Mapa podkovy

Mapa podkovy Smale

F

je složení tří geometrických transformací

Míchání do skutečné koule barevného tmelu po po sobě jdoucích iteracích mapy podkovy Smale

V matematika z teorie chaosu, a mapa podkovy je jakýkoli člen třídy chaotických map čtverce do sebe. Je to základní příklad ve studiu dynamické systémy. Mapu představil Stephen Smale při studiu chování oběžné dráhy z van der Pol oscilátor. Akce mapy je definována geometricky přeškrtnutím čtverce, následným roztažením výsledku do dlouhého pruhu a nakonec složením pruhu do tvaru podkovy.

Většina bodů nakonec opustí čtverec pod akcí mapy. Jdou k bočním čepicím, kde v rámci iterace konvergují k a pevný bod v jedné z čepic. Body, které zůstanou na čtverci pod opakovanou iterací, tvoří a fraktální a jsou součástí invariantní množina mapy.

Squishing, strečink a skládání mapy podkovy jsou typické pro chaotické systémy, ale nejsou nutné nebo dokonce dostatečné.^[1]

Na mapě podkovy je mačkání a protahování jednotné. Vzájemně se kompenzují, aby se plocha čtverce nezměnila. Skládání je provedeno úhledně, takže lze jednoduše popsat oběžné dráhy, které zůstanou navždy ve čtverci.

Pro mapu podkovy:

existuje nekonečné množství periodických drah;
existují periodické dráhy libovolně dlouhého období;
počet periodických drah s obdobím exponenciálně roste; a
v blízkosti libovolného bodu fraktální invariantní množiny je bod periodické oběžné dráhy.

Mapa podkovy $F$ je difeomorfismus definované z regionu $S$ letadla do sebe. Region $S$ je čtverec uzavřený dvěma polodisky. Akce $F$ je definována složením tří geometricky definovaných transformací. Nejprve se čtverec smrští ve vertikálním směru o faktor $A < 1 / 2$ . Uzávěry jsou uzavřeny tak, aby zůstaly polodisky připojené k výslednému obdélníku. Snížení faktorem menším než polovina zajišťuje, že mezi větvemi podkovy bude mezera. Dále je obdélník natažen vodorovně o faktor $1 / A$ ; čepice zůstávají nezměněny. Nakonec je výsledný pás složen do tvaru podkovy a vložen zpět do $S$ .

Zajímavou částí dynamiky je obraz čtverce do sebe. Jakmile je tato část definována, mapu lze rozšířit na a difeomorfismus definováním jeho působení na čepice. Čepice jsou vyrobeny tak, aby se stahovaly a nakonec mapovaly uvnitř jedné z čepic (levá na obrázku). Rozšíření F k čepicím přidá pevný bod k netoulavá sada mapy. Aby byla třída map podkovy jednoduchá, zakřivená oblast podkovy by se neměla mapovat zpět do čtverce.

Mapa podkovy je jedna k jedné, což znamená, že je inverzní F⁻¹ existuje, pokud je omezeno na obrázek $S$ pod $F$ .

Skládáním zkráceného a roztaženého čtverce různými způsoby jsou možné další typy map podkovy.

Varianty mapy podkovy

Aby se zajistilo, že mapa zůstane jedna k jedné, nesmí se smluvní čtverec překrývat. Když je akce na čtverci rozšířena na difeomorfismus, rozšíření nelze vždy provést v rovině. Například mapu napravo je třeba rozšířit na difeomorfismus koule pomocí „čepice“, která obklopuje rovník.

Mapa podkovy je Axiom A difeomorfismus, který slouží jako model pro příčné obecné chování homoklinický bod, Kde stabilní a nestabilní protínají se rozdělovače periodického bodu.

Dynamika mapy

Mapa podkovy byla navržena tak, aby reprodukovala chaotickou dynamiku toku v sousedství dané periodické oběžné dráhy. Sousedství je vybráno jako malý disk kolmý na obíhat. Jak se systém vyvíjí, body na tomto disku zůstávají blízko dané periodické oběžné dráhy a sledují oběžné dráhy, které nakonec disk znovu protínají. Jiné dráhy se rozcházejí.

Chování všech oběžných drah na disku lze určit podle toho, co se stane s diskem. Průsečík disku s danou periodickou oběžnou dráhou se vrací v každé periodě oběžné dráhy, stejně jako body v jejím sousedství. Když se toto sousedství vrátí, jeho tvar se transformuje. Mezi body zpět uvnitř disku jsou některé body, které opustí okolí disku, a další, které se budou i nadále vracet. Sada bodů, která nikdy neopustí sousedství dané periodické dráhy, tvoří fraktál.

Symbolické jméno může být dáno všem orbitám, které zůstávají v sousedství. Počáteční disk sousedství lze rozdělit na malý počet oblastí. Znát sekvenci, v níž oběžná dráha navštěvuje tyto oblasti, umožňuje přesně určit oběžnou dráhu. Sekvence vizitací oběžných drah poskytuje symbolické znázornění dynamiky známé jako symbolická dynamika.

Oběžné dráhy

Je možné popsat chování všech počátečních podmínek mapy podkovy. Počáteční bod u₀ = (X, y) bude mapován do bodu u₁ = F(u₀). Jde o iteraci u₂ = F(u₁) = F ²(u₀) a opakovaná iterace generuje oběžnou dráhu u₀, u₁, u₂, ...

Při opakované iteraci mapy podkovy většina orbit končí na pevném místě v levé čepici. Je to proto, že podkova mapuje levou čepici do sebe pomocí afinní transformace který má přesně jeden pevný bod. Jakákoli oběžná dráha, která přistane na levé čepici, ji nikdy neopustí a konverguje k pevnému bodu v levé čepici pod iterací. Body v pravé čepici se při příští iteraci mapují do levé čepice a většina bodů ve čtverci se mapuje do čepic. Při iteraci bude většina bodů součástí oběžných drah, které konvergují k pevnému bodu v levé čepici, ale některé body čtverce nikdy neopustí.

Iterace náměstí

Předobrazy čtvercové oblasti

Pod dopřednými iteracemi mapy podkovy se původní čtverec namapuje na řadu vodorovných pruhů. Body v těchto vodorovných pruzích pocházejí ze svislých pruhů v původním čtverci. Nechat $S 0$ být původní čtverec, namapujte jej dopředu n a vezměte v úvahu pouze body, které spadají zpět do čtverce $S 0$ , což je sada vodorovných pruhů

{ displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) cap S_ {0}.}

Body ve vodorovných pruzích pocházely ze svislých pruhů

{ displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

,

což jsou vodorovné pruhy $H n$ mapováno zpět n krát. To je bod v $PROTI n$ bude pod n iterace podkovy, skončí v sadě $H n$ svislých pásů.

Invariantní sada

Křižovatky, které konvergují k invariantní sadě

Příklad invariantní míry

Pokud má bod na náměstí zůstat neomezeně dlouho, musí patřit do množiny $Λ$ který se mapuje sám k sobě. Je nutné určit, zda je tato sada prázdná nebo ne. Svislé pruhy $PROTI 1$ mapu do vodorovných pruhů $H 1$ , ale ne všechny body $PROTI 1$ mapa zpět do $PROTI 1$ . Pouze body v průsečík z $PROTI 1$ a $H 1$ může patřit $Λ$ , jak lze zkontrolovat následujícími body mimo křižovatku pro další iteraci.

Průsečík vodorovných a svislých pruhů, $H n \cap PROTI n$ , jsou čtverce, které jsou v limitu $n \to \infty$ konvergovat k invariantní množině $Λ$ (tato sada je křižovatkou a Cantor set svislých čar se sadou vodorovných čar Cantor^[2]). Strukturu této sady lze lépe pochopit zavedením systému štítků pro všechny křižovatky - symbolickou dynamikou.

Symbolická dynamika

Základní domény mapy podkovy

Od té doby $H n \cap PROTI n \subset PROTI 1$ , jakýkoli bod, který je v $Λ$ pod iterací musí přistát v levém svislém pásu $A$ z $PROTI 1$ , nebo na pravém svislém pruhu $B$ . Spodní vodorovný pruh $H 1$ je obraz $A$ a horní vodorovný pás je obrazem $B$ , tak H₁ = f (A) ∪ f (B). Proužky $A$ a $B$ lze použít k označení čtyř čtverců v průsečíku $PROTI 1$ a $H 1$ :

{ displaystyle { begin {aligned} Lambda _ {A bullet A} & = f (A) cap A Lambda _ {A bullet B} & = f (A) cap B Lambda _ {B bullet A} & = f (B) cap A Lambda _ {B bullet B} & = f (B) cap B end {zarovnáno}}}

Sada $Λ B • A$ skládají se z bodů z pásu $A$ které byly v pásu $B$ v předchozí iteraci. Tečka se používá k oddělení oblasti, ve které je bod oběžné dráhy, od oblasti, ze které bod pochází.

Zápis lze rozšířit na vyšší iteráty mapy podkovy. Svislé pruhy lze pojmenovat podle pořadí návštěv pásu $A$ nebo pás $B$ . Například sada ABB ⊂ PROTI₃ se skládá z bodů z $A$ to všechno přistane dovnitř $B$ v jedné iteraci a zůstat v $B$ v iteraci poté:

{ displaystyle ABB = {x v A , | , f (x) v B , , , mathrm {a} , , , f_ {2} (x) v B }.}

Práce zpět z této trajektorie určuje malou oblast, množinu ABB, v rámci PROTI₃.

Vodorovné pruhy jsou pojmenovány podle předobrazů svislých pruhů. V této notaci je průnik PROTI₂ a H₂ sestává ze 16 čtverců, z nichž jeden je

{ displaystyle Lambda _ {AB bullet BB} = f_ {2} (AB) cap BB.}

Všechny body v Λ_{AB • BB} jsou v $B$ a bude i nadále v $B$ pro alespoň jednu další iteraci. Jejich předchozí trajektorie před přistáním BB byl $A$ následován $B$ .

Periodické dráhy

Kterákoli z křižovatek $Λ P • F$ vodorovného pásu se svislým pruhem, kde P a F jsou sekvence As a Bs, je afinní transformace malého regionu v PROTI₁. Li P má k symboly v něm, a pokud $F - k (Λ P • F)$ a $Λ P • F$ protínají region $Λ P • F$ bude mít pevný bod. To se stane, když sekvence P je stejné jako F. Například, $Λ ABAB • ABAB \subset PROTI 4 \cap H 4$ má alespoň jeden pevný bod. Tento bod je také stejný jako pevný bod v Λ_{AB • AB}. Zahrnutím dalších a dalších ABje v P a F části křižovatky, může být plocha křižovatky podle potřeby zmenšena. Konverguje k bodu, který je součástí periodické oběžné dráhy mapy podkovy. Periodickou dráhu lze označit nejjednodušší posloupností $A$ s a $B$ které označují jeden z regionů pravidelné oběžné dráhy.

Pro každou sekvenci $A$ s a $B$ s existuje pravidelná oběžná dráha.

Viz také

Poznámky

^ David Ruelle (2006). „Co je to zvláštní atraktor?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 53 (7): 764–765.
^ Ott, Edward (2002). Chaos v dynamických systémech (2. vyd.). Cambridge University Press.

Reference

David Ruelle (2006). „Co je to zvláštní atraktor?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 53 (7): 764–765.
Stephen Smale (1967). "Diferencovatelné dynamické systémy". Bulletin of the American Mathematical Society. 73 (6): 747–817. doi:10.1090 / S0002-9904-1967-11798-1.
P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). "Topologické a metrické vlastnosti zvláštních atraktorů typu Hénon". Fyzický přehled A. 38 (3): 1503–1520. Bibcode:1988PhRvA..38.1503C. doi:10.1103 / PhysRevA.38.1503. PMID 9900529.
André de Carvalho (1999). "Prořezávání front a tvorba podkov". Ergodická teorie a dynamické systémy. 19 (4): 851–894. arXiv:matematika / 9701217. doi:10.1017 / S0143385799133972.
André de Carvalho; Toby Hall (2002). „Jak prořezat podkovu“ (PDF). Nelinearita. 15 (3): R19 – R68. Bibcode:2002 Nonli..15R..19D. doi:10.1088/0951-7715/15/3/201.

externí odkazy

"Smale Horseshoe". Scholarpedia.
Evgeny Demidov (2007). "Homoklinické struktury na standardní mapě". ibiblio.org. Citováno 2016-07-11.
ChaosBook.org Kapitola „Protahování, skládání, prořezávání“
CHAOS VI - Chaos a podkova Kapitola od Jos Leys, Étienne Ghys a film Aurélien Alvarez Chaos

[1] David Ruelle (2006). „Co je to zvláštní atraktor?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 53 (7): 764–765.

[2] Ott, Edward (2002). Chaos v dynamických systémech (2. vyd.). Cambridge University Press.

[1]

[2]