Naplněná sada Julia - Filled Julia set - Wikipedia

The vyplněná sada Julia ${ displaystyle K (f)}$ polynomu ${ displaystyle f}$ je :

• A Julia set a jeho interiér,
• neunikající sada

Formální definice

Vyplněný Julia set ${ displaystyle K (f)}$ polynomu ${ displaystyle f}$ je definována jako množina všech bodů ${ displaystyle z ,}$ dynamické roviny, které mají ohraničený obíhat s ohledem na ${ displaystyle f}$

${ displaystyle K (f) { přesahující { podmnožina { mathrm {def}} {}} {=}} {z v mathbb {C}: f ^ {(k)} (z ) not to infty as k to infty }}$
kde:

${ displaystyle mathbb {C}}$ je množina komplexních čísel

${ displaystyle f ^ {(k)} (z)}$ je ${ displaystyle k}$ -složit složení z ${ displaystyle f ,}$ sám se sebou iterace funkce ${ displaystyle f ,}$

Vztah k souboru Fatou

Vyplněná sada Julia je (absolutní) doplněk z atraktivní povodí z nekonečno.
${ displaystyle K (f) = mathbb {C} setminus A_ {f} ( infty)}$

The atraktivní povodí z nekonečno jeden z komponenty sady Fatou.
${ displaystyle A_ {f} ( infty) = F _ { infty}}$

Jinými slovy, vyplněná sada Julia je doplněk neomezený Fatou složka:
${ displaystyle K (f) = F _ { infty} ^ {C}.}$

Vztah mezi Julií, vyplněnou Julií a atraktivní povodí nekonečna

The Julia set je běžné hranice vyplněného souboru Julia a atraktivní povodí z nekonečno

${ displaystyle J (f) , = částečné K (f) = částečné A_ {f} ( infty)}$

kde:
${ displaystyle A_ {f} ( infty)}$ označuje atraktivní povodí z nekonečno = exteriér vyplněné sady Julia = sada únikových bodů pro ${ displaystyle f}$

${ displaystyle A_ {f} ( infty) { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} {z in mathbb {C}: f ^ {(k) } (z) to infty jako k to infty }.}$

Pokud vyplněná sada Julia nemá žádné interiér pak Julia set se shoduje s vyplněnou sadou Julia. To se stane, když všechny kritické body ${ displaystyle f}$ jsou předperiodické. Takové kritické body se často nazývají Misiurewicz body.

Páteř

• 

  Králičí Julia sada s páteří

• 

  Bazilika Julia s páteří

Nejvíce studované polynomy jsou pravděpodobně ty ve formě ${ displaystyle f (z) = z ^ {2} + c}$, které jsou často označovány ${ displaystyle f_ {c}}$, kde ${ displaystyle c}$ je jakékoli komplexní číslo. V tomto případě páteř ${ displaystyle S_ {c} ,}$ naplněné sady Julia ${ displaystyle K ,}$ je definován jako oblouk mezi ${ displaystyle beta ,}$-pevný bod a ${ displaystyle - beta ,}$,

${ displaystyle S_ {c} = left [- beta, beta right] ,}$

s takovými vlastnostmi:

• páteř leží uvnitř ${ displaystyle K ,}$.^[1] To dává smysl, když ${ displaystyle K ,}$ je připojen a plný^[2]
• páteř je neměnná při rotaci o 180 stupňů,
• páteř je konečný topologický strom,
• Kritický bod ${ displaystyle z_ {cr} = 0 ,}$ vždy patří do páteře.^[3]
• ${ displaystyle beta ,}$-pevný bod je přistávací bod vnější paprsek úhlu nula ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {0} ^ {K}}$,
• ${ displaystyle - beta ,}$ je místo přistání vnější paprsek ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {1/2} ^ {K}}$.

Algoritmy pro konstrukci páteře:

• podrobná verze popisuje A. Douady^[4]
• Zjednodušená verze algoritmu:
  • připojit ${ displaystyle - beta ,}$ a ${ displaystyle beta ,}$ v rámci ${ displaystyle K ,}$ obloukem,
  • když ${ displaystyle K ,}$ má prázdný vnitřek, pak je oblouk jedinečný,
  • jinak použijte nejkratší cestu, která obsahuje ${ displaystyle 0}$.^[5]

Křivka ${ displaystyle R ,}$ :

${ displaystyle R { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} R_ {1/2} cup S_ {c} cup R_ {0} , }$

rozděluje dynamickou rovinu na dvě složky.

snímky

• 

  Naplněná Julia pro f_C, c = φ − 2 = -0,38 ..., kde φ znamená Zlatý řez

• 

  Naplněná Julia bez interiéru = Julia set. Je to pro c = i.

• 

  Naplněná Julia pro c = -1 + 0,1 * i. Zde je sada Julia hranicí vyplněné sady Julia.

• 

  Douady králík

• 

  Naplněná Julia nastavena na c = −0,4 + 0,6i.

• 

  Naplněná Julia nastavena na c = −0,8 + 0,156i.

• 

  Naplněná Julia pro c = 0,285 + 0,01i.

• 

  Naplněná Julia nastavena na c = -1,476.

Jména

• letoun^[6]
• Douady králík
• drak
• bazilika nebo San Marco fraktál
• květák
• dendrit
• Disk Siegel

Poznámky

Reference

1. Peitgen Heinz-Otto, Richter, P.H. : Krása fraktálů: Obrazy komplexních dynamických systémů. Springer-Verlag 1986. ISBN  978-0-387-15851-8.
2. Bodil Branner : Holomorfní dynamické systémy ve složité rovině. Katedra matematické technické univerzity v Dánsku, Zpráva MAT č. 1996-42.