Kyvný stroj Atwoods - Swinging Atwoods machine - Wikipedia

Stroj Swinging Atwood. Menší hmota, označená m, se může volně houpat, zatímco větší hmota, M, se může pohybovat pouze nahoru a dolů. Předpokládejme, že otočné čepy jsou body.

The houpající se Atwoodovým strojem (SAM) je mechanismus, který se podobá jednoduchému Atwoodův stroj kromě toho, že jedné z hmot je dovoleno houpat se v dvourozměrné rovině a vytvářet dynamický systém to je chaotický pro některé parametry systému a počáteční podmínky.

Konkrétně obsahuje dvě hmoty (kyvadlo, hmotnost ${ displaystyle m}$ a protizávaží, hmotnost ${ displaystyle M}$ ) propojený pomocí neroztažitelné, bezhmotná struna zavěšená na dvou bez tření kladky nulového poloměru tak, aby se kyvadlo mohlo volně otáčet kolem své kladky, aniž by narazilo do protizávaží.^[1]

Konvenční stroj Atwood umožňuje pouze „uprchlá“ řešení (tj. buď kyvadlo, nebo protizávaží nakonec narazí na jeho kladku), kromě ${ displaystyle M = m}$ . Houpající se Atwoodův stroj však byl ${ displaystyle M> m}$ má velký prostor parametrů stavů, které vedou k různým pohybům, které lze klasifikovat jako ukončující nebo nekončící, periodické, kvaziperiodické nebo chaotické, omezené nebo neomezené, singulární nebo nesingulární^[1]^[2] kvůli kyvadlu jalová odstředivá síla vyvažování hmotnosti protizávaží.^[1] Výzkum SAM byl zahájen jako součást diplomové práce z roku 1982 s názvem Úsměvy a slzy (s odkazem na tvar některých trajektorií systému) o Nicholas Tufillaro na Reed College, režie David J. Griffiths.^[3]

Pohybové rovnice

Pohyb výkyvného Atwoodova stroje pro M / m = 4,5

Kyvný stroj Atwood je systém se dvěma stupni volnosti. Můžeme odvodit jeho pohybové rovnice pomocí obou Hamiltoniánská mechanika nebo Lagrangian mechanika. Nechte houpat hmotu ${ displaystyle m}$ a nekývající se hmota ${ displaystyle M}$ . Kinetická energie systému, ${ displaystyle T}$ , je:

{ displaystyle { begin {aligned} T & = { frac {1} {2}} Mv_ {M} ^ {2} + { frac {1} {2}} mv_ {m} ^ {2} & = { frac {1} {2}} M { dot {r}} ^ {2} + { frac {1} {2}} m left ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} right) end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle r}$ je vzdálenost kyvné hmoty od jejího čepu a ${ displaystyle theta}$ je úhel kyvné hmoty vzhledem k přímému směřování dolů. Potenciální energie ${ displaystyle U}$ je výhradně kvůli gravitační zrychlení:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} U & = Mgr-mgr cos { theta} end {zarovnáno}}}

Můžeme pak zapsat lagrangické, ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ a Hamiltonian, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ systému:

{ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} & = TU & = { frac {1} {2}} M { dot {r}} ^ {2} + { frac { 1} {2}} m left ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} right) -Mgr + mgr cos { theta} { mathcal {H}} & = T + U & = { frac {1} {2}} M { dot {r}} ^ {2} + { frac {1} { 2}} m left ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} right) + Mgr-mgr cos { theta} konec {zarovnáno}}}

Potom můžeme Hamiltonián vyjádřit kanonickým momentem, ${ displaystyle p_ {r}}$ , ${ displaystyle p _ { theta}}$ :

{ displaystyle { begin {zarovnaný} p_ {r} & = { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný { dot {r}}}} = { frac { částečný T} { částečné { dot {r}}}} = (M + m) { dot {r}} p _ { theta} & = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečný { dot { theta}}}} = { frac { částečný T} { částečný { dot { theta}}}}} = mr ^ {2} { dot { theta}} proto { mathcal {H}} & = { frac {p_ {r} ^ {2}} {2 (M + m)}} + { frac {p _ { theta} ^ {2}} {2mr ^ {2}}} + Mgr-mgr cos { theta} end {zarovnáno}}}

Lagrangeovu analýzu lze použít k získání dvou spojených obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu v ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle theta}$ . Nejprve ${ displaystyle theta}$ rovnice:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné theta}} & = { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný { dot { theta}}}} pravý) - mgr sin { theta} & = 2mr { dot {r}} { dot { theta}} + mr ^ {2} { ddot { theta}} r { ddot { theta}} + 2 { dot {r}} { dot { theta}} + g sin { theta} & = 0 end {zarovnáno}}}

A ${ displaystyle r}$ rovnice:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné r}} & = { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečný { dot {r}}}} pravý) mr { dot { theta}} ^ {2} -Mg + mg cos { theta} & = (M + m) { ddot {r}} end {zarovnáno}}}

Rovnice zjednodušujeme definováním hmotnostního poměru ${ displaystyle mu = { frac {M} {m}}}$ . Výše uvedené se pak stává:

{ displaystyle ( mu +1) { ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2} + g ( mu - cos { theta}) = 0}

Hamiltoniánskou analýzu lze také použít k určení čtyř ODR prvního řádu z hlediska ${ displaystyle r}$ , ${ displaystyle theta}$ a jejich odpovídající kanonické momenty ${ displaystyle p_ {r}}$ a ${ displaystyle p _ { theta}}$ :

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { dot {r}} & = { frac { částečné { mathcal {H}}} { částečné {p_ {r}}}}} = { frac {p_ { r}} {M + m}} { dot {p_ {r}}} & = - { frac { částečný { mathcal {H}}} { částečný {r}}} = { frac {p _ { theta} ^ {2}} {mr ^ {3}}} - Mg + mg cos { theta} { dot { theta}} & = { frac { partial { mathcal {H}}} { částečné {p _ { theta}}}} = { frac {p _ { theta}} {mr ^ {2}}} { dot {p _ { theta}}} & = - { frac { částečné { mathcal {H}}} { částečné { theta}}} = - mgr sin { theta} end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že v obou těchto derivacích, pokud jeden nastaví ${ displaystyle theta}$ a úhlová rychlost ${ displaystyle { dot { theta}}}$ na nulu, výsledný speciální případ je pravidelné nekývání Stroj Atwood:

{ displaystyle { ddot {r}} = g { frac {1- mu} {1+ mu}} = g { frac {m-M} {m + M}}}

Kyvný Atwoodův stroj má čtyřrozměrný fázový prostor definován ${ displaystyle r}$ , ${ displaystyle theta}$ a jejich odpovídající kanonické momenty ${ displaystyle p_ {r}}$ a ${ displaystyle p _ { theta}}$ . Kvůli zachování energie je však fázový prostor omezen do tří dimenzí.

Systém s masivními kladkami

Pokud jsou kladky v systému považovány za moment setrvačnosti ${ displaystyle I}$ a poloměr ${ displaystyle R}$ , Hamiltonián SAM je pak:^[4]

{ displaystyle { mathcal {H}} left (r, theta, { dot {r}}, { dot { theta}} right) = underbrace {{ frac {1} {2} } M_ {t} left (R { dot { theta}} - { dot {r}} right) ^ {2} + { frac {1} {2}} mr ^ {2} { tečka { theta}} ^ {2}} _ {T} + podpažba {gr doleva (Mm cos { theta} doprava) + gR doleva (m sin { theta} -M theta vpravo)} _ {U},}

Kde M_t je efektivní celková hmotnost systému,

{ displaystyle M_ {t} = M + m + { frac {I} {R ^ {2}}}}

To se snižuje na výše uvedenou verzi, když ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle I}$ stát se nula. Pohybové rovnice jsou nyní:^[4]

{ displaystyle { begin {aligned} mu _ {t} ({ ddot {r}} - R { ddot { theta}}) & = r { dot { theta}} ^ {2} + g ( cos { theta} - mu) r { ddot { theta}} & = - 2 { dot {r}} { dot { theta}} + R { dot { theta }} ^ {2} -g sin { theta} konec {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle mu _ {t} = M_ {t} / m}$ .

Integrovatelnost

Hamiltonovské systémy lze klasifikovat jako integrovatelný a nezačlenitelné. SAM je integrovatelný, když je hmotnostní poměr ${ displaystyle mu = M / m = 3}$ .^[5] Systém také vypadá docela pravidelně ${ displaystyle mu = 4n ^ {2} -1 = 3,15,35, ...}$ , ale ${ displaystyle mu = 3}$ případ je jediný známý integrovatelný hmotnostní poměr. Ukázalo se, že systém není integrovatelný pro ${ Displaystyle mu in (0,1) cup (3, infty)}$ .^[6] U mnoha dalších hodnot hmotnostního poměru (a počátečních podmínek) se zobrazí SAM chaotický pohyb.

Numerické studie naznačují, že když je oběžná dráha singulární (počáteční podmínky: ${ displaystyle r = 0, { dot {r}} = v, theta = theta _ {0}, { dot { theta}} = 0}$ ), kyvadlo provede jedinou symetrickou smyčku a vrátí se k počátku bez ohledu na hodnotu ${ displaystyle theta _ {0}}$ . Když ${ displaystyle theta _ {0}}$ je malá (téměř svislá), trajektorie popisuje „slzu“, když je velká, popisuje „srdce“. Tyto trajektorie lze přesně vyřešit algebraicky, což je u systému s nelineárním hamiltoniánem neobvyklé.^[7]

Trajektorie

Houpající se hmota houpajícího se Atwoodova stroje prochází zajímavými trajektoriemi nebo oběžnými drahami, když jsou vystaveny různým počátečním podmínkám a různým hmotnostním poměrům. Patří mezi ně periodické dráhy a kolize dráhy.

Nesmyslné dráhy

Za určitých podmínek systém vykazuje komplexní harmonický pohyb.^[1] Dráha se nazývá nesmyslná, pokud se houpající se hmota nedotkne kladky.

Výběr nesingulárních oběžných drah

Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 2}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 3}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 5}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 6}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 16}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 19}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 21}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 24}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.

Periodické dráhy

Dráhy typu A pro

{ displaystyle theta _ {0}}

v rozmezí od 0,1 do 3,1.

Když jsou různé harmonické složky v systému ve fázi, je výsledná trajektorie jednoduchá a periodická, například trajektorie „úsměvu“, která se podobá běžné kyvadlo a různé smyčky.^[3]^[8] Periodická oběžná dráha obecně existuje, pokud je splněno následující:^[1]

{ Displaystyle r (t + tau) = r (t), , theta (t + tau) = theta (t)}

Nejjednodušším případem periodických oběžných drah je oběžná dráha „úsměvu“, kterou Tufillaro nazval Typ A obíhá ve svém příspěvku z roku 1984.^[1]

Výběr periodických drah

„Úsměvová“ dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 1,665}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 2,394}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 1,1727}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 1,555}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.

Singulární oběžné dráhy

Pohyb je singulární, pokud v určitém bodě prochází houpající se hmota počátkem. Protože systém je neměnný pod časovým převrácením a překladem se dá říci, že kyvadlo začíná u počátku a je odpalováno směrem ven:^[1]

{ displaystyle r (0) = 0}

Oblast v blízkosti čepu je singulární, protože ${ displaystyle r}$ je blízko k nule a pohybové rovnice vyžadují dělení ${ displaystyle r}$ . Proto je nutné k důkladné analýze těchto případů použít speciální techniky.^[9]

Následuje graf libovolně vybraných singulárních drah.

Výběr singulárních drah

Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 10}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.
Dráha houpajícího se Atwoodova stroje pro ${ displaystyle mu = 25}$ , ${ displaystyle theta _ {0} = { frac { pi} {2}}}$ a nulová počáteční rychlost.

Kolize na oběžné dráze

Dráhy typu B pro

{ displaystyle theta _ {0}}

v rozmezí od 0,1 do 3,1.

Kolize (nebo ukončení singulárních) oběžných drah jsou podmnožinou singulárních oběžných drah vytvořených, když je houpající se hmota vysunuta z otočného čepu počáteční rychlostí, takže se vrací do otočného čepu (tj. Koliduje s otočným čepem):

{ displaystyle r ( tau) = r (0) = 0, , tau> 0}

Nejjednodušším případem kolizních drah jsou ty s hmotnostním poměrem 3, které se po vysunutí z počátku vždy vrátí symetricky k počátku a byly pojmenovány Typ B oběžné dráhy v původním příspěvku Tufillaro.^[1] Oni byli také odkazoval se na jako slza, srdce nebo králičí ucho oběžné dráhy kvůli jejich vzhledu.^[3]^[7]^[8]^[9]

Když se houpající se hmota vrátí do počátku, hmota protizávaží, ${ displaystyle M}$ musí okamžitě změnit směr, což způsobí nekonečné napětí ve spojovacím řetězci. Můžeme tedy uvažovat, že pohyb je v tuto chvíli ukončen.^[1]

Ohraničenost

U jakékoli počáteční polohy je možné ukázat, že kývavá hmota je ohraničena křivkou, která je a kuželovitý řez.^[2] Otočný čep je vždy a soustředit se této ohraničující křivky. Rovnici pro tuto křivku lze odvodit analýzou energie systému a použitím úspory energie. Předpokládejme to ${ displaystyle m}$ se uvolní z klidu v ${ displaystyle r = r_ {0}}$ a ${ displaystyle theta = theta _ {0}}$ . Celková energie systému je tedy:

{ displaystyle E = { frac {1} {2}} M { dot {r}} ^ {2} + { frac {1} {2}} m vlevo ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} right) + Mgr-mgr cos { theta} = Mgr_ {0} -mgr_ {0} cos { theta _ {0}}}

Všimněte si však, že v hraničním případě je rychlost kmitající hmoty nulová.^[2] Proto máme:

{ displaystyle Mgr-mgr cos { theta} = Mgr_ {0} -mgr_ {0} cos { theta _ {0}}}

Abychom zjistili, že jde o rovnici kuželosečky, izolováme pro ${ displaystyle r}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} r & = { frac {h} {1 - { frac { cos { theta}} { mu}}}} h & = r_ {0} left (1 - { frac { cos { theta _ {0}}} { mu}} right) end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že čitatel je v tomto případě konstanta závislá pouze na počáteční poloze, protože jsme předpokládali, že počáteční podmínka je v klidu. Energetická konstanta ${ displaystyle h}$ lze také vypočítat pro nenulovou počáteční rychlost a rovnice stále platí ve všech případech.^[2] The excentricita kuželosečky je ${ displaystyle { frac {1} { mu}}}$ . Pro ${ displaystyle mu> 1}$ , toto je elipsa, a systém je ohraničený a houpající se hmota vždy zůstává uvnitř elipsy. Pro ${ displaystyle mu = 1}$ , je to parabola a pro ${ displaystyle mu <1}$ je to hyperbola; v žádném z těchto případů není omezený. Tak jako ${ displaystyle mu}$ libovolně zvětší, ohraničující křivka se přiblíží kružnici. Oblast ohraničená křivkou je známá jako oblast Hill.^[2]

Nedávné trojrozměrné rozšíření

V roce 2016 bylo oznámeno nové integrovatelné řešení problému trojrozměrného stroje Swinging Atwood Machine (3D-SAM).^[10] Stejně jako 2D verze je problém integrovatelný, když ${ displaystyle M = 3m}$ .

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Tufillaro, Nicholas B .; Abbott, Tyler A .; Griffiths, David J. (1984). "Swinging Atwood's Machine". American Journal of Physics. 52 (10): 895–903. Bibcode:1984AmJPh..52..895T. doi:10.1119/1.13791.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Tufillaro, Nicholas B .; Nunes, A .; Casasayas, J. (1988). „Neomezené oběžné dráhy kyvného Atwoodova stroje“. American Journal of Physics. 56: 1117. Bibcode:1988AmJPh..56.1117T. doi:10.1119/1.15774.
^ ^A ^b ^C Tufillaro, Nicholas B. (1982). Úsměvy a slzy (Teze). Reed College.
^ ^A ^b Pujol, Olivier; Perez, J.P .; Simo, C .; Simon, S .; Weil, J.A. (2010). „Swinging Atwood's Machine: Experimentální a numerické výsledky a teoretická studie“. Physica D. 239 (12): 1067–1081. arXiv:0912.5168. Bibcode:2010PhyD..239.1067P. doi:10.1016 / j.physd.2010.02.017.
^ Tufillaro, Nicholas B. (1986). „Integrable motion of a swing Atwood's machine“. American Journal of Physics. 54 (2): 142. Bibcode:1986AmJPh..54..142T. doi:10.1119/1.14710.
^ Casasayas, J .; Nunes, A .; Tufillaro, N. (1990). „Swinging Atwood's Machine: integrability and dynamics“. Journal de Physique. 51 (16): 1693–1702. doi:10.1051 / jphys: 0199000510160169300. ISSN 0302-0738.
^ ^A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1994). "Slza a srdce obíhají na houpajícím se stroji Atwoods,". American Journal of Physics. 62 (3): 231–233. arXiv:chao-dyn / 9302006. Bibcode:1994AmJPh..62..231T. doi:10.1119/1.17602.
^ ^A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1985). „Pohyby kyvného Atwoodova stroje“. Journal de Physique. 46 (9): 1495–1500. doi:10.1051 / jphys: 019850046090149500.
^ ^A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1985). „Kolize na orbitě houpajícího se Atwoodova stroje“ (PDF). Journal de Physique. 46: 2053–2056. doi:10.1051 / jphys: 0198500460120205300.
^ Elmandouh, A.A. (2016). „O integrovatelnosti pohybu stroje 3D Swinging Atwood a souvisejících problémech“. Fyzikální písmena A. 380: 989. Bibcode:2016PhLA..380..989E. doi:10.1016 / j.physleta.2016.01.021.

Další čtení

Almeida, M.A., Moreira, I.C. a Santos, FC (1998) „Ziglin-Yoshidova analýza pro některé třídy homogenních hamiltonovských systémů“, Brazilian Journal of Physics Vol.28 n.4 São Paulo Dec.
Barrera, Emmanuel Jan (2003) Dynamika stroje Doublewood Swing Atwood, B.S. Diplomová práce, Národní fyzikální ústav, Filipínská univerzita.
Babelon, O, M. Talon, MC Peyranere (2010), „Kowalevského analýza kyvného Atwoodova stroje,“ Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Sv. 43 (8).
Bruhn, B. (1987) „Chaos a pořádek ve slabě spřažených systémech nelineárních oscilátorů,“ Physica Scripta Vol.35 (1).
Casasayas, J., N. B. Tufillaro a A. Nunes (1989) „Infinity manifold of a swing Atwood's machine,“ European Journal of Physics Vol.10 (10), str. 173.
Casasayas, J, A. Nunes a N. B. Tufillaro (1990) „Swinging Atwood's machine: integrability and dynamics,“ Journal de Physique Vol.51, str. 1693.
Chowdhury, A. Roy a M. Debnath (1988) „Swinging Atwood Machine. Far- and near-rezonance region“, International Journal of Theoretical Physics, Sv. 27 (11), p1405-1410.
Griffiths D. J. a T. A. Abbott (1992) „Komentář k„ „Překvapující ukázka mechaniky“, „“ American Journal of Physics Vol.60 (10), p951-953.
Moreira, I.C. a M.A. Almeida (1991) „Noetherovy symetrie a stroj Swinging Atwood“, Journal of Physics II Francie 1, p711-715.
Nunes, A., J. Casasayas a N. B. Tufillaro (1995) „Periodické dráhy integrovatelného kyvného Atwoodova stroje,“ American Journal of Physics Vol.63 (2), p121-126.
Ouazzani-T.H., A. a Ouzzani-Jamil, M., (1995) „Bifurkace Liouville tori integrovatelného případu houpání Atwoodova stroje,“ Il Nuovo Cimento B Sv. 110 (9).
Olivier, Pujol, JP Perez, JP Ramis, C. Simo, S. Simon, JA Weil (2010), „Swinging Atwood's Machine: Experimentální a numerické výsledky a teoretická studie“ Physica D 239, s. 1067–1081.
Sears, R. (1995) „Komentář k„ Překvapivé ukázce mechaniky “ American Journal of Physics, Sv. 63 (9), p854-855.
Yehia, H.M., (2006) „O integrovatelnosti pohybu těžkých částic na nakloněném kuželu a výkyvném stroji Atwood“, Výzkum komunikace mechaniky Sv. 33 (5), p711–716.

externí odkazy

[Tufillaro1984-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Tufillaro, Nicholas B .; Abbott, Tyler A .; Griffiths, David J. (1984). "Swinging Atwood's Machine". American Journal of Physics. 52 (10): 895–903. Bibcode:1984AmJPh..52..895T. doi:10.1119/1.13791.

[bound-2] A ^b ^C ^d ^E Tufillaro, Nicholas B .; Nunes, A .; Casasayas, J. (1988). „Neomezené oběžné dráhy kyvného Atwoodova stroje“. American Journal of Physics. 56: 1117. Bibcode:1988AmJPh..56.1117T. doi:10.1119/1.15774.

[smiles_and_teardrops-3] A ^b ^C Tufillaro, Nicholas B. (1982). Úsměvy a slzy (Teze). Reed College.

[Pujol2010-4] A ^b Pujol, Olivier; Perez, J.P .; Simo, C .; Simon, S .; Weil, J.A. (2010). „Swinging Atwood's Machine: Experimentální a numerické výsledky a teoretická studie“. Physica D. 239 (12): 1067–1081. arXiv:0912.5168. Bibcode:2010PhyD..239.1067P. doi:10.1016 / j.physd.2010.02.017.

[Integrable-5] Tufillaro, Nicholas B. (1986). „Integrable motion of a swing Atwood's machine“. American Journal of Physics. 54 (2): 142. Bibcode:1986AmJPh..54..142T. doi:10.1119/1.14710.

[6] Casasayas, J .; Nunes, A .; Tufillaro, N. (1990). „Swinging Atwood's Machine: integrability and dynamics“. Journal de Physique. 51 (16): 1693–1702. doi:10.1051 / jphys: 0199000510160169300. ISSN 0302-0738.

[smiles_and_hearts-7] A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1994). "Slza a srdce obíhají na houpajícím se stroji Atwoods,". American Journal of Physics. 62 (3): 231–233. arXiv:chao-dyn / 9302006. Bibcode:1994AmJPh..62..231T. doi:10.1119/1.17602.

[motions-8] A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1985). „Pohyby kyvného Atwoodova stroje“. Journal de Physique. 46 (9): 1495–1500. doi:10.1051 / jphys: 019850046090149500.

[collision-9] A ^b Tufillaro, Nicholas B. (1985). „Kolize na orbitě houpajícího se Atwoodova stroje“ (PDF). Journal de Physique. 46: 2053–2056. doi:10.1051 / jphys: 0198500460120205300.

[3D-SAM-10] Elmandouh, A.A. (2016). „O integrovatelnosti pohybu stroje 3D Swinging Atwood a souvisejících problémech“. Fyzikální písmena A. 380: 989. Bibcode:2016PhLA..380..989E. doi:10.1016 / j.physleta.2016.01.021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]