Mapa koček Arnolds - Arnolds cat map - Wikipedia

Obrázek ukazující, jak lineární mapa roztahuje čtverce jednotek a jak jsou její části přeskupeny, když modulo provoz se provádí. Čáry se šipkami ukazují směr uzavírání a rozšiřování vlastní prostory

v matematika, Arnoldova kočka mapa je chaotický mapa z torus do sebe, pojmenoval podle Vladimír Arnold, který demonstroval své účinky v 60. letech pomocí obrazu kočky, odtud název.^[1]

Myslím na torus ${ displaystyle mathbb {T} ^ {2}}$ jako kvocientový prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$, Arnoldova mapa koček je transformace ${ displaystyle Gamma: mathbb {T} ^ {2} to mathbb {T} ^ {2}}$ dané vzorcem

${ displaystyle Gamma ,: , (x, y) až (2x + y, x + y) { bmod {1}}.}$

Ekvivalentně v matice zápis, to je

${ displaystyle Gamma left ({ begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} right) = { begin {bmatrix} 2 & 1 1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} { bmod {1}} = { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} { bmod {1}}.}$

To znamená, že s jednotkou rovnou šířce čtvercového obrázku je obraz stříhat jedna jednotka nahoru, potom dvě jednotky doprava a vše, co leží mimo tento čtverec jednotky, je posunuto zpět o jednotku, dokud není uvnitř čtverce.

Vlastnosti

• Γ je invertibilní protože matice má určující 1, a proto jeho inverzní má celočíselné položky,
• Γ je zachování oblasti,
• Γ má jedinečný hyperbolický pevný bod (dále jen vrcholy náměstí). Lineární transformace, která definuje mapu, je hyperbolická: její vlastní čísla jsou iracionální čísla, jedno větší a druhé menší než 1 (v absolutní hodnotě), takže jsou spojeny respektive s rozšiřujícím se a smluvním vlastní prostor které jsou také stabilní a nestabilní potrubí. Vlastní prostor je ortogonální, protože matice je symetrický. Protože vlastní vektory ano racionálně nezávislý komponenty obou vlastních prostorů hustě zakryjte torus. Arnoldova kočka je obzvláště známý příklad a hyperbolický torální automorfismus, což je automorfismus a torus dané čtvercem unimodulární matice mít č vlastní čísla absolutní hodnoty 1.^[2]
• Sada bodů s a periodická oběžná dráha je hustý na torusu. Ve skutečnosti je bod preperiodický právě tehdy, jsou-li jeho souřadnice Racionální.
• Γ je topologicky tranzitivní (tj. existuje bod, jehož oběžná dráha je hustý, to se děje u všech bodů na rozbalování vlastní prostor )
• Počet bodů s tečkou ${ displaystyle n}$ je přesně ${ displaystyle | lambda _ {1} ^ {n} + lambda _ {2} ^ {n} -2 |}$ (kde ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}}$ jsou vlastní čísla matice). Například prvních několik termínů této řady je 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 ....^[3] (Stejná rovnice platí pro jakýkoli unimodulární hyperbolický torální automorfismus, pokud jsou nahrazena vlastní čísla.)
• Γ je ergodický a míchání,
• Γ je Anosov difeomorfismus a zejména je strukturálně stabilní.

Diskrétní mapa koček

Z řádu do chaosu a zpět. Ukázkové mapování na obrázku 150x150 pixelů. Číslo ukazuje krok iterace; po 300 iteracích se vrátí původní obrázek.

Ukázkové mapování na obrázku dvojice třešní. Obrázek je široký 74 pixelů a obnovuje se 114 iterací, i když se v polovině objeví (57. iterace), vzhůru nohama.

Je možné definovat diskrétní analog mapy kočky. Jednou z funkcí této mapy je, že obraz je zjevně náhodně transformován, ale po několika krocích se vrací do původního stavu. Jak je vidět na sousedním obrázku, původní obrázek kočky je stříhat a poté se omotal v první iteraci transformace. Po několika iteracích se výsledný obrázek zobrazí spíše náhodný nebo neuspořádaný, ale po dalších iteracích se zdá, že obraz má další řád - duchovní obrazy kočky, několik menších kopií uspořádaných do opakující se struktury a dokonce i obrácené kopie původního obrazu - a nakonec se vrátí k původnímu obrazu.

Diskrétní mapa koček popisuje fázový prostor tok odpovídající diskrétní dynamice korálků poskakujících z místa q_t (0 ≤ q_t < N) na web q_t+1 na kruhovém kruhu s obvodem N, podle rovnice druhého řádu:

${ displaystyle q_ {t + 1} -3q_ {t} + q_ {t-1} = 0 mod N}$

Definování proměnné hybnosti p_t = q_t − q_t−1, výše uvedená dynamika druhého řádu může být přepsána jako mapování čtverce 0 ≤ q, p < N (dále jen fázový prostor diskrétního dynamického systému) na sebe:

${ displaystyle q_ {t + 1} = 2q_ {t} + p_ {t} mod N}$

${ displaystyle p_ {t + 1} = q_ {t} + p_ {t} mod N}$

Toto mapování koček Arnold ukazuje míchání chování typické pro chaotické systémy. Protože však transformace má a určující rovná se jednotě zachování oblasti a proto invertibilní inverzní transformace je:

${ displaystyle q_ {t-1} = q_ {t} -p_ {t} mod N}$

${ displaystyle p_ {t-1} = - q_ {t} + 2p_ {t} mod N}$

Pro skutečné proměnné q a p, je běžné nastavit N = 1. V takovém případě je výsledkem mapování jednotkového čtverce s periodickými okrajovými podmínkami na sebe.

Když je N nastaveno na celočíselnou hodnotu, lze proměnné polohy a hybnosti omezit na celá čísla a z mapování se stane mapování toroidní čtvercové mřížky bodů na sebe. Taková celočíselná mapa koček se běžně používá k demonstraci míchání chování s Poincarého opakování s využitím digitálních obrázků. Může se ukázat, že počet iterací potřebných k obnovení obrazu nikdy nepřekročí 3N.^[4]

U obrázku lze vztah mezi iteracemi vyjádřit takto:

${ displaystyle { begin {array} {rrcl} n = 0: quad & T ^ {0} (x, y) & = & { text {Input Image}} (x, y) n = 1: quad & T ^ {1} (x, y) & = & T ^ {0} left ({ bmod {(}} 2x + y, N), { bmod {(}} x + y, N) vpravo) && vdots n = k: quad & T ^ {k} (x, y) & = & T ^ {k-1} left ({ bmod {(}} 2x + y, N) , { bmod {(}} x + y, N) vpravo) && vdots n = m: quad & { text {Output Image}} (x, y) & = & T ^ {m } (x, y) end {pole}}}$

Viz také

• Seznam chaotických map
• Opakování spiknutí

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Mapa Arnoldovy kočky“. MathWorld.
• Vliv randomizace počátečních podmínek na dobu opakování
• Mapa Arnoldovy kočky Enrique Zeleny, Demonstrační projekt Wolfram.
• Mapa Arnoldovy kočky: Interaktivní grafický průzkum