Převezme větu - Takenss theorem - Wikipedia

Ve studii o dynamické systémy, a věta o zpoždění vložení udává podmínky, za kterých a chaotický dynamický systém lze rekonstruovat ze sledu pozorování stavu dynamického systému. Rekonstrukce zachovává vlastnosti dynamického systému, které se nezmění při plynulých změnách souřadnic (tj. difeomorfismy ), ale nezachovává geometrický tvar struktur ve fázovém prostoru.

Věta o převzetí je věta o zpoždění z roku 1981 z Floris Takens. Poskytuje podmínky, za kterých hladký atraktor lze rekonstruovat z pozorování provedených pomocí a obecný funkce. Pozdější výsledky nahradily hladký atraktor sadou libovolných rozměr počítání krabic a třída obecných funkcí s jinými třídami funkcí.

Věty pro zpoždění vložení jsou jednoduššídiskrétní dynamické systémy Stavový prostor dynamického systému je a ${ displaystyle nu}$ -dimenzionální potrubí ${ displaystyle M}$ . Dynamika je dána a hladká mapa

{ displaystyle f: M až M.}

Předpokládejme, že dynamika ${ displaystyle f}$ má podivný atraktor ${ displaystyle A}$ s rozměr počítání krabic ${ displaystyle d_ {A}}$ . S využitím nápadů od Whitneyova věta o vložení, ${ displaystyle A}$ lze vložit do ${ displaystyle k}$ -dimenzionální Euklidovský prostor s

{ displaystyle k> 2d_ {A}.}

To znamená, že existuje difeomorfismus ${ displaystyle phi}$ že mapy ${ displaystyle A}$ do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ takové, že derivát z ${ displaystyle phi}$ má plný hodnost.

Věta o zpoždění vkládání používá pozorovací funkce k vytvoření funkce vkládání. Funkce pozorování ${ displaystyle alpha}$ musí být dvakrát diferencovatelné a přiřadit skutečné číslo libovolnému bodu atraktoru ${ displaystyle A}$ . Musí také být typický, takže jeho derivát má úplnou hodnost a nemá ve svých složkách žádné zvláštní symetrie. Věta o zpoždění vložení uvádí, že funkce

{ displaystyle phi _ {T} (x) = vlevo ( alfa (x), alfa vlevo (f (x) vpravo), tečky, alfa vlevo (f ^ {k-1} (x) vpravo) vpravo)}

je vložení podivného atraktoru ${ displaystyle A}$ .

Zjednodušená, mírně nepřesná verze

Předpokládejme ${ displaystyle d}$ -dimenzionální stavový vektor ${ displaystyle x_ {t}}$ se vyvíjí podle neznámé, ale spojité a (rozhodující) deterministické dynamiky. Předpokládejme také, že ten jednorozměrný pozorovatelný ${ displaystyle y}$ je hladká funkce ${ displaystyle x}$ a „spojen“ se všemi součástmi ${ displaystyle x}$ . Nyní se můžeme kdykoli podívat nejen na současné měření ${ displaystyle y (t)}$ , ale také při pozorováních, která se od nás občas odstranila násobky nějakého zpoždění ${ displaystyle tau: y_ {t- tau}, y_ {t-2 tau}}$ atd. Pokud použijeme ${ displaystyle k}$ zaostává, máme ${ displaystyle k}$ -dimenzionální vektor. Dalo by se očekávat, že se zvyšujícím se počtem zpoždění bude pohyb v zaostávaném prostoru více a předvídatelnější a možná v limitu ${ displaystyle k to infty}$ by bylo definitivní. Dynamika zpožděných vektorů byla ve skutečnosti konečná v konečné dimenzi; nejen to, ale deterministická dynamika je zcela ekvivalentní těm v původním stavovém prostoru (přesněji řečeno, souvisí s hladkou, invertibilní změnou souřadnic nebo diffeomorfismem.) Dimenze magického vkládání ${ displaystyle k}$ je nejvíc ${ displaystyle 2d + 1}$ , a často méně.^[1]

Viz také

Reference

^ Shalizi, Cosma R. (2006). „Metody a techniky vědy o komplexních systémech: přehled“. V Deisboeck, ThomasS; Kresh, J. Yasha (eds.). Věda o komplexních systémech v biomedicíně. Témata v mezinárodní knižní sérii o biomedicínském inženýrství. Springer USA. str.33 –114. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6.

Další čtení

Packard, J. Crutchfield, D. Farmář a R. Shaw (1980). "Geometrie z časové řady". Dopisy o fyzické kontrole. 45 (9): 712–716. Bibcode:1980PhRvL..45..712P. doi:10.1103 / PhysRevLett.45.712.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
F. Převzato (1981). "Detekce podivných atraktorů v turbulenci". v D. A. Rand a L.-S. Mladá (vyd.). Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, sv. 898. Springer-Verlag. 366–381.
R. Mañé (1981). "O dimenzi kompaktních invariantních sad určitých nelineárních map". V D. A. Rand a L.-S. Young (vyd.). Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, sv. 898. Springer-Verlag. str. 230–242.
G. Sugihara a R.M. Smět (1990). "Nelineární předpovídání jako způsob rozlišení chaosu od chyby měření v časové řadě". Příroda. 344 (6268): 734–741. Bibcode:1990 Natur.344..734S. doi:10.1038 / 344734a0. PMID 2330029.
Tim Sauer, James A. Yorke, a Martin Casdagli (1991). „Embedologie“. Žurnál statistické fyziky. 65 (3–4): 579–616. Bibcode:1991JSP .... 65..579S. doi:10.1007 / BF01053745.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
G. Sugihara (1994). "Nelineární předpovědi pro klasifikaci přirozených časových řad". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 348 (1688): 477–495. Bibcode:1994RSPTA.348..477S. doi:10.1098 / rsta.1994.0106.
P.A. Dixone, M. J. Milicich, a G. Sugihara (1999). "Epizodické výkyvy v zásobách larev". Věda. 283 (5407): 1528–1530. Bibcode:1999Sci ... 283.1528D. doi:10.1126 / science.283.5407.1528. PMID 10066174.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
G. Sugihara, M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon a G. Holland (1999). „Mapy zbytkového zpoždění odhalují globální vzorce nelinearity atmosféry a vytvářejí vylepšené místní předpovědi“. PNAS. 96 (25): 210–215. Bibcode:1999PNAS ... 9614210S. doi:10.1073 / pnas.96.25.14210. PMC 24416. PMID 10588685.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). „Rozlišování náhodných výkyvů prostředí od ekologických katastrof pro severní Tichý oceán“. Příroda. 435 (7040): 336–340. Bibcode:2005 Natur.435..336H. doi:10.1038 / nature03553. PMID 15902256.
R. A. Rios, L. Parrott, H. Lange a R. F. de Mello (2015). "Odhad míry determinismu k detekci vzorů v geoprostorových datových sadách". Dálkový průzkum prostředí. 156: 11–20. Bibcode:2015RSEnv.156 ... 11R. doi:10.1016 / j.rse.2014.09.019.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

externí odkazy

Rekonstrukce atraktorů (scholarpedia)
[1] Produkt ChaosKit společnosti Scientio využívá vkládání k vytváření analýz a předpovědí. Přístup je poskytován online prostřednictvím webové služby a grafického rozhraní.

[1] Shalizi, Cosma R. (2006). „Metody a techniky vědy o komplexních systémech: přehled“. V Deisboeck, ThomasS; Kresh, J. Yasha (eds.). Věda o komplexních systémech v biomedicíně. Témata v mezinárodní knižní sérii o biomedicínském inženýrství. Springer USA. str.33 –114. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6.

[1]