Multifrakční systém - Multifractal system


A multifraktální systém je zobecněním a fraktální systém, ve kterém je jediný exponent ( fraktální dimenze ) nestačí k popisu jeho dynamiky; místo toho spojité spektrum exponentů (tzv spektrum singularity ) je potřeba.[1]
Multifrakční systémy jsou v přírodě běžné. Zahrnují délka pobřeží, plně vyvinutá turbulence, scény ze skutečného světa, tlukot srdce dynamika,[2] lidská chůze[3] a činnost,[4] lidský mozek aktivita,[5][6][7][8][9][10][11] a časová řada přirozené svítivosti.[12] Modely byly navrženy v různých kontextech od turbulencí v dynamika tekutin do internetového provozu, financí, modelování obrázků, syntézy textur, meteorologie, geofyzika a více.[Citace je zapotřebí ] Původ multifraktality v sekvenčních (časových řadách) datech byl přičítán matematickým konvergenčním efektům souvisejícím s teorém centrálního limitu které mají jako ohniska konvergence rodinu statistických distribucí známých jako Tweedie modely exponenciální disperze,[13] stejně jako geometrické modely Tweedie.[14] První konvergenční efekt poskytuje monofraktální sekvence a druhý konvergenční efekt je zodpovědný za variace fraktální dimenze monofraktálních sekvencí.[15]
Multifrakční analýza se používá ke zkoumání datových souborů, často ve spojení s jinými metodami fraktální a lakunarita analýza. Tato technika zahrnuje zkreslení datových sad extrahovaných ze vzorů pro generování multifraktálních spekter, které ilustrují, jak se škálování liší v datové sadě. Techniky multifraktální analýzy byly použity v různých praktických situacích, jako je předpovídání zemětřesení a interpretace lékařských snímků.[16][17][18]
Definice
V multifraktálním systému , chování kolem libovolného bodu popisuje místní mocenský zákon:
Exponent se nazývá exponent singularity, jak popisuje místní stupeň jedinečnost nebo pravidelnost kolem bodu .[Citace je zapotřebí ]
Soubor tvořený všemi body, které sdílejí stejný exponent singularity, se nazývá singularita rozmanitosti exponentu h, a je fraktální sada z fraktální dimenze spektrum singularity. Křivka proti se nazývá spektrum singularity a plně popisuje statistické rozdělení proměnné .[Citace je zapotřebí ]
V praxi je to multifraktální chování fyzického systému není přímo charakterizován svým spektrem singularity . Analýza dat spíše umožňuje přístup k exponenty multicilingu . Ve skutečnosti se multifrakční signály obecně řídí a škálová invariance vlastnost, která poskytuje chování podle zákona o moci pro multirezoluční veličiny, v závislosti na jejich měřítku . V závislosti na studovaném objektu jsou tyto multirezoluční veličiny označeny , mohou být místní průměry v krabicích o velikosti , přechody na vzdálenost , vlnkové koeficienty v měřítku atd. U multifrakčních objektů obvykle pozorujeme globální měřítko mocninné formy:[Citace je zapotřebí ]
alespoň v určitém rozsahu stupnic a pro určitý rozsah objednávek . Když je takové chování pozorováno, hovoří se o škálové invariantnosti, sebepodobnosti nebo multisměrování.[19]
Odhad
Pomocí tzv multifraktální formalismus, lze ukázat, že za určitých vhodných předpokladů existuje shoda mezi spektrem singularity a exponenty s více měřítky přes a Legendární transformace. Zatímco stanovení požaduje důkladnou místní analýzu údajů, která by vedla k obtížným a číselně nestabilním výpočtům, k odhadu spoléhá na použití statistických průměrů a lineárních regresí v diagramech log-log. Jednou je známo, lze odvodit odhad díky jednoduché transformaci Legendre.[Citace je zapotřebí ]
Multifrakční systémy jsou často modelovány stochastickými procesy, jako jsou multiplikativní kaskády. The jsou statisticky interpretovány, protože charakterizují vývoj distribucí tak jako jde z většího do menšího měřítka. Tento vývoj se často nazývá statistická přerušovanost a prozrazuje odklon od Gaussian modely.[Citace je zapotřebí ]
Modelování jako a multiplikativní kaskáda také vede k odhadu multifraktálních vlastností.Roberts & Cronin 1996 Tato metoda funguje poměrně dobře, dokonce i pro relativně malé datové sady. Maximální pravděpodobné přizpůsobení multiplikativní kaskády datové sadě nejen odhaduje celé spektrum, ale také poskytuje přiměřené odhady chyb.[20]
Odhad multifrakčního měřítka z počítání krabic
Multifrakční spektra lze určit z počítání krabic na digitálních obrázcích. Nejprve se provede skenování počítání polí, aby se určilo, jak jsou pixely distribuovány; pak se toto „rozdělení hmoty“ stane základem pro řadu výpočtů.[21][22][23] Hlavní myšlenkou je, že u multifraktálů pravděpodobnost počtu pixelů , která se objeví v krabici , se liší podle velikosti krabice , na nějakého exponenta , který se mění přes obrázek, jako v Rovnice.0.0 (Pozn: U monofractals se naopak exponent v množině významně nemění). se počítá z distribuce pixelů počítajících jako v krabici Rovnice 2.0.
(Rovnice.0.0)
- = libovolná stupnice (velikost krabice v počítání krabic), při kterém je sada zkoumána
- = index pro každý rámeček položený přes sadu pro
- = počet pixelů nebo Hmotnost v jakékoli krabici, , ve velikosti
- = celkový počet polí, která pro každý obsahovala více než 0 pixelů
- celková hmotnost nebo součet pixelů ve všech polích
(Rovnice 1.0)
- pravděpodobnost této hmotnosti při vzhledem k celkové hmotnosti pro velikost krabice
(Rovnice 2.0)
se používá k pozorování toho, jak se distribuce pixelů chová při zkreslení určitými způsoby jako v Rovnice 3.0 a Rovnice 3.1:
- = libovolný rozsah hodnot, které se použijí jako exponenty pro zkreslení datové sady
- součet všech hmotnostních pravděpodobností zkreslených zvýšením na toto Q, pro tuto velikost pole
(Rovnice 3.0)
- Když , Rovnice 3.0 se rovná 1, obvyklý součet všech pravděpodobností a kdy , každý člen se rovná 1, takže součet se rovná počtu počítaných políček, .
- jak je pravděpodobnost zkreslené hmotnosti v krabici srovnána se zkreslenou částkou ve všech krabicích v této velikosti krabice
(Rovnice 3.1)
Tyto zkreslující rovnice se dále používají k řešení toho, jak se množina chová, když je zmenšena nebo vyřešena nebo rozdělena na řadu -sized pieces and deformed by Q, to find different values for the dimension of the set, as in the following:
- Důležitou vlastností Rovnice 3.0 je, že je také vidět, že se mění podle měřítka zvýšeného k exponentu v Rovnice 4.0:
(Rovnice 4.0)
Tedy řada hodnot pro lze najít ze svahů regresní přímky pro log Rovnice 3.0 versus protokol pro každého , na základě Rovnice 4.1:
(Rovnice 4.1)
- Pro zobecněnou dimenzi:
(Rovnice 5.0)
(Rovnice 5.1)
(Rovnice 5.2)
(Rovnice 5.3)
- se odhaduje jako sklon regresní přímky pro log A, Q proti log kde:
(Rovnice 6.0)
- Pak je nalezen z Rovnice 5.3.
- Zlý se odhaduje jako sklon linie regrese log-log pro proti , kde:
(Rovnice 6.1)
V praxi rozdělení pravděpodobnosti závisí na tom, jak se vzorkuje datová sada, proto byly vyvinuty optimalizační algoritmy, které zajistí adekvátní vzorkování.[21]
Aplikace
Multifrakční analýza byla úspěšně použita v mnoha oblastech, včetně fyzikálních, informačních a biologických věd.[24] Například kvantifikace zbytkových vzorů trhlin na povrchu železobetonových smykových stěn.[25]
Analýza zkreslení datové sady

Multifrakční analýza byla použita v několika vědeckých oborech k charakterizaci různých typů datových souborů.[26][4][7] V podstatě multifrakční analýza aplikuje zkreslující faktor na datové sady extrahované ze vzorů, aby porovnala, jak se data chovají při každém zkreslení. To se provádí pomocí grafů známých jako multifrakční spektra, analogický k prohlížení datové sady přes "zkreslující čočku", jak je znázorněno na ilustrace.[21] V praxi se používá několik typů multifrakčních spekter.
DQ vs Q

Jedním praktickým multifrakčním spektrem je graf DQ vs Q, kde DQ je zobecněná dimenze pro datovou sadu a Q je libovolná sada exponentů. Výraz zobecněná dimenze odkazuje tedy na sadu dimenzí pro datovou sadu (podrobné výpočty pro stanovení zobecněné dimenze pomocí počítání krabic jsou popsány níže ).
Rozměrové objednávání
Obecný vzorec grafu DQ vs Q lze použít k posouzení škálování ve vzoru. Graf se obecně zmenšuje, sigmoidní kolem Q = 0, kde D(Q = 0) ≥ D(Q = 1) ≥ D(Q = 2). Jak je znázorněno v postava, variace v tomto grafickém spektru mohou pomoci rozlišit vzory. Na obrázku je D(Q) spektra z multifrakční analýzy binárních obrazů non-, mono- a multi-fraktálních sad. Stejně jako v ukázkových obrázcích mají nefraktály a monofrakty fraktální tendenci mít plošší D(Q) spektra než multifraktály.
Zobecněná dimenze také poskytuje důležité konkrétní informace. D(Q = 0) se rovná kapacitní rozměr, což - v analýze zobrazené na obrázcích zde - je rozměr počítání krabic. D(Q = 1) se rovná informační dimenze a D.(Q = 2) do korelační dimenze. To se týká „multi“ v multifraktálu, kde multifraktály mají více rozměrů v D(Q) versus Q spektra, ale monofraktály zůstávají v této oblasti spíše ploché.[21][22]
proti
Dalším užitečným multifrakčním spektrem je graf proti (vidět výpočty ). Tyto grafy obecně vzrostou na maximum, které se blíží fraktální dimenze při Q = 0, a pak spadnout. Jako D.Q versus Q spektra, také ukazují typické vzorce užitečné pro srovnání non-, mono- a multi-fraktálních vzorů. Zejména u těchto spekter se non-a mono-fraktály sbíhají na určitých hodnotách, zatímco spektra z více fraktálových vzorů obvykle vytvářejí hrby na širší ploše.
Zobecněné rozměry distribucí hojnosti druhů v prostoru
Jedna aplikace D.q versus Q v ekologii charakterizuje distribuci druhů. Tradičně relativní hojnost druhů se počítá pro oblast bez ohledu na umístění jednotlivců. Ekvivalentní zastoupení relativních druhů je množství druhů, které se používají ke generování povrchu zvaného povrch druhu,[27] které lze analyzovat pomocí zobecněných dimenzí k detekci různých ekologických mechanismů, jako jsou ty, které byly pozorovány v neutrální teorie biodiverzity, dynamika metacommunity nebo teorie výklenku.[27][28]
Viz také
- Frakční Brownův pohyb
- Detrendovaná fluktuační analýza
- Tweedie distribuce
- Markov přepínání multifraktálu
- Vážená planární stochastická mříž (WPSL) [29]
Reference
- ^ Harte, David (2001). Multifractals. London: Chapman & Hall. ISBN 978-1-58488-154-4.
- ^ Ivanov, Plamen Ch .; Amaral, Luís A. Nunes; Goldberger, Ary L .; Havlin, Shlomo; Rosenblum, Michael G .; Struzik, Zbigniew R .; Stanley, H. Eugene (03.06.1999). "Multifraktalita v dynamice srdečního rytmu člověka". Příroda. 399 (6735): 461–465. arXiv:cond-mat / 9905329. doi:10.1038/20924. ISSN 0028-0836. PMID 10365957. S2CID 956569.
- ^ Simon, Sheldon R .; Paul, Igor L .; Mansour, Joseph; Munro, Michael; Abernethy, Peter J .; Radin, Eric L. (leden 1981). Msgstr "Špičková dynamická síla v lidské chůzi". Journal of Biomechanics. 14 (12): 817–822. doi:10.1016/0021-9290(81)90009-9. PMID 7328088.
- ^ A b França, Lucas Gabriel Souza; Montoya, Pedro; Miranda, José Garcia Vivas (2019). „Na multifraktálech: Nelineární studie dat aktigrafie“. Physica A: Statistická mechanika a její aplikace. 514: 612–619. arXiv:1702.03912. doi:10.1016 / j.physa.2018.09.122. ISSN 0378-4371. S2CID 18259316.
- ^ Papo, David; Goñi, Joaquin; Buldú, Javier M. (2017). "Editorial: O vztahu dynamiky a struktury v mozkových sítích". Chaos: Interdisciplinární žurnál nelineárních věd. 27 (4): 047201. Bibcode:2017Chaos..27d7201P. doi:10.1063/1.4981391. ISSN 1054-1500. PMID 28456177.
- ^ Ciuciu, Philippe; Varoquaux, Gaël; Abry, Patrice; Sadaghiani, Sepideh; Kleinschmidt, Andreas (2012). "Bezšupinové a multifrakční vlastnosti signálů fMRI během odpočinku a úkolu". Hranice ve fyziologii. 3: 186. doi:10.3389 / fphys.2012.00186. ISSN 1664-042X. PMC 3375626. PMID 22715328.
- ^ A b França, Lucas G. Souza; Miranda, José G. Vivas; Leite, Marco; Sharma, Niraj K .; Walker, Matthew C .; Lemieux, Louis; Wang, Yujiang (2018). „Fraktální a multifrakční vlastnosti elektrografických záznamů aktivity lidského mozku: k jejímu použití jako signální funkce pro strojové učení v klinických aplikacích“. Hranice ve fyziologii. 9: 1767. arXiv:1806.03889. Bibcode:2018arXiv180603889F. doi:10.3389 / fphys.2018.01767. ISSN 1664-042X. PMC 6295567. PMID 30618789.
- ^ Ihlen, Espen A. F .; Vereijken, Beatrix (2010). „Interakce dominantní dynamika v lidském poznání: Za fluktuací nad 1 / ƒα“. Journal of Experimental Psychology: General. 139 (3): 436–463. doi:10.1037 / a0019098. ISSN 1939-2222. PMID 20677894.
- ^ Zhang, Yanli; Zhou, Weidong; Yuan, Shasha (2015). "Multifractal Analysis and Relevance Vector Machine-Based Automatic Detection záchvatů v intrakraniálním EEG". International Journal of Neural Systems. 25 (6): 1550020. doi:10,1142 / s0129065715500203. ISSN 0129-0657. PMID 25986754.
- ^ Suckling, John; Wink, Alle Meije; Bernard, Frederic A .; Barnes, Anna; Bullmore, Edward (2008). „Endogenní multifraktální dynamika mozku je modulována věkem, cholinergní blokádou a kognitivním výkonem“. Journal of Neuroscience Methods. 174 (2): 292–300. doi:10.1016 / j.jneumeth.2008.06.037. ISSN 0165-0270. PMC 2590659. PMID 18703089.
- ^ Zorick, Todd; Mandelkern, Mark A. (07.07.2013). „Multifrakční detekovaná fluktuační analýza lidského EEG: Předběžné vyšetřování a srovnání s technikou Wavelet Transform Modulus Maxima“. PLOS ONE. 8 (7): e68360. Bibcode:2013PLoSO ... 868360Z. doi:10,1371 / journal.pone.0068360. ISSN 1932-6203. PMC 3700954. PMID 23844189.
- ^ Gaston, Kevin J .; Richard Inger; Bennie, Jonathan; Davies, Thomas W. (2013-04-24). „Umělé světlo mění přirozené režimy jasu noční oblohy“. Vědecké zprávy. 3: 1722. Bibcode:2013NatSR ... 3E1722D. doi:10.1038 / srep01722. ISSN 2045-2322. PMC 3634108.
- ^ Kendal, WS; Jørgensen, BR (2011). „Konvergence Tweedie: matematický základ Taylorova mocenského zákona, 1 / f hluk a multifraktalita “. Phys. Rev.. 84 (6 Pt 2): 066120. Bibcode:2011PhRvE..84f6120K. doi:10.1103 / fyzreve.84.066120. PMID 22304168.
- ^ Jørgensen, B; Kokonendji, CC (2011). "Disperzní modely pro geometrické součty". Braz J Probab Stat. 25 (3): 263–293. doi:10.1214 / 10-bjps136.
- ^ Kendal, WS (2014). "Multifraktalita připisovaná duálním centrálním limitním efektům konvergence". Physica A. 401: 22–33. Bibcode:2014PhyA..401 ... 22K. doi:10.1016 / j.physa.2014.01.022.
- ^ Lopes, R .; Betrouni, N. (2009). "Fraktální a multifraktální analýza: recenze". Analýza lékařského obrazu. 13 (4): 634–649. doi:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID 19535282.
- ^ Moreno, P. A .; Vélez, P.E .; Martínez, E .; Garreta, L. E.; Díaz, N. S .; Amador, S .; Tischer, I .; Gutiérrez, J. M .; Naik, A. K .; Tobar, F. N .; García, F. (2011). „Lidský genom: multifraktální analýza“. BMC Genomics. 12: 506. doi:10.1186/1471-2164-12-506. PMC 3277318. PMID 21999602.
- ^ Atupelage, C .; Nagahashi, H .; Yamaguchi, M .; Sakamoto, M .; Hashiguchi, A. (2012). „Multifractal feature descriptor for histopathology“. Analytická buněčná patologie. 35 (2): 123–126. doi:10.1155/2012/912956. PMC 4605731. PMID 22101185.
- ^ AJ. Roberts a A. Cronin (1996). "Nestranný odhad multi-fraktálních rozměrů konečných datových sad". Physica A. 233 (3): 867–878. arXiv:chao-dyn / 9601019. Bibcode:1996PhyA..233..867R. doi:10.1016 / S0378-4371 (96) 00165-3.
- ^ Roberts, A. J. (7. srpna 2014). „Multifrakční odhad - maximální pravděpodobnost“. University of Adelaide. Citováno 4. června 2019.
- ^ A b C d Karperien, A (2002), Co jsou Multifractals?, ImageJ, archivováno od originálu dne 2012-02-10, vyvoláno 2012-02-10
- ^ A b Chhabra, A .; Jensen, R. (1989). "Přímé stanovení spektra f (α) singularity". Dopisy o fyzické kontrole. 62 (12): 1327–1330. Bibcode:1989PhRvL..62.1327C. doi:10.1103 / PhysRevLett.62.1327. PMID 10039645.
- ^ Posadas, A. N. D .; Giménez, D .; Bittelli, M .; Vaz, C. M. P .; Flury, M. (2001). "Multifractal Characterization of Soil Particle-Size Distribuce". Soil Science Society of America Journal. 65 (5): 1361. Bibcode:2001SSASJ..65.1361P. doi:10.2136 / sssaj2001.6551361x.
- ^ Lopes, R .; Betrouni, N. (2009). "Fraktální a multifraktální analýza: recenze". Analýza lékařského obrazu. 13 (4): 634–649. doi:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID 19535282.
- ^ Ebrahimkhanlou, Arvin; Farhidzadeh, Alireza; Salamone, Salvatore (01.01.2016). "Multifrakční analýza trhlin ve železobetonových smykových stěnách". Strukturální monitorování zdraví. 15 (1): 81–92. doi:10.1177/1475921715624502. ISSN 1475-9217. S2CID 111619405.
- ^ Trevino, J .; Liew, S.F .; Noh, H .; Cao, H .; Dal Negro, L. (2012). "Geometrická struktura, multifrakční spektra a lokalizované optické režimy neperiodických Vogelových spirál". Optika Express. 20 (3): 3015–33. Bibcode:2012Oexpr..20.3015T. doi:10.1364 / OE.20.003015. PMID 22330539.
- ^ A b Saravia, Leonardo A. (2015-08-01). „Nová metoda analýzy hojnosti druhů ve vesmíru pomocí zobecněných dimenzí“. Metody v ekologii a evoluci. 6 (11): 1298–1310. doi:10.1111 / 2041-210X.12417. ISSN 2041-210X.
- ^ Saravia, Leonardo A. (01.01.2014). „mfSBA: Multifrakční analýza prostorových vzorů v ekologických komunitách“. F1000Výzkum. 3: 14. doi:10.12688 / F1000Research.3-14.v2. PMC 4197745. PMID 25324962.
- ^ Hassan, M. K .; Hassan, M. Z .; Pavel, N. I. (2010). „Bezškálová topologie sítě a multifraktalita ve vážené plošné stochastické mřížce“. New Journal of Physics. 12 (9): 093045. arXiv:1008.4994. Bibcode:2010NJPh ... 12i3045H. doi:10.1088/1367-2630/12/9/093045. S2CID 1934801.
Další čtení
- Veneziano, Daniele; Essiam, Albert K. (1. června 2003). "Průtok porézním médiem s multifraktální hydraulickou vodivostí". Výzkum vodních zdrojů. 39 (6): 1166. Bibcode:2003WRR .... 39.1166V. doi:10.1029 / 2001WR001018. ISSN 1944-7973.
externí odkazy
- Stanley HE, Meakin P. (1988). „Multifrakční jevy ve fyzice a chemii“ (Posouzení). Příroda. 335 (6189): 405–9. Bibcode:1988Natur.335..405S. doi:10.1038 / 335405a0. S2CID 4318433.
- Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). „Multifrakční analýza založená na vlnkách“. Scholarpedia. 3 (3): 4103. Bibcode:2008SchpJ ... 3.4103A. doi:10,4249 / scholarpedia.4103. ISSN 1941-6016.
- Filmy vizualizací multifraktálů