle c}$ je proměnná
• ${ displaystyle z_ {0} = 0}$ je konstantní

První derivát z ${ displaystyle f_ {c} ^ {n} (z_ {0})}$ s ohledem na C je

${ displaystyle z_ {n} '= { frac {d} {dc}} f_ {c} ^ {n} (z_ {0}).}$

Tento derivát najdete na opakování začínání s

${ displaystyle z_ {0} '= { frac {d} {dc}} f_ {c} ^ {0} (z_ {0}) = 1}$

a poté je vyměňujte v každém následném kroku

${ displaystyle z_ {n + 1} '= { frac {d} {dc}} f_ {c} ^ {n + 1} (z_ {0}) = 2 cdot {} f_ {c} ^ {n } (z) cdot { frac {d} {dc}} f_ {c} ^ {n} (z_ {0}) + 1 = 2 cdot z_ {n} cdot z_ {n} '+ 1. }$

To lze snadno ověřit pomocí řetězové pravidlo pro derivát.

Tento derivát se používá v metoda odhadu vzdálenosti pro kreslení sady Mandelbrot.

První derivace s ohledem na z

Na dynamické rovině:

• ${ displaystyle z}$ je proměnná;
• ${ displaystyle c}$ je konstanta.

V a pevný bod ${ displaystyle z_ {0} ,,}$

${ displaystyle f_ {c} '(z_ {0}) = { frac {d} {dz}} f_ {c} (z_ {0}) = 2z_ {0}.}$

V a periodický bod z₀ období str první derivace funkce

${ displaystyle (f_ {c} ^ {p}) '(z_ {0}) = { frac {d} {dz}} f_ {c} ^ {p} (z_ {0}) = prod _ { i = 0} ^ {p-1} f_ {c} '(z_ {i}) = 2 ^ {p} prod _ {i = 0} ^ {p-1} z_ {i} = lambda}$

je často reprezentován ${ displaystyle lambda}$ a označován jako multiplikátor nebo Lyapunovovo charakteristické číslo. Jeho logaritmus je znám jako Lyapunovův exponent. Používá se ke kontrole stabilita z periodické (také pevné) body.

V a neperiodický bod, derivát, označený ${ displaystyle z '_ {n}, ,}$ najdete na opakování začínání s

${ displaystyle z '_ {0} = 1, ,}$

a poté pomocí

${ displaystyle z '_ {n} = 2 * z_ {n-1} * z' _ {n-1}. ,}$

Tato derivace se používá pro výpočet vnější vzdálenosti od sady Julia.

Schwarzianův derivát

The Schwarzianův derivát (Zkráceně SD) f je:^[25]

${ displaystyle (Sf) (z) = { frac {f '' '(z)} {f' (z)}} - { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {f ' '(z)} {f' (z)}} vpravo) ^ {2}}$.

Viz také

• Misiurewicz bod
• Periodické body komplexních kvadratických zobrazení
• Mandelbrotova sada
• Julia set
• Teorie hnětení Milnor – Thurston
• Stanová mapa
• Logistická mapa

Reference

externí odkazy

• Monica Nevins a Thomas D. Rogers, “Kvadratické mapy jako dynamické systémy na p-adických číslech "
• Wolf Jung: Homeomorfismy na hranách sady Mandelbrot. Ph.D. práce z roku 2002