Lyapunov fraktál - Lyapunov fractal



v matematika, Lyapunovské fraktály (také známý jako Fraktály Markus – Lyapunov) jsou bifurcational fraktály odvozený z rozšíření logistická mapa ve kterém je míra růstu populace, r, pravidelně přepíná mezi dvěma hodnotami A a B.[1]
A Lyapunov fraktál je konstruován mapováním oblastí stability a chaotického chování (měřeno pomocí Lyapunovův exponent ) v A−b rovina pro dané periodické posloupnosti A a b. Na obrázcích žlutá odpovídá (stabilita) a modrá odpovídá (chaos).
Lyapunovské fraktály byly objeveny koncem 80. let[2] německo-chilským fyzik Mario Markus z Max Planck Institute of Molecular Physiology. Velké veřejnosti je představil a popularizace vědy článek na rekreační matematika publikoval v Scientific American v roce 1991.[3]
Vlastnosti
Lyapunovské fraktály jsou obecně kresleny pro hodnoty A a B v intervalu . U větších hodnot již není interval [0,1] stabilní a sekvenci pravděpodobně přitahuje nekonečno, i když u některých parametrů i nadále existují konvergentní cykly konečných hodnot. Pro všechny iterační sekvence úhlopříčka a = b je vždy stejné jako u standardní logistické funkce s jedním parametrem.
Sekvence obvykle začíná na hodnotě 0,5, což je a kritický bod iterační funkce.[4] Další (i komplexně hodnotné) kritické body iterativní funkce během jednoho celého kola jsou ty, které projdou hodnotou 0,5 v prvním kole. Konvergentní cyklus musí přilákat alespoň jeden kritický bod.[5] Proto lze všechny konvergentní cykly získat pouhým posunutím iterační sekvence a udržením počáteční hodnoty 0,5. V praxi posunutí této sekvence vede ke změnám ve fraktálu, protože některé větve jsou zakryty jinými. Například Lyapunov fraktál pro iterační sekvenci AB (viz horní obrázek vpravo) není dokonale symetrický vzhledem k A a b.
Algoritmus pro generování Lyapunovových fraktálů
The algoritmus pro výpočet Lyapunovových fraktálů funguje následovně:[6]
- Vyberte řetězec As a B libovolné netriviální délky (např. AABAB).
- Vytvořte sekvenci tvořené po sobě jdoucími výrazy v řetězci, opakovanými tolikrát, kolikrát je třeba.
- Vyberte bod .
- Definujte funkci -li , a -li .
- Nechat a vypočítat iterace .
- Vypočítejte Lyapunovův exponent:
V praxi, je aproximován výběrem vhodně velkého a upuštění prvního summandu jako pro . - Vybarvěte bod podle hodnoty získané.
- Opakujte kroky (3–7) pro každý bod v obrazové rovině.
Více rozměrů
Lyapunovské fraktály lze vypočítat ve více než dvou dimenzích. Řetězec sekvence pro a n-dimenzionální fraktál musí být sestaven z abecedy s n znaky, např. „ABBBCA“ pro 3D fraktál, který lze vizualizovat buď jako 3D objekt, nebo jako animaci zobrazující „řez“ ve směru C pro každý snímek animace, jako zde uvedený příklad.
Poznámky
- ^ Vidět Markus 1989, str. 553 .
- ^ Vidět Markus 1989 a Markus 1990.
- ^ Vidět Dewdney 1991.
- ^ Vidět Markus 1990, str. 483.
- ^ Vidět Markus 1990, str. 486.
- ^ Vidět Markus 1990, str. 481 483 a Markus 1998 .
Reference
- Dewdney, A.K. (1991). "Skáče do Lyapunovova prostoru". Scientific American. 265 (3): 130–132. doi:10.1038 / scientificamerican0991-178.
- Markus, Mario; Hess, Benno (1989). "Lyapunovovy exponenty logistické mapy s periodickým nátlakem". Počítače a grafika. 13 (4): 553–558. doi:10.1016/0097-8493(89)90019-8.
- Markus, Mario (1990). "Chaos v mapách s kontinuálním a diskontinuálním maximem". Počítače ve fyzice. 4 (5): 481. doi:10.1063/1.4822940.
- Markus, Mario; Hess, Benno (1998). "Kapitola 12. Lyapunovovy exponenty logistické mapy s periodickým vynucováním". V Clifford A. Pickover (ed.). Chaos a fraktály. Počítačová grafická cesta. Elsevier. str.73 -78. doi:10.1016 / B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN 978-0-444-50002-1.
externí odkazy
- Fraktály a chaos EFG - Lyapunovovi soupeři
- Elert, Glenn. "Lyapunov Space". Hypertextbook Chaosu.