Pružné kyvadlo - Elastic pendulum

![]() | tento článek chybí informace o charakteristikách chaotického pohybu v systému, srov. Dvojité kyvadlo # Chaotický pohyb. (Říjen 2019) |
v fyzika a matematika, v oblasti dynamické systémy, an pružné kyvadlo[1][2] (také zvaný pružinové kyvadlo[3][4] nebo kyvná pružina) je fyzický systém kde je kus hmoty spojen s a jaro takže výsledný pohyb obsahuje prvky obou a jednoduché kyvadlo a a jednorozměrný systém pružina-hmota.[2] Systém vykazuje chaotické chování a je citlivý na počáteční podmínky.[2] Pohyb pružného kyvadla je řízen sadou spřažených obyčejné diferenciální rovnice.
Analýza a interpretace

Systém je mnohem složitější než jednoduché kyvadlo, protože vlastnosti pružiny dodávají systému další rozměr volnosti. Například když se pružina stlačí, menší poloměr způsobí, že se pružina bude pohybovat rychleji kvůli zachování moment hybnosti. Je také možné, že pružina má rozsah, který je překonán pohybem kyvadla, takže je prakticky neutrální vůči pohybu kyvadla.
Lagrangian
Pružina má zbytek délky a lze je natáhnout na délku . Úhel oscilace kyvadla je .
The Lagrangian je:
kde je Kinetická energie a je potenciální energie.
Vidět. Hookeův zákon je potenciální energie samotného pružiny:
kde je jarní konstanta.
Potenciální energie z gravitace, na druhé straně, je určena výškou hmoty. Pro daný úhel a posunutí je potenciální energie:
kde je gravitační zrychlení.
Kinetická energie je dána vztahem:
kde je rychlost mše. Do vztahu k ostatním proměnným se rychlost zapisuje jako kombinace pohybu podél a kolmo k pružině:
Lagrangián se tedy stává:[1]
Pohybové rovnice
Se dvěma stupně svobody, pro a , pohybové rovnice lze najít pomocí dvou Euler-Lagrangeovy rovnice:
Pro :[1]
izolovaný:
A pro :[1]
izolovaný:
Elastické kyvadlo je nyní popsáno se dvěma spřaženými obyčejné diferenciální rovnice. Ty lze vyřešit numericky. Kromě toho lze analytickými metodami studovat zajímavý jev řádu řádu chaosu[6] v tomto systému.
Viz také
Reference
- ^ A b C d Xiao, Qisong; et al. "Dynamika pružného kyvadla" (PDF).
- ^ A b C Pokorný, Pavel (2008). "Podmínky stability pro vertikální oscilaci 3-dimenzionálního pružného kyvadla s těžkými pružinami" (PDF). Pravidelná a chaotická dynamika. 13 (3): 155–165. Bibcode:2008RCD .... 13..155P. doi:10.1134 / S1560354708030027.
- ^ Sivasrinivas, Kolukula. "Jarní kyvadlo".
- ^ Hill, Christian (19. července 2017). „Jarní kyvadlo“.
- ^ Simionescu, P.A. (2014). Počítačové grafy a simulační nástroje pro uživatele AutoCADu (1. vyd.). Boca Raton, Florida: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
- ^ Anurag, Anurag; Basudeb, Mondal; Bhattacharjee, Jayanta Kumar; Chakraborty, Sagar (2020). „Pochopení přechodu řád-chaos-řád v planárním pružném kyvadle“. Physica D. 402: 132256. doi:10.1016 / j.physd.2019.132256.
Další čtení
- Pokorný, Pavel (2008). "Podmínky stability pro vertikální oscilaci 3-dimenzionálního pružného kyvadla s těžkými pružinami" (PDF). Pravidelná a chaotická dynamika. 13 (3): 155–165. Bibcode:2008RCD .... 13..155P. doi:10.1134 / S1560354708030027.
- Pokorný, Pavel (2009). „Pokračování periodických řešení disipativních a konzervativních systémů: aplikace na elastické kyvadlo“ (PDF). Matematické problémy ve strojírenství. 2009: 1–15. doi:10.1155/2009/104547.
externí odkazy
- Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) „Oscilace pružného kyvadla“ (interaktivní animace), Wolfram Demonstrations Project, publikováno 19. února 2019.