Intervalová směnová transformace - Interval exchange transformation
v matematika, an transformace intervalové výměny[1] je druh dynamický systém to zobecňuje rotace kruhu. Fázový prostor se skládá z jednotkový interval a transformace působí tak, že interval rozdělí na několik podintervalů a poté tyto podintervaly permutuje. Přirozeně vznikají při studiu polygonální kulečník a v toky zachování oblasti.
Formální definice
Nechat a nechte být permutace na . Zvažte a vektor kladných reálných čísel (šířky podintervalů), uspokojivé
Definujte mapu volal transformace intervalové výměny spojená s párem jak následuje. Pro nechat
Pak pro , definovat
-li leží v subintervalu . Tím pádem působí na každý podinterval formuláře podle a překlad, a přeskupí tyto podintervaly tak, aby byl podinterval v poloze se přesune do polohy .
Vlastnosti
Libovolná transformace intervalové výměny je bijekce z sama o sobě zachovává Lebesgueovo opatření. Je spojitý, až na konečný počet bodů.
The inverzní transformace intervalové výměny je opět transformace intervalové výměny. Ve skutečnosti jde o transformaci kde pro všechny .
Li a (v cyklická notace ), a pokud spojíme konce intervalu a vytvoříme kruh, pak je jen a rotace kruhu. The Weylova věta o ekvidistribuci pak tvrdí, že pokud je délka je iracionální, pak je jedinečně ergodický. Zhruba to znamená, že oběžné dráhy bodů jsou rovnoměrně rovnoměrně rozloženy. Na druhou stranu, pokud je racionální, pak je každý bod intervalu periodicky a období je jmenovatelem (napsáno v nejnižších termínech).
Li a za předpokladu splňuje určité podmínky nedegenerace (jmenovitě neexistuje celé číslo takhle ), hluboká věta, která byla domněnkou M.Keana a je splatná nezávisle na William A. Veech[2] a do Howard Masur [3] tvrdí, že pro téměř všechny možnosti v jednotce simplex transformace intervalové výměny je znovu jedinečně ergodický. Nicméně pro existují také možnosti aby je ergodický ale ne jedinečně ergodický. I v těchto případech je počet ergodických neměnný opatření z je konečný a je nanejvýš .
Intervalové mapy mají a topologická entropie nula.[4]
Odometry
The dyadický počítadlo kilometrů lze chápat jako výměnu intervalu spočetného počtu intervalů. Dyadický počítadlo kilometrů je nejsnadněji psáno jako transformace
definované na Cantorův prostor Standardní mapování z Cantorova prostoru do jednotkový interval je dána
Toto mapování zachovává opatření homomorfismus z Cantorova nastavení na jednotkový interval v tom, že mapuje standard Bernoulliho opatření na Cantoru nastaven na Lebesgueovo opatření v jednotkovém intervalu. Vpravo se zobrazí vizualizace počítadla kilometrů a jeho prvních tří iterací.
Vyšší rozměry
Dvourozměrné zobecnění zahrnují polygonální výměny, polyedrické výměny a po částech izometrie.[5]
Viz také
Poznámky
- ^ Keane, Michael (1975), „Intervalové výměnné transformace“, Mathematische Zeitschrift, 141: 25–31, doi:10.1007 / BF01236981, PAN 0357739.
- ^ Veech, William A. (1982), „Gaussovy míry pro transformace v prostoru map s intervalovou výměnou“, Annals of Mathematics, Druhá série, 115 (1): 201–242, doi:10.2307/1971391, PAN 0644019.
- ^ Masur, Howard (1982), „Intervalové výměnné transformace a měřené foliace“, Annals of Mathematics, Druhá série, 115 (1): 169–200, doi:10.2307/1971341, PAN 0644018.
- ^ Matthew Nicol a Karl Petersen, (2009) "Ergodická teorie: Základní příklady a konstrukce ",Encyclopedia of Complexity and Systems ScienceSpringer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
- ^ Kusové izometrie - rozvíjející se oblast dynamických systémů, Arek Goetz
Reference
- Artur Avila a Giovanni Forni, Slabé míchání pro intervalové výměny transformací a překladové toky, arXiv: math / 0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326