Bakers mapa - Bakers map - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (červen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Příklad a opatření to je neměnné v důsledku akce (neotočené) pekařské mapy: an invariantní míra. Aplikace mapy pekaře na tento obrázek má vždy za následek přesně stejný obrázek.

v teorie dynamických systémů, pekařská mapa je chaotický mapa z jednotkového čtverce do sebe. Je pojmenována po a hnětení operace, která pekaři naneste na těsto: těsto se rozkrojí na polovinu, obě poloviny se na sebe naskládají a stlačí.

Mapu pekaře lze chápat jako dvoustrannou operátor směny bi-nekonečného dvoustavy mřížový model. Mapa pekaře je topologicky konjugovat do mapa podkovy. v fyzika, lze k modelování deterministických použít řetězec spojených pekářských map difúze.

Stejně jako u mnoha deterministických dynamických systémů je mapa pekaře studována jeho působením na prostor funkcí definovaných na jednotkovém čtverci. Mapa pekaře definuje operátora v prostoru funkcí, známém jako operátor přenosu mapy. Mapa pekaře je přesně řešitelné model deterministický chaos, v tom vlastní funkce a vlastní čísla provozovatele převodu lze výslovně určit.

Formální definice

Existují dvě alternativní definice pekařské mapy, které se běžně používají. Jedna definice přeloží nebo otočí jednu z nakrájených polovin, než se k ní připojí (podobně jako mapa podkovy ) a druhý ne.

Složená mapa pekaře působí na čtvereček jednotky jako

${ displaystyle S _ { text {baker-folded}} (x, y) = { begin {cases} (2x, y / 2) & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1 } {2}} (2-2x, 1-y / 2) & { text {for}} { frac {1} {2}} leq x <1. end {cases}}}$

Pokud není horní část přeložena, může být mapa zapsána jako

${ displaystyle S _ { text {baker-unfolded}} (x, y) = left (2x- left lfloor 2x right rfloor ,, , { frac {y + left lfloor 2x right rfloor} {2}} vpravo).}$

Skládaná pekařská mapa je dvourozměrný analog stanová mapa

${ displaystyle S _ { mathrm {tent}} (x) = { begin {cases} 2x & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1} {2}} 2 (1- x) & { text {for}} { frac {1} {2}} leq x <1 end {cases}}}$

zatímco rozložená mapa je analogická s Satelitní mapa Bernoulli. Obě mapy jsou topologicky sdružené. Mapu Bernoulli lze chápat jako mapu, která postupně skáče číslice od dyadické expanze X. Na rozdíl od mapy stanu je mapa pekaře invertibilní.

Vlastnosti

Pekařská mapa zachovává dvojrozměrnost Lebesgueovo opatření.

Opakovaná aplikace mapy pekaře na body zbarvené červeně a modře, původně oddělené. Po několika iteracích se červené a modré body zdají být zcela smíšené.

Mapa je silné míchání a to je topologicky míchat.

The operátor přenosu ${ displaystyle U}$ mapuje funkce jednotkového čtverce na další funkce na jednotkovém čtverci; je to dáno

${ displaystyle left [Uf right] (x, y) = (f circ S ^ {- 1}) (x, y).}$

Přehrát média

Čtverec počátečních jednotek je nahoře a dole ukazuje výsledek, když je čtverec tažen zleva doprava.

Provozovatel přenosu je unitární na Hilbertův prostor z čtvercově integrovatelné funkce na jednotkovém čtverci. Spektrum je spojité a protože operátor je jednotný, vlastní čísla leží na jednotkovém kruhu. Provozovatel přenosu není v prostoru jednotný ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {x} další L_ {y} ^ {2}}$ funkcí polynomiální v první souřadnici a čtvercově integrovatelná v druhé. V tomto prostoru má diskrétní, nejednotné, rozpadající se spektrum.

Jako operátor směny

Mapu pekaře lze chápat jako oboustrannou operátor směny na symbolická dynamika jednorozměrné mřížky. Zvažte například bi-nekonečný řetězec

${ displaystyle sigma = left ( ldots, sigma _ {- 2}, sigma _ {- 1}, sigma _ {0}, sigma _ {1}, sigma _ {2}, ldots right)}$

kde každá pozice v řetězci může nabývat jedné ze dvou binárních hodnot ${ displaystyle sigma _ {k} v {0,1 }}$. Akce operátoru posunu na tento řetězec je

${ displaystyle tau ( ldots, sigma _ {k}, sigma _ {k + 1}, sigma _ {k + 2}, ldots) = ( ldots, sigma _ {k-1} , sigma _ {k}, sigma _ {k + 1}, ldots)}$

to znamená, že každá poloha mřížky je posunuta o jednu doleva. Bi-nekonečný řetězec může být reprezentován dvěma reálnými čísly ${ displaystyle 0 leq x, y leq 1}$ tak jako

${ displaystyle x ( sigma) = součet _ {k = 0} ^ { infty} sigma _ {- k} 2 ^ {- (k + 1)}}$

a

${ displaystyle y ( sigma) = součet _ {k = 0} ^ { infty} sigma _ {k + 1} 2 ^ {- (k + 1)}.}$

V tomto znázornění má operátor směny formulář

${ displaystyle tau (x, y) = levý (2x- levý lfloor 2x pravý rfloor ,, , { frac {y + levý lfloor 2x pravý rfloor} {2}} že jo)}$

což je vidět na nepřeložené pekařské mapě uvedené výše.

Viz také

• Bernoulliho proces

Reference

• Hiroshi H. Hasagawa a William C. Saphir (1992). "Unitarita a nevratnost v chaotických systémech". Fyzický přehled A. 46: 7401. CiteSeerX  10.1.1.31.9775. doi:10.1103 / PhysRevA.46.7401.
• Ronald J. Fox, „Konstrukce základny Jordánu pro mapu Baker“, Chaos, 7 p 254 (1997) doi:10.1063/1.166226
• Děkan J. Driebe, Plně chaotické mapy a zlomená časová symetrie, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Nizozemsko ISBN  0-7923-5564-4 (Expozice vlastních funkcí, Bakerova mapa).