Dvojité kyvadlo - Double pendulum

Dvojité kyvadlo se skládá ze dvou kyvadla připojený konec na konec.

v fyzika a matematika, v oblasti dynamické systémy, a dvojité kyvadlo je kyvadlo s dalším kyvadlem připojeným na jeho konci a je jednoduché fyzický systém který vystavuje bohaté dynamické chování s silná citlivost na počáteční podmínky.^[1] Pohyb dvojitého kyvadla je řízen sadou spřažených obyčejné diferenciální rovnice a je chaotický.

Analýza a interpretace

Lze uvažovat o několika variantách dvojitého kyvadla; obě končetiny mohou mít stejnou nebo nerovnou délku a hmotnost, mohou být jednoduchá kyvadla nebo složená kyvadla (nazývané také komplexní kyvadla) a pohyb může být trojrozměrný nebo omezený na svislou rovinu. V následující analýze jsou končetiny považovány za identická složená kyvadla délky $l$ a mše $m$ a pohyb je omezen na dva rozměry.

Dvojité složené kyvadlo

Pohyb dvojitého složeného kyvadla (od numerická integrace pohybových rovnic)

Trajektorie dvojitého kyvadla

Ve složeném kyvadle je hmota rozložena po celé délce. Pokud je hmotnost rovnoměrně rozložena, pak těžiště každé končetiny je ve svém středu a končetina má a moment setrvačnosti z $Já = 1 / 12 ml 2$ o tom bodě.

Je vhodné použít úhly mezi každou končetinou a svislicí jako zobecněné souřadnice definování konfigurace systému. Tyto úhly jsou označeny $θ 1$ a $θ 2$ . Polohu těžiště každé tyče lze zapsat pomocí těchto dvou souřadnic. Pokud je původ Kartézský souřadnicový systém je považováno za bod zavěšení prvního kyvadla, pak těžiště tohoto kyvadla je v:

{ displaystyle { begin {aligned} x_ {1} & = { frac {l} {2}} sin theta _ {1} y_ {1} & = - { frac {l} {2 }} cos theta _ {1} end {zarovnáno}}}

a těžiště druhého kyvadla je v

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x_ {2} & = l left ( sin theta _ {1} + { tfrac {1} {2}} sin theta _ {2} right) y_ {2} & = - l left ( cos theta _ {1} + { tfrac {1} {2}} cos theta _ {2} right) end {aligned}}}

To je dostatek informací k napsání lagrangeštiny.

Lagrangian

The Lagrangian je

{ displaystyle { begin {aligned} L & = { text {kinetická energie}} - { text {potenciální energie}} & = { tfrac {1} {2}} m vlevo (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} I left ({{ dot { theta}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} right) -mg left (y_ {1} + y_ {2} right) & = { tfrac {1} {2 }} m left ({{ dot {x}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot {y}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot {x}} _ {2}} ^ {2} + {{ dot {y}} _ {2}} ^ {2} right) + { tfrac {1} {2}} I left ({{ dot { theta}} _ {1}} ^ {2} + {{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} right) -mg left (y_ {1} + y_ {2} vpravo) end {zarovnáno}}}

První termín je lineární Kinetická energie z těžiště orgánů a druhým termínem je rotační kinetická energie kolem těžiště každé tyče. Poslední termín je potenciální energie těl v jednotném gravitačním poli. The tečkový zápis označuje časová derivace dané proměnné.

Dosazením výše uvedených souřadnic a přeskupením rovnice získáte

{ displaystyle L = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left ({{ dot { theta}} _ {2}} ^ {2} +4 {{ dot { theta }} _ {1}} ^ {2} +3 {{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right) + { tfrac {1} {2}} mgl left (3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2} right).}

Existuje pouze jedno zachované množství (energie) a žádná zachovaná hybnost. Dva zobecněné momenty mohou být psány jako

{ displaystyle { begin {aligned} p _ { theta _ {1}} & = { frac { částečné L} { částečné {{ dot { theta}} _ {1}}}} = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left (8 {{ dot { theta}} _ {1}} + 3 {{ dot { theta}} _ {2}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right) p _ { theta _ {2}} & = { frac { částečné L} { částečné {{ dot { theta}} _ {2}}}} = { tfrac {1} {6}} ml ^ {2} left (2 {{ dot { theta}} _ {2}} + 3 {{ dot { theta }} _ {1}} cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) right). End {zarovnáno}}}

Tyto výrazy mohou být obráceně dostat

{ displaystyle { begin {aligned} {{ dot { theta}} _ {1}} & = { frac {6} {ml ^ {2}}} { frac {2p _ { theta _ {1 }} - 3 cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) p _ { theta _ {2}}} {16-9 cos ^ {2} ( theta _ {1} - theta _ {2})}} {{ dot { theta}} _ {2}} & = { frac {6} {ml ^ {2}}} { frac {8p _ { theta _ { 2}} - 3 cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) p _ { theta _ {1}}} {16-9 cos ^ {2} ( theta _ {1} - theta _ {2})}}. end {zarovnáno}}}

Zbývající pohybové rovnice jsou zapsány jako

{ displaystyle { begin {aligned} {{ dot {p}} _ { theta _ {1}}} & = { frac { částečné L} { částečné theta _ {1}}} = - { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} left ({{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} sin ( theta _ {1} - theta _ {2}) + 3 { frac {g} {l}} sin theta _ {1} right) {{ dot {p}} _ { theta _ {2}}} & = { frac { částečné L} { částečné theta _ {2}}} = - { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} vlevo (- {{ dot { theta}} _ {1}} {{ dot { theta}} _ {2}} sin ( theta _ {1} - theta _ {2}) + { frac {g} {l}} sin theta _ {2} right). end {zarovnáno}}}

Tyto poslední čtyři rovnice jsou explicitní vzorce pro časový vývoj systému vzhledem k jeho aktuálnímu stavu. To není možné^{[Citace je zapotřebí ]} jít dále a analyticky integrovat tyto rovnice a získat vzorce pro $θ 1$ a $θ 2$ jako funkce času. Tuto integraci je však možné provést numericky pomocí Runge Kutta metoda nebo podobné techniky.

Chaotický pohyb

Graf času převrácení kyvadla v závislosti na počátečních podmínkách

Dlouhá expozice dvojitého kyvadla vykazující chaotický pohyb (sledována pomocí VEDENÝ )

Dvojité kyvadlo prochází chaotický pohyb, a ukazuje citlivou závislost na počáteční podmínky. Obrázek vpravo ukazuje množství uplynulého času před převrácením kyvadla, jako funkce výchozí polohy, když se uvolní v klidu. Zde je počáteční hodnota $θ 1$ se pohybuje podél $X$ -směr od −3 do 3. Počáteční hodnota $θ 2$ se pohybuje podél $y$ -direction, od −3 do 3. Barva každého pixelu udává, zda se jedno kyvadlo otočí uvnitř:

$10 \sqrt l ⁄ G$ (zelená)
$100 \sqrt l ⁄ G$ (Červené)
$1000 \sqrt l ⁄ G$ (fialová) nebo
$10000 \sqrt l ⁄ G$ (modrý).

Tři dvojitá kyvadla s téměř identickými počátečními podmínkami se časem rozcházejí, což ukazuje chaotickou povahu systému.

Počáteční podmínky, které nevedou k převrácení $10000 \sqrt l ⁄ G$ jsou vyneseny bíle.

Hranice střední bílé oblasti je částečně definována úsporou energie s následující křivkou:

{ displaystyle 3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2} = 2.}

V oblasti definované touto křivkou, pokud

{ displaystyle 3 cos theta _ {1} + cos theta _ {2}> 2,}

pak je energeticky nemožné, aby se jedno kyvadlo otočilo. Mimo tuto oblast se kyvadlo může otočit, ale je složitou otázkou určit, kdy se otočí. Podobné chování lze pozorovat u dvojitého kyvadla složeného ze dvou bodové hmoty spíše než dva pruty s rozloženou hmotou.^[2]

Nedostatek přirozené budicí frekvence vedl k použití systémy dvojitého kyvadla v provedení seismické odolnosti v budovách, kde samotná budova je primárním obráceným kyvadlem, a sekundární hmota je připojena k dokončení dvojitého kyvadla.

Viz také

Dvojité obrácené kyvadlo
Kyvadlo (matematika)
Učebnice fyziky z poloviny 20. století používají termín „dvojité kyvadlo“ ve smyslu jediného bobu zavěšeného na provázku, který je zase zavěšen na provázku ve tvaru písmene V. Tento typ kyvadlo, který vyrábí Lissajousovy křivky, se nyní označuje jako a Blackburnovo kyvadlo.

Poznámky

^ Levien, R. B .; Tan, S. M. (1993). „Double Kyvadlo: Experiment v chaosu“. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.
^ Alex Malý, Ukázkový závěrečný projekt: Jeden podpis chaosu v dvojitém kyvadle, (2013). Zpráva vytvořená jako příklad pro studenty. Zahrnuje odvození pohybových rovnic a srovnání dvojitého kyvadla se 2 bodovými hmotami a dvojitého kyvadla se 2 tyčemi.

Reference

Meirovitch, Leonard (1986). Prvky vibrační analýzy (2. vyd.). McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 0-07-041342-8.
Eric W. Weisstein, Dvojité kyvadlo (2005), ScienceWorld (obsahuje podrobnosti o komplikovaných rovnicích) a "Dvojité kyvadlo „Rob Morris, Demonstrační projekt Wolfram, 2007 (animace těchto rovnic).
Peter Lynch, Dvojité kyvadlo, (2001). (Simulace appletu Java.)
Northwestern University, Dvojité kyvadlo, (Simulace appletu Java.)
Theoretical High-Energy Astrophysics Group ve společnosti UBC, Dvojité kyvadlo, (2005).

externí odkazy

Animace a vysvětlení a dvojité kyvadlo a a fyzické dvojité kyvadlo (dvě čtvercové desky) Mike Wheatland (Univ. Sydney)

Interaktivní simulace JavaScriptu s otevřenými zdroji s podrobnými rovnicemi dvojité kyvadlo
Interaktivní Javascriptová simulace a dvojité kyvadlo
Simulace fyziky dvojitého kyvadla z www.myphysicslab.com použitím otevřený zdrojový kód JavaScript
Simulace, rovnice a vysvětlení Rottovo kyvadlo
Srovnávací videa dvojitého kyvadla se stejnými počátečními počátečními podmínkami na Youtube
Simulátor dvojitého kyvadla - Open source simulátor napsaný v C ++ za použití Sada nástrojů Qt.
Online simulátor Java z Imaginární výstava.

[1] Levien, R. B .; Tan, S. M. (1993). „Double Kyvadlo: Experiment v chaosu“. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.

[2] Alex Malý, Ukázkový závěrečný projekt: Jeden podpis chaosu v dvojitém kyvadle, (2013). Zpráva vytvořená jako příklad pro studenty. Zahrnuje odvození pohybových rovnic a srovnání dvojitého kyvadla se 2 bodovými hmotami a dvojitého kyvadla se 2 tyčemi.

[1]

[2]