Blancmangeova křivka - Blancmange curve

Graf křivky blancmange.

v matematika, křivka blancmange je křivka self-affine konstruovatelné dělením ve středním bodě. To je také známé jako Takagiho křivka, po Teiji Takagi kdo to popsal v roce 1901, nebo jako Křivka Takagi – Landsberg, zobecnění křivky pojmenované po Takagi a Georg Landsberg. Název šodó pochází z podobnosti s a pudink se stejným názvem. Jedná se o speciální případ obecnějších de Rhamova křivka; viz také fraktální křivka.

Definice

Funkce blancmange je definována na jednotkový interval podle

${displaystyle {m {blanc}} (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {s (2 ^ {n} x) nad 2 ^ {n}},}$

kde ${displaystyle s (x)}$ je trojúhelníková vlna, definován ${displaystyle s (x) = min _ {nin {mathbf {Z}}} | x-n |}$, to znamená, ${displaystyle s (x)}$ je vzdálenost od X na nejbližší celé číslo.

Křivka Takagi – Landsberg je mírné zobecnění dané

${displaystyle T_ {w} (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$

pro parametr ${displaystyle w}$; tedy křivka blancmange je případ ${displaystyle w = 1/2}$. Hodnota ${displaystyle H = -log _ {2} w}$ je známý jako Hurstův parametr.

Funkci lze rozšířit na všechny reálné řádky: použití výše uvedené definice ukazuje, že se funkce opakuje v každém jednotkovém intervalu.

Funkci lze také definovat řadou v sekci Rozšíření Fourierovy řady.

Definice funkční rovnice

Periodickou verzi Takagiho křivky lze také definovat jako jedinečné ohraničené řešení ${displaystyle T = T_ {w}: mathbb {R} o mathbb {R}}$ k funkční rovnici

${displaystyle T (x) = s (x) + wT (2x)}$.

Funkce blancmange ${displaystyle T_ {w}}$ je jistě omezený a od té doby řeší funkční rovnici

${displaystyle T_ {w} (x): = součet _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) = s (x) + součet _ {n = 1} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$${displaystyle = s (x) + wsum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n + 1} x) = s (x) + wT_ {w} (2x)}$.

Naopak, pokud ${displaystyle T: mathbb {R} o mathbb {R}}$ je omezené řešení funkční rovnice, iterace rovnosti, kterou má pro kteroukoli N

${displaystyle T (x) = součet _ {n = 0} ^ {N} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) + w ^ {N + 1} T (2 ^ {N + 1} x ) = součet _ {n = 0} ^ {N} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) + o (1)}$, pro ${displaystyle N o infty,}$

odkud ${displaystyle T = T_ {w}}$. Mimochodem, výše uvedené funkční rovnice mají nekonečně mnoho spojitých neomezených řešení, např.${displaystyle T_ {w} (x) + c | x | ^ {- přihlásit _ {2} w}.}$

Grafická konstrukce

Křivka blancmange může být vizuálně vytvořena z funkcí trojúhelníkových vln, pokud je nekonečný součet aproximován konečnými součty prvních několika členů. Na ilustraci níže jsou do křivky v každé fázi přidávány postupně jemnější trojúhelníkové funkce (zobrazené červeně).

n = 0	n ≤ 1	n ≤ 2	n ≤ 3

Vlastnosti

Konvergence a kontinuita

Nekonečný součet definující ${displaystyle T_ {w} (x)}$ absolutně konverguje pro všechny ${displaystyle x}$: od té doby ${displaystyle 0leq s (x) leq 1/2}$ pro všechny ${displaystyle xin mathbb {R}}$, my máme:

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} | w ^ {n} s (2 ^ {n} x) | leq {frac {1} {2}} suma _ {n = 0} ^ {infty} | w | ^ {n} = {frac {1} {2}} cdot {frac {1} {1- | w |}}}$ -li ${displaystyle | w | <1}$.

Proto je Takagiho křivka parametru ${displaystyle w}$ je definován na jednotkovém intervalu (nebo ${displaystyle mathbb {R}}$) pokud ${displaystyle | w | <1}$.

Takagiho funkce parametru ${displaystyle w}$ je kontinuální. Ve skutečnosti funkce ${displaystyle T_ {w, n}}$ definována částečnými součty ${displaystyle T_ {w, n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} w ^ {k} s (2 ^ {k} x)}$ jsou spojité a rovnoměrně konvergovat směrem k ${displaystyle T_ {w}}$, od té doby:

${displaystyle left | T_ {w} (x) -T_ {w, n} (x) ight | = left | sum _ {k = n + 1} ^ {infty} w ^ {k} s (2 ^ {k } x) ight | = vlevo | w ^ {n + 1} součet _ {k = 0} ^ {infty} w ^ {k} s (2 ^ {k + n + 1} x) ight | leq {frac { | w | ^ {n + 1}} {2}} cdot {frac {1} {1- | w |}}}$ pro všechny x, když ${displaystyle | w | <1}$.

Tuto hodnotu lze vytvořit tak malou, jak chceme, výběrem dostatečně velké hodnoty n. Proto by věta o jednotném limitu, ${displaystyle T_ {w}}$ je spojitý, pokud |w|<1.

• 

  parametr w = 2/3

• 

  parametr w = 1/2

• 

  parametr w = 1/3

• 

  parametr w = 1/4

• 

  parametr w = 1/8

Subadditivita

Protože absolutní hodnota je a subadditivní funkce taková je i funkce ${displaystyle s (x) = min _ {nin {mathbf {Z}}} | x-n |}$a jeho dilatace ${displaystyle s (2 ^ {k} x)}$; protože kladné lineární kombinace a bodové limity subaditivních funkcí jsou subaditivní, funkce Takagi je subaditivní pro jakoukoli hodnotu parametru ${displaystyle w}$.

Zvláštní případ paraboly

Pro ${displaystyle w = 1/4}$, jeden získá parabola: konstrukci paraboly rozdělením do středních bodů popsal Archimedes.

Diferencovatelnost

Pro hodnoty parametru ${displaystyle 0$ funkce Takagi ${displaystyle T_ {w}}$ je v klasickém smyslu diferencovatelný ${displaystyle xin mathbb {R}}$ což není a dyadic racionální. Přesně, derivací pod znamením řady, pro jakýkoli nedyadický racionální ${displaystyle xin mathbb {R}}$ jeden najde

${displaystyle T_ {w} '(x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} (2 t) ^ {n}, (- 1) ^ {x _ {- n-1}}}$

kde ${displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {Z}} v {0,1} ^ {mathbb {Z}}}$ je posloupnost binárních číslic v základna 2 expanze ${displaystyle x}$, to znamená, ${displaystyle x = součet _ {nin mathbb {Z}} 2 ^ {n} x_ {n}}$. Navíc pro tyto hodnoty ${displaystyle w}$ funkce ${displaystyle T_ {w}}$ je Lipschitz konstantní ${displaystyle 1 over 1-2w}$. Zejména pro speciální hodnotu ${displaystyle w = 1/4}$ jeden najde, pro všechny non dyadic racionální ${displaystyle xin [0,1]}$ ${displaystyle T_ {1/4} '(x) = 2-4x}$, podle výše uvedeného ${displaystyle T_ {1/4} (x) = 2x (1-x).}$

Pro ${displaystyle w = 1/2}$ funkce blancmange ${displaystyle T_ {w}}$ to je z ohraničená variace na žádné neprázdné otevřené sadě; není to ani místně Lipschitz, ale je to kvazi-Lipschitz, ve skutečnosti připouští funkci ${displaystyle omega (t): = t (| log _ {2} t | +1/2)}$ jako modul spojitosti .

Rozšíření Fourierovy řady

Funkce Takagi-Landsberg připouští absolutně konvergentní rozšiřování Fourierovy řady:

${displaystyle T_ {w} (x) = součet _ {m = 0} ^ {infty} a_ {m} cos (2pi mx)}$

s ${displaystyle a_ {0} = 1/4 (1-t)}$ a pro ${displaystyle mgeq 1}$

${displaystyle a_ {m}: = - {frac {2} {pi ^ {2} m ^ {2}}} (4 t) ^ {u (m)},}$

kde ${displaystyle 2 ^ {u (m)}}$ je maximální výkon ${displaystyle 2}$ který rozděluje ${displaystyle m}$Ve skutečnosti výše trojúhelníková vlna ${displaystyle s (x)}$ má naprosto konvergentní expanzi Fourierovy řady

${displaystyle s (x) = {frac {1} {4}} - {frac {2} {pi ^ {2}}} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}} cos {ig (} 2pi (2k + 1) x {ig)}.}$

Absolutní konvergencí lze změnit pořadí odpovídající dvojité řady pro ${displaystyle T_ {w} (x)}$:

${displaystyle T_ {w} (x): = součet _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) = {frac {1} {4}} součet _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} - {frac {2} {pi ^ {2}}} součet _ {n = 0} ^ {infty} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {w ^ {n}} {(2k + 1) ^ {2}}} cos {ig (} 2pi 2 ^ {n} (2k + 1) x {ig)} ,:}$

uvedení ${displaystyle m = 2 ^ {n} (2k + 1)}$ dává výše uvedenou Fourierovu řadu pro ${displaystyle T_ {w} (x).}$

Já podobnost

The rekurzivní definice umožňuje monoidní samo-symetrií křivky, která má být dána. Tento monoid je dán dvěma generátory, G a r, který akt na křivce (omezeno na jednotkový interval) jako

${displaystyle [gcdot T_ {w}] (x) = T_ {w} vlevo ({frac {x} {2}} vpravo) = {frac {x} {2}} + wT_ {w} (x)}$

a

${displaystyle [rcdot T_ {w}] (x) = T_ {w} (1-x) = T_ {w} (x)}$.

Obecný prvek monoidu má poté podobu ${displaystyle gamma = g ^ {a_ {1}} rg ^ {a_ {2}} rcdots rg ^ {a_ {n}}}$ pro některá celá čísla ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {n}}$ Tento činy na křivce jako a lineární funkce: ${displaystyle gamma cdot T_ {w} = a + bx + cT_ {w}}$ pro některé konstanty A, b a C. Protože akce je lineární, lze ji popsat pomocí a vektorový prostor, s základ vektorového prostoru:

${displaystyle 1mapsto e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 0 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle xmapsto e_ {2} = {egin {bmatrix} 0 1 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle T_ {w} mapsto e_ {3} = {egin {bmatrix} 0 0 1end {bmatrix}}}$

V tomhle zastoupení akce G a r jsou dány

${displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & {frac {1} {2}} & {frac {1} {2}} 0 & 0 & wend {bmatrix}}}$

a

${displaystyle r = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$

To znamená působení obecného prvku ${displaystyle gamma}$ mapuje křivku blancmange na jednotkovém intervalu [0,1] na dílčí interval ${displaystyle [m / 2 ^ {p}, n / 2 ^ {p}]}$ pro některá celá čísla m, n, p. Mapování je dáno přesně pomocí ${displaystyle [gamma cdot T_ {w}] (x) = a + bx + cT_ {w} (x)}$ kde hodnoty A, b a C lze získat přímo vynásobením výše uvedených matic. To je:

${displaystyle gamma = {egin {bmatrix} 1 & {frac {m} {2 ^ {p}}} & a 0 & {frac {n-m} {2 ^ {p}}} & b 0 & 0 & cend {bmatrix}}}$

Všimněte si, že ${displaystyle p = a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}}$ je okamžitý.

Monoid generovaný uživatelem G a r se někdy nazývá dyadický monoid; je to submonoid z modulární skupina. Když diskutujeme o modulární skupině, běžnější notace pro G a r je T a S, ale tato notace je v rozporu se zde použitými symboly.

Výše uvedená trojrozměrná reprezentace je pouze jednou z mnoha reprezentací, které může mít; ukazuje, že křivka blancmange je jednou z možných realizací akce. To znamená, že existují reprezentace pro jakoukoli dimenzi, nejen pro 3; některé z nich dávají de Rhamovy křivky.

Integrace křivky Blancmange

Vzhledem k tomu, že integrální z ${displaystyle {m {blanc}} (x)}$ od 0 do 1 je 1/2, identita ${displaystyle {m {blanc}} (x) = {m {blanc}} (2x) / 2 + s (x)}$ umožňuje vypočítat integrál v libovolném intervalu pomocí následujícího vztahu. Výpočet je rekurzivní s výpočtovým časem v pořadí protokolu požadované přesnosti. Definování

${displaystyle I (x) = int _ {0} ^ {x} {m {blanc}} (y), dy}$

jeden to má

${displaystyle I (x) = {egin {cases} I (2x) / 4 + x ^ {2} / 2 & {ext {if}} 0leq xleq 1/2 1/2-I (1-x) & { ext {if}} 1 / 2leq xleq 1 n / 2 + I (xn) & {ext {if}} nleq xleq (n + 1) end {cases}}}$

The určitý integrál darováno:

${displaystyle int _ {a} ^ {b} {m {blanc}} (y), dy = I (b) -I (a).}$

Obecnější výraz lze získat definováním

${displaystyle S (x) = int _ {0} ^ {x} s (y) dy = {egin {cases} x ^ {2} / 2, & 0leq xleq {frac {1} {2}} - x ^ {2} / 2 + x-1/4, & {frac {1} {2}} leq xleq 1 n / 4 + S (xn), & (nleq xleq n + 1) end {cases}}}$

který v kombinaci se sériovým zastoupením dává

${displaystyle I_ {w} (x) = int _ {0} ^ {x} T_ {w} (y) dy = součet _ {n = 0} ^ {infty} (w / 2) ^ {n} S ( 2 ^ {n} x)}$

Všimněte si, že

${displaystyle I_ {w} (1) = {frac {1} {4 (1-w)}}}$

Tento integrál je také obdobný v jednotkovém intervalu působením dyadického monoidu popsaného v části Self podobnost. Zde je znázornění 4-dimenzionální, které má základ ${displaystyle {1, x, x ^ {2}, I (x)}}$. Přepíšete výše uvedené, abyste provedli akci G jasnější: v jednotkovém intervalu jeden má

${displaystyle [gcdot I_ {w}] (x) = I_ {w} left ({frac {x} {2}} ight) = {frac {x ^ {2}} {8}} + {frac {w} {2}} I_ {w} (x)}$.

Z toho lze potom okamžitě odečíst generátory čtyřrozměrného zobrazení:

${displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & {frac {1} {2}} & 0 & 0 0 & 0 & {frac {1} {4}} & {frac {1} {8}} 0 & 0 & 0 & {frac {w} {2}} konec {bmatrix}}}$

a

${displaystyle r = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & {frac {1} {4 (1-w)}} 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1end {bmatrix}}}$

Opakované integrály se transformují pod 5,6 ... dimenzionální reprezentací.

Vztah k zjednodušeným komplexům

Nechat

${displaystyle N = {jiný {n_ {t}} {t}} + {iný {n_ {t-1}} {t-1}} + ldots + {iný {n_ {j}} {j}}, čtyřkolka n_ {t}> n_ {t-1}> ldots> n_ {j} geq jgeq 1.}$

Definujte funkci Kruskal – Katona

${displaystyle kappa _ {t} (N) = {n_ {t} zvolte t + 1} + {n_ {t-1} vyberte t} + tečky + {n_ {j} vyberte j + 1}.}$

The Věta Kruskal – Katona uvádí, že se jedná o minimální počet (t - 1) -simplexy, které jsou tvářemi sady N t- jednoduché komplexy.

Tak jako t a N přiblížit se k nekonečnu,${displaystyle kappa _ {t} (N) -N}$ (vhodně normalizováno) se blíží křivce blancmange.

Viz také

• Funkce Cantor (také známé jako Ďáblovo schodiště)
• Funkce Minkowského otazníku
• Funkce Weierstrass
• Dyadická transformace

Reference

• Weisstein, Eric W. "Funkce Blancmange". MathWorld.
• Takagi, Teiji (1901), „Jednoduchý příklad spojité funkce bez derivace“, Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn., 1: 176–177, doi:10.11429 / subutsuhokoku1901.1.F176
• Benoit Mandelbrot "Fraktální krajina bez záhybů a řek", objevující se v Věda fraktálních obrazů, vyd. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988), str. 243–260.
• Linas Vepstas, Symetrie dobově zdvojnásobujících map, (2004)
• Donald Knuth, Umění počítačového programování, svazek 4a. Kombinatorické algoritmy, část 1. ISBN  0-201-03804-8. Viz strany 372–375.

Další čtení

• Allaart, Pieter C .; Kawamura, Kiko (11. října 2011), Funkce Takagi: průzkum, arXiv:1110.1691, Bibcode:2011arXiv1110.1691A
• Lagarias, Jeffrey C. (17. prosince 2011), Funkce Takagi a její vlastnosti, arXiv:1112.4205, Bibcode:2011arXiv1112.4205L

externí odkazy

• Průzkumník Takagi
• (Některé vlastnosti funkce Takagi)