Mackey-Glassovy rovnice - Mackey-Glass equations

v matematika a matematická biologie, Mackey-Glassovy rovnice, pojmenoval podle Michael Mackey a Leon Glass, odkazují na rodinu zpožďovací diferenciální rovnice jehož chování dokáže napodobit zdravé i patologické chování v určitých biologických kontextech, řízené parametry rovnice.^[1] Původně byly použity k modelování odchylek v relativním množství zralých buňky v krvi. Rovnice jsou definovány jako:^[1]^[2]

{ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = { frac { beta _ {0} theta ^ {n}} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} - gamma P (t)}

(Rov. 1)

a

{ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = { frac { beta _ {0} theta ^ {n} P (t- tau)} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} - gamma P (t)}

(Rov. 2)

kde ${ displaystyle P (t)}$ představuje hustotu buněk v čase a ${ displaystyle beta _ {0}, theta, n, tau, gamma}$ jsou parametry rovnic.

Rovnice (2), je zvláště pozoruhodný v dynamické systémy protože to může mít za následek chaotické atraktory s různými rozměry.^[3]

Úvod

Časové řady generované z Mackey-Glassových rovnic. To lze považovat za modelování zdravé variace hustoty krevních buněk. Tady,

{ displaystyle tau = 6}

.

Generováno také z Mackey-Glassových rovnic, ale nyní je lze považovat za patologickou změnu hustoty krevních buněk. Tady,

{ displaystyle tau = 22}

.

Existuje enormní počet fyziologické systémy , které zahrnují nebo se spoléhají na periodické chování určitých dílčích složek Systém.^[4] Například mnoho homeostatické procesy spolehnout se na negativní zpětná vazba kontrolovat koncentraci látek v krvi; dýchání je například podporován detekcí vysokého CO mozkem₂ koncentrace v krvi.^[5] Jedním ze způsobů, jak tyto systémy matematicky modelovat, je následující jednoduchý obyčejná diferenciální rovnice:

{ displaystyle y '(t) = k-cy (t)}

kde ${ displaystyle k}$ je rychlost, při které se "látka" vyrábí, a ${ displaystyle c}$ řídí, jak je aktuální úroveň látky odrazuje pokračování jeho výroby. Řešení této rovnice lze najít pomocí integrační faktor a mít podobu:

{ displaystyle y (t) = { frac {k} {c}} + f (y_ {0}) e ^ {- cy}}

kde ${ displaystyle y_ {0}}$ je jakákoli počáteční podmínka pro problém počáteční hodnoty.

Výše uvedený model však předpokládá, že změny v koncentraci látky jsou detekovány okamžitě, což ve fyziologických systémech často neplatí. Abychom tento problém zmírnili, Mackey, M.C. & Glass, L. (1977) navrhla změnu rychlosti produkce na funkci ${ displaystyle k (y (t- tau))}$ koncentrace v dřívějším bodě ${ displaystyle t- tau}$ včas, v naději, že by to lépe odráželo skutečnost, že před kostní dřeň produkuje a uvolňuje zralé buňky v krvi po zjištění nízké koncentrace buněk v krvi.^[6] Tím, že vezmeme míru produkce ${ displaystyle k}$ jako:

{ displaystyle { frac { beta _ {0} theta ^ {n}} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} ~~ { text {nebo}} ~~ { frac { beta _ {0} theta ^ {n} P (t- tau)} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}}}

získáváme rovnice (1) a (2), v uvedeném pořadí. Hodnoty používané Mackey, M.C. & Glass, L. (1977) byly ${ displaystyle gamma = 0,1}$ , ${ displaystyle beta _ {0} = 0,2}$ a ${ displaystyle n = 10}$ , s počátečním stavem ${ displaystyle P (0) = 0,1}$ . Hodnota ${ displaystyle theta}$ není relevantní pro účely analýzy dynamiky rovnice (2), protože změna proměnné ${ displaystyle P (t) = theta cdot Q (t)}$ redukuje rovnici na:

{ displaystyle Q '(t) = { frac { beta _ {0} Q (t- tau)} {1 + Q (t- tau) ^ {n}}} - gamma Q (t) .}

To je důvod, proč v této souvislosti často dochází ke spiknutí ${ displaystyle Q (t) = P (t) / theta}$ v ${ displaystyle y}$ -osa.

Dynamické chování

Mackey-Glass Atraktory pro různé hodnoty parametru

{ displaystyle tau}

Je zajímavé studovat chování řešení rovnice, když ${ displaystyle tau}$ se mění, protože představuje čas potřebný fyziologickému systému na reakci na změnu koncentrace látky. Zvýšení tohoto zpoždění může být způsobeno a patologie, což může vést k chaotickému řešení Mackey-Glassových rovnic, zejména rovnice (2). Když ${ displaystyle tau = 6}$ , získáváme velmi pravidelné periodické řešení, které lze považovat za charakterizaci „zdravého“ chování; na druhou stranu, když ${ displaystyle tau = 22}$ řešení je mnohem nevyzpytatelnější.

Mackey-Glass atraktor lze vizualizovat vykreslením párů ${ displaystyle (P (t), P (t- tau), P (t-2 tau))}$ .^[2] To je poněkud oprávněné, protože zpožďovací diferenciální rovnice lze (někdy) redukovat na systém obyčejné diferenciální rovnice, a také proto, že jsou přibližně nekonečně rozměrné mapy.^[3]^[7]

Reference

^ ^A ^b Mackey, M.C .; Glass, L. (1977). "Oscilace a chaos ve fyziologických řídicích systémech". Věda. 197 (4300): 287–9. Bibcode:1977Sci ... 197..287M. doi:10.1126 / science.267326. PMID 267326.
^ ^A ^b „Mackey-Glassova rovnice“. Demonstrační projekt Wolfram. Citováno 10. srpna 2020.
^ ^A ^b Kantz, H .; Schreiber, T. (2004). Nelineární analýza časových řad. 7. Cambridge University Press.
^ Glass, L. (2001). "Synchronizace a rytmické procesy ve fyziologii". Příroda. 410 (6825): 277–84. Bibcode:2001 Natur.410..277G. doi:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.
^ Specht, H .; Fruhmann, G. (1972). "Výskyt periodického dýchání u 2 000 subjektů bez plicních nebo neurologických onemocnění". Bulletin de physio-patologie respiratoire. 8 (5): 1075.
^ Rubin, R .; Strayer, D.S .; Rubin, E. (2008). Rubinova patologie: klinicko-patologické základy medicíny. Lippincott Williams & Wilkins.
^ Junges, L .; Gallas, J.A. (2012). „Složité cesty k chaosu v systému zpožděné zpětné vazby Mackey – Glass“. Fyzikální písmena A. 376 (30–31): 2109–2116. Bibcode:2012PhLA..376.2109J. doi:10.1016 / j.physleta.2012.05.022.

Viz také

[mackey-glass-1] A ^b Mackey, M.C .; Glass, L. (1977). "Oscilace a chaos ve fyziologických řídicích systémech". Věda. 197 (4300): 287–9. Bibcode:1977Sci ... 197..287M. doi:10.1126 / science.267326. PMID 267326.

[wolfram-2] A ^b „Mackey-Glassova rovnice“. Demonstrační projekt Wolfram. Citováno 10. srpna 2020.

[kantz-3] A ^b Kantz, H .; Schreiber, T. (2004). Nelineární analýza časových řad. 7. Cambridge University Press.

[4] Glass, L. (2001). "Synchronizace a rytmické procesy ve fyziologii". Příroda. 410 (6825): 277–84. Bibcode:2001 Natur.410..277G. doi:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.

[5] Specht, H .; Fruhmann, G. (1972). "Výskyt periodického dýchání u 2 000 subjektů bez plicních nebo neurologických onemocnění". Bulletin de physio-patologie respiratoire. 8 (5): 1075.

[6] Rubin, R .; Strayer, D.S .; Rubin, E. (2008). Rubinova patologie: klinicko-patologické základy medicíny. Lippincott Williams & Wilkins.

[7] Junges, L .; Gallas, J.A. (2012). „Složité cesty k chaosu v systému zpožděné zpětné vazby Mackey – Glass“. Fyzikální písmena A. 376 (30–31): 2109–2116. Bibcode:2012PhLA..376.2109J. doi:10.1016 / j.physleta.2012.05.022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]