Dynamika tekutin - Fluid dynamics - Wikipedia

Část série na
Mechanika kontinua
Mechanika tekutin
Kapaliny
Kapaliny
Plyny
Plazma
Typický aerodynamický tvar slzy, za předpokladu a viskózní médium procházející zleva doprava, diagram ukazuje rozložení tlaku jako tloušťku černé čáry a ukazuje rychlost v mezní vrstva jako fialové trojúhelníky. Zelená generátory vírů vyzvat k přechodu na turbulentní proudění a zabránit zpětnému toku, který se také nazývá oddělení toku z oblasti vysokého tlaku vzadu. Povrch vpředu je co nejhladší nebo dokonce zaměstnává žraločí kůže, protože jakákoli turbulence zde zvyšuje energii proudění vzduchu. Zkrácení vpravo, známé jako a Kammback, také zabraňuje zpětnému toku z oblasti vysokého tlaku v zadní části přes spoilery do konvergentní části.

v fyzika a inženýrství, dynamika tekutin je subdisciplína mechanika tekutin který popisuje tok tekutiny —kapaliny a plyny. Má několik subdisciplín, včetně aerodynamika (studium vzduchu a dalších plynů v pohybu) a hydrodynamika (studium kapalin v pohybu). Dynamika tekutin má širokou škálu aplikací, včetně výpočtů síly a momenty na letadlo, určující hmotnostní průtok z ropa přes potrubí, předpovědi počasí, porozumění mlhoviny v mezihvězdný prostor a modelování detonace štěpných zbraní.

Dynamika tekutin nabízí systematickou strukturu - která je jejich základem praktické disciplíny —Obsahuje empirické a semi-empirické zákony odvozené z měření průtoku a slouží k řešení praktických problémů. Řešení problému s dynamikou kapaliny obvykle zahrnuje výpočet různých vlastností kapaliny, jako např rychlost proudění, tlak, hustota, a teplota, jako funkce prostoru a času.

Před dvacátým stoletím hydrodynamika bylo synonymem dynamiky tekutin. To se stále odráží v názvech některých témat dynamiky tekutin, například magnetohydrodynamika a hydrodynamická stabilita, které lze také použít na plyny.[1]

Rovnice

Základní axiomy dynamiky tekutin jsou zákony na ochranu přírody konkrétně zachování hmoty, zachování lineární hybnosti, a uchování energie (také známý jako První zákon termodynamiky ). Ty jsou založeny na klasická mechanika a jsou upraveny v kvantová mechanika a obecná relativita. Jsou vyjádřeny pomocí Reynoldsova věta o transportu.

Kromě výše uvedeného se předpokládá, že tekutiny dodržují předpoklad kontinua. Kapaliny se skládají z molekul, které se srazí, a pevných předmětů. Předpoklad kontinua však předpokládá, že tekutiny jsou spíše spojité než diskrétní. V důsledku toho se předpokládá, že vlastnosti, jako je hustota, tlak, teplota a rychlost proudění, jsou dobře definované na nekonečně malé body v prostoru a neustále se měnící z jednoho bodu do druhého. Skutečnost, že tekutina je tvořena diskrétními molekulami, je ignorována.

U tekutin, které jsou dostatečně husté na to, aby byly kontinuem, neobsahují ionizované druhy a mají rychlosti proudění malé ve vztahu k rychlosti světla, jsou hybné rovnice pro Newtonovské tekutiny jsou Navier-Stokesovy rovnice -což je nelineární množina diferenciální rovnice který popisuje tok tekutiny, jejíž napětí lineárně závisí na gradientech rychlosti proudění a tlaku. Zjednodušené rovnice nemají obecnou rovnici uzavřené řešení, takže jsou primárně použitelné v výpočetní dynamika tekutin. Rovnice lze zjednodušit mnoha způsoby, které všechny usnadňují jejich řešení. Některá zjednodušení umožňují vyřešit některé jednoduché problémy dynamiky tekutin v uzavřené formě.[Citace je zapotřebí ]

Kromě rovnic pro zachování hmotnosti, hybnosti a energie platí: termodynamické k úplnému popisu problému je zapotřebí stavová rovnice, která dává tlak jako funkci jiných termodynamických proměnných. Příkladem toho může být dokonalá plynová rovnice stavu:

kde str je tlak, ρ je hustota, T the absolutní teplota, zatímco Ru je plynová konstanta a M je molární hmotnost pro konkrétní plyn.

Zákony o ochraně přírody

K řešení problémů s dynamikou tekutin se používají tři zákony zachování, které mohou být zapsány integrální nebo rozdíl formulář. Zákony zachování lze použít na oblast toku zvanou a ovládání hlasitosti. Řídící objem je diskrétní objem v prostoru, kterým se předpokládá protékání kapaliny. Integrální formulace zákonů zachování se používají k popisu změny hmotnosti, hybnosti nebo energie v kontrolním objemu. Platí rozdílné formulace zákonů zachování Stokesova věta poskytnout výraz, který lze interpretovat jako integrální formu zákona aplikovaného na nekonečně malý objem (v bodě) v toku.

Masová kontinuita (zachování hmoty)
Rychlost změny hmoty tekutiny uvnitř kontrolního objemu se musí rovnat čisté rychlosti toku tekutiny do objemu. Fyzicky toto tvrzení vyžaduje, aby hmota nebyla vytvořena ani zničena v kontrolním svazku,[2] a lze jej přeložit do integrální formy rovnice kontinuity:
oiint
Výše, ρ je hustota tekutin, u je rychlost proudění vektor a t je čas. Levá strana výše uvedeného výrazu je rychlost nárůstu hmoty v objemu a obsahuje trojný integrál nad kontrolním objemem, zatímco pravá strana obsahuje integraci přes povrch kontrolního objemu hmoty konvekovaného do Systém. Hmotnostní tok do systému je považován za pozitivní, a protože normální vektor k povrchu je opačný ke smyslu toku do systému, je tento termín negován. Diferenciální forma rovnice kontinuity je pomocí věta o divergenci:
Zachování hybnosti
Newtonův druhý zákon pohybu aplikovaný na kontrolní objem, je tvrzení, že jakákoli změna hybnosti tekutiny v tomto řídicím objemu bude způsobena čistým tokem hybnosti do objemu a působením vnějších sil působících na tekutinu v objemu.
oiint oiint
Ve výše uvedené integrální formulaci této rovnice je termín vlevo čistá změna hybnosti v objemu. První člen vpravo je čistá sazba, při které se hybnost převádí na objem. Druhý člen vpravo je síla způsobená tlakem na povrchy objemu. První dva členy vpravo jsou negovány, protože hybnost vstupující do systému je považována za kladnou a normála je opačná ke směru rychlosti u a tlakové síly. Třetím členem vpravo je čisté zrychlení hmoty v objemu v důsledku jakéhokoli tělesné síly (zde zastoupena Ftělo). Povrchové síly, jako jsou viskózní síly, jsou reprezentovány Fsurfovat, čistá síla způsobená smykové síly působící na objemovou plochu. Rovnováhu hybnosti lze také zapsat pro a stěhování ovládání hlasitosti.[3]Následuje diferenciální forma rovnice zachování hybnosti. Zde je objem snížen na nekonečně malý bod a síly povrchu i těla jsou započítány do jedné celkové síly, F. Například, F může být rozšířen do výrazu pro třecí a gravitační síly působící v bodě toku.
V aerodynamice se vzduch považuje za a Newtonova tekutina, který představuje lineární vztah mezi smykovým napětím (v důsledku vnitřních třecích sil) a rychlostí přetvoření kapaliny. Výše uvedená rovnice je vektorová rovnice v trojrozměrném toku, ale lze ji vyjádřit jako tři skalární rovnice ve třech směrech souřadnic. Zachování hybných rovnic pro stlačitelný případ viskózního proudění se nazývá Navier-Stokesovy rovnice.[2]
Uchování energie
Ačkoli energie lze převést z jedné formy do druhé, celkem energie v uzavřeném systému zůstává konstantní.
Výše, h je konkrétní entalpie, k je tepelná vodivost tekutiny, T je teplota a Φ je funkce viskózní disipace. Funkce viskózního rozptylu určuje rychlost, jakou se mechanická energie toku mění na teplo. The druhý zákon termodynamiky vyžaduje, aby rozptylový termín byl vždy pozitivní: viskozita nemůže vytvářet energii v kontrolním objemu.[4] Výraz na levé straně je a materiálový derivát.

Stlačitelný proti nestlačitelnému toku

Všechny tekutiny jsou stlačitelný do určité míry; tj. změny tlaku nebo teploty způsobují změny hustoty. V mnoha situacích jsou však změny tlaku a teploty dostatečně malé, aby změny hustoty byly zanedbatelné. V tomto případě lze tok modelovat jako nestlačitelný tok. Jinak obecnější stlačitelný průtok musí být použity rovnice.

Matematicky je nestlačitelnost vyjádřena tím, že hustota ρ a tekutý balík se nemění, jak se pohybuje v poli toku, tj.

kde D/Dt je materiálový derivát, což je součet místní a konvektivní deriváty. Toto další omezení zjednodušuje řídící rovnice, zejména v případě, že kapalina má jednotnou hustotu.

Pro tok plynů k určení, zda se má použít dynamika stlačitelné nebo nestlačitelné kapaliny, se použije: Machovo číslo toku se vyhodnotí. Jako hrubý průvodce lze stlačitelné efekty ignorovat při Machových číslech pod přibližně 0,3. U kapalin závisí to, zda je platný nestlačitelný předpoklad, na vlastnostech kapaliny (konkrétně na kritickém tlaku a teplotě kapaliny) a na podmínkách proudění (jak blízko ke kritickému tlaku se skutečný tlak proudění stane). Akustický problémy vždy vyžadují povolení stlačitelnosti, protože zvukové vlny jsou kompresní vlny zahrnující změny tlaku a hustoty média, kterým se šíří.

Newtonské versus nenewtonské tekutiny

Tok kolem profil křídla

Všechny kapaliny jsou viskózní, což znamená, že vyvíjejí určitou odolnost proti deformaci: sousední části kapaliny pohybující se různými rychlostmi vyvíjejí na sebe viskózní síly. Rychlostní gradient se označuje jako a rychlost deformace; má rozměry T−1. Isaac Newton ukázal, že pro mnoho známých tekutin, jako je voda a vzduch, stres díky těmto viskózním silám lineárně souvisí s rychlostí deformace. Takové tekutiny se nazývají Newtonovské tekutiny. Koeficient proporcionality se nazývá viskozita kapaliny; pro newtonovské tekutiny je to vlastnost tekutiny nezávislá na rychlosti deformace.

Nenewtonské tekutiny mít komplikovanější nelineární chování napětí-deformace. Subdisciplína reologie popisuje chování napětí-deformace těchto tekutin, které zahrnují emulze a kejdy, někteří viskoelastický materiály jako krev a nějaký polymery, a lepkavé kapaliny jako latex, Miláček a maziva.[5]

Tok neviditelné versus viskózní versus Stokes

Dynamika tekutých balíků je popsána pomocí Newtonův druhý zákon. Zrychlující se část tekutiny podléhá setrvačným účinkům.

The Reynoldsovo číslo je bezrozměrné množství který charakterizuje velikost setrvačných účinků ve srovnání s velikostí viskózních účinků. Nízké Reynoldsovo číslo (Re ≪ 1) naznačuje, že viskózní síly jsou ve srovnání se setrvačnými silami velmi silné. V takových případech jsou setrvačné síly někdy zanedbávány; tento režim toku se nazývá Stokes nebo plíživý tok.

Naproti tomu vysoká Reynoldsova čísla (Re ≫ 1) naznačují, že setrvačné účinky mají větší vliv na rychlostní pole než viskózní (třecí) účinky. U vysokých toků Reynoldsova čísla je tok často modelován jako neviditelný tok, aproximace, při které je viskozita zcela opomíjena. Odstranění viskozity umožňuje Navier-Stokesovy rovnice být zjednodušeno do Eulerovy rovnice. Integrace Eulerových rovnic podél proudnice v inviscidním toku vede Bernoulliho rovnice. Když, kromě toho, že je inviscid, tok je irrotační všude může Bernoulliho rovnice úplně popsat tok všude. Takovým tokům se říká potenciální toky, protože rychlostní pole může být vyjádřeno jako spád vyjádření potenciální energie.

Tato myšlenka může docela dobře fungovat, když je Reynoldsovo číslo vysoké. Problémy, jako jsou problémy s pevnými hranicemi, však mohou vyžadovat zahrnutí viskozity. Viskozitu nelze zanedbávat poblíž pevných hranic, protože neklouzavý stav generuje tenkou oblast s velkou rychlostí deformace, mezní vrstva, ve kterém viskozita dominují efekty, které se tak generují vířivost. Proto pro výpočet čistých sil na tělesa (například na křídlech) je třeba použít rovnice viskózního proudění: teorie toku neviditelného nedokáže předpovědět táhnout síly, omezení známé jako d'Alembertův paradox.

Běžně se používá[Citace je zapotřebí ] model, zejména v výpočetní dynamika tekutin, je použít dva modely toku: Eulerovy rovnice od těla a mezní vrstva rovnice v oblasti blízko těla. Obě řešení lze poté navzájem sladit pomocí metoda spárovaných asymptotických expanzí.

Stabilní versus nestálý tok

Hydrodynamická simulace Rayleigh – Taylorova nestabilita [6]

Tok, který není funkcí času, se nazývá stálý tok. Tok v ustáleném stavu se týká stavu, kdy se vlastnosti kapaliny v bodě systému v průběhu času nemění. Časově závislý tok je známý jako nestabilní (také nazývaný přechodný)[7]). Zda je konkrétní tok stabilní nebo nestálý, může záviset na zvoleném referenčním rámci. Například laminární proudění přes a koule je stabilní v referenčním rámci, který je stacionární vzhledem ke kouli. V referenčním rámci, který je stacionární vzhledem k toku pozadí, je tok nestálý.

Turbulentní toky jsou podle definice nestabilní. Turbulentní proudění však může být statisticky stacionární. Pole náhodné rychlosti U(X, t) je statisticky stacionární, pokud jsou všechny statistiky invariantní při posunu v čase.[8]:75 To zhruba znamená, že všechny statistické vlastnosti jsou v čase konstantní. Často průměr pole je předmětem zájmu, a to je ve statisticky stacionárním toku také konstantní.

Rovnoměrné toky jsou často snášenlivější než jinak podobné nestálé toky. Řídící rovnice ustáleného problému mají o jednu dimenzi méně (času) než řídící rovnice stejného problému, aniž by využívaly stabilitu tokového pole.

Laminární versus turbulentní proudění

Turbulence je tok charakterizovaný recirkulací, víry a zjevné náhodnost. Tok, ve kterém nejsou vystaveny turbulence, se nazývá laminární. Samotná přítomnost vírů nebo recirkulace nemusí nutně znamenat turbulentní proudění - tyto jevy mohou být přítomny také v laminárním proudění. Matematicky je turbulentní tok často reprezentován pomocí a Reynoldsův rozklad, ve kterém je tok rozdělen na součet an průměrný a poruchová složka.

Předpokládá se, že turbulentní proudění lze dobře popsat pomocí Navier-Stokesovy rovnice. Přímá numerická simulace (DNS), založený na Navier-Stokesových rovnicích, umožňuje simulovat turbulentní toky při středních Reynoldsových číslech. Omezení závisí na síle použitého počítače a účinnosti algoritmu řešení. Bylo zjištěno, že výsledky DNS dobře odpovídají experimentálním datům pro některé toky.[9]

Většina zájmových toků má Reynoldsova čísla příliš vysoká na to, aby byl DNS životaschopnou volbou,[8]:344 vzhledem k stavu výpočetní síly na několik příštích desetiletí. Jakékoli dostatečně velké letové vozidlo pro přepravu člověka (L > 3 m), pohybující se rychleji než 20 m / s (72 km / h; 45 mph) je výrazně za hranicí simulace DNS (Re = 4 miliony). Přepravní křídla letadel (například na Airbus A300 nebo Boeing 747 ) mají Reynoldsova čísla 40 milionů (na základě rozměru akordu křídla). Řešení těchto problémů s reálným tokem vyžaduje v dohledné budoucnosti modely turbulence. Reynoldsovy průměrované Navier-Stokesovy rovnice (RANS) v kombinaci s modelování turbulencí poskytuje model účinků turbulentního proudění. Takové modelování poskytuje hlavně další přenos hybnosti Reynolds zdůrazňuje, ačkoli turbulence také zvyšuje teplo a hromadný přenos. Další slibnou metodikou je velká vířivá simulace (LES), zejména v masce oddělená vířivá simulace (DES) - což je kombinace modelování turbulencí RANS a velké vířivé simulace.

Podsonické versus transsonické, nadzvukové a nadzvukové toky

Zatímco mnoho toků (například průtok vody potrubím) probíhá na nízké úrovni Machova čísla, mnoho toků praktického zájmu v aerodynamice nebo v turbínové stroje vyskytují se ve vysokých zlomcích M = 1 (transsonické toky ) nebo nad jeho rámec (nadzvukový nebo dokonce nadzvukové toky ). V těchto režimech dochází k novým jevům, jako jsou nestability v transonickém toku, rázové vlny pro nadzvukový tok nebo nerovnovážné chemické chování v důsledku ionizace v nadzvukových tocích. V praxi se s každým z těchto režimů toku zachází samostatně.

Reaktivní versus nereaktivní toky

Reaktivní toky jsou toky, které jsou chemicky reaktivní a které nacházejí uplatnění v mnoha oblastech, včetně spalování (IC motor ), pohon zařízení (rakety, proudové motory, a tak dále), detonace, požární a bezpečnostní rizika a astrofyzika. Kromě zachování hmotnosti, hybnosti a energie je třeba zachovat i jednotlivé druhy (například hmotnostní zlomek z metan ve spalování metanu) je třeba odvodit, kde je míra produkce / vyčerpání jakéhokoli druhu dosažena současným řešením rovnic chemická kinetika.

Magnetohydrodynamika

Hlavní článek: Magnetohydrodynamika

Magnetohydrodynamika je multidisciplinární studie toku elektricky vodivé tekutiny dovnitř elektromagnetické pole. Mezi příklady takových tekutin patří plazmy, tekuté kovy a slaná voda. Rovnice proudění tekutin jsou řešeny současně s Maxwellovy rovnice elektromagnetismu.

Relativistická dynamika tekutin

Relativistická dynamika tekutin studuje makroskopický a mikroskopický pohyb tekutin při velkých rychlostech srovnatelných s rychlost světla.[10] Tato větev dynamiky tekutin odpovídá relativistickým účinkům jak z speciální teorie relativity a obecná teorie relativity. Řídící rovnice jsou odvozeny v Riemannova geometrie pro Minkowského časoprostor.

Další aproximace

Existuje velké množství dalších možných aproximací problémů s dynamikou tekutin. Níže jsou uvedeny některé z běžněji používaných.

Terminologie

Koncept tlaku je ústředním bodem studia statiky tekutin i dynamiky tekutin. Tlak lze identifikovat pro každý bod v tělese tekutiny, bez ohledu na to, zda je tekutina v pohybu nebo ne. Tlak může být měřeno pomocí aneroidu, Bourdonovy trubice, rtuťové kolony nebo různých jiných metod.

Některá terminologie, která je nezbytná pro studium dynamiky tekutin, se nenachází v jiných podobných oblastech studia. Zejména některé terminologie používané v dynamice tekutin se nepoužívají v statika tekutin.

Terminologie v dynamice nestlačitelných tekutin

Pojmy celkového tlaku a dynamický tlak vyvstat z Bernoulliho rovnice a jsou významné při studiu všech toků tekutin. (Tyto dva tlaky nejsou tlaky v obvyklém smyslu - nelze je měřit pomocí aneroidu, Bourdonovy trubice nebo rtuťové kolony.) Aby se zabránilo potenciální nejednoznačnosti, když se odkazuje na tlak v dynamice tekutin, mnoho autorů používá termín statický tlak odlišit jej od celkového tlaku a dynamického tlaku. Statický tlak je shodný s tlakem a lze jej identifikovat pro každý bod v poli toku kapaliny.

Bod v toku tekutiny, kde se tok zastavil (to znamená, že rychlost se rovná nule v sousedství nějakého pevného tělesa ponořeného do toku tekutiny) má zvláštní význam. Je to tak důležité, že dostává zvláštní název - a bod stagnace. Statický tlak v bodě stagnace má zvláštní význam a je pojmenován—stagnační tlak. U nestlačitelných toků se stagnační tlak v bodě stagnace rovná celkovému tlaku v celém průtokovém poli.

Terminologie v dynamice stlačitelné tekutiny

Ve stlačitelné tekutině je vhodné definovat celkové podmínky (nazývané také podmínky stagnace) pro všechny vlastnosti termodynamického stavu (jako je celková teplota, celková entalpie, celková rychlost zvuku). Tyto podmínky celkového toku jsou funkcí rychlosti kapaliny a mají různé hodnoty v referenčních rámcích s různým pohybem.

Aby se zabránilo potenciální nejednoznačnosti, když se odkazuje na vlastnosti kapaliny spojené se stavem kapaliny spíše než s jejím pohybem, běžně se používá předpona „statická“ (například statická teplota a statická entalpie). Pokud neexistuje předpona, vlastností tekutiny je statický stav (takže „hustota“ a „statická hustota“ znamenají totéž). Statické podmínky jsou nezávislé na referenčním rámci.

Protože podmínky celkového průtoku jsou definovány pomocí isentropicky k přivedení tekutiny k odpočinku není třeba rozlišovat mezi celkovou entropií a statickou entropií, protože jsou si podle definice vždy stejné. Entropie jako taková se nejčastěji označuje jednoduše jako „entropie“.

Viz také

Studijní obory

Matematické rovnice a pojmy

Druhy proudění kapaliny

Vlastnosti kapaliny

Fluidní jevy

Aplikace

Časopisy dynamiky tekutin

Smíšený

Viz také

Reference

  1. ^ Eckert, Michael (2006). Úsvit dynamiky tekutin: disciplína mezi vědou a technologií. Wiley. p. ix. ISBN  3-527-40513-5.
  2. ^ A b Anderson, J. D. (2007). Základy aerodynamiky (4. vydání). Londýn: McGraw – Hill. ISBN  978-0-07-125408-3.
  3. ^ Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A .; Bhalla, Amneet Pal S. (2017). "Pohybující se objem řízení přístupu k výpočtu hydrodynamických sil a momentů na ponořených tělesech." Journal of Computational Physics. 347: 437–462. arXiv:1704.00239. Bibcode:2017JCoPh.347..437N. doi:10.1016 / j.jcp.2017.06.047. S2CID  37560541.
  4. ^ White, F. M. (1974). Tok viskózní kapaliny. New York: McGraw – Hill. ISBN  0-07-069710-8.
  5. ^ Wilson, DI (únor 2018). „Co je to reologie?“. Oko. 32 (2): 179–183. doi:10.1038 / oko 2017.267. PMC  5811736. PMID  29271417.
  6. ^ Shengtai Li, Hui Li „Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations“ (Národní laboratoř Los Alamos) [1] Archivováno 03.03.2016 na Wayback Machine
  7. ^ „Přechodný stav nebo nestabilní stav? - CFD online diskusní fóra“. www.cfd-online.com.
  8. ^ A b Pope, Stephen B. (2000). Turbulentní toky. Cambridge University Press. ISBN  0-521-59886-9.
  9. ^ Viz například Schlatter a kol., Phys. Fluids 21, 051702 (2009); doi:10.1063/1.3139294
  10. ^ Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgenii Michajlovič (1987). Mechanika tekutin. Londýn: Pergamon. ISBN  0-08-033933-6.

Další čtení

  • Acheson, D. J. (1990). Základní dynamika tekutin. Clarendon Press. ISBN  0-19-859679-0.
  • Batchelor, G. K. (1967). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. ISBN  0-521-66396-2.
  • Chanson, H. (2009). Aplikovaná hydrodynamika: Úvod do ideálních a skutečných toků tekutin. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Nizozemsko, 478 stran. ISBN  978-0-415-49271-3.
  • Clancy, L. J. (1975). Aerodynamika. London: Pitman Publishing Limited. ISBN  0-273-01120-0.
  • Jehněčí, Horace (1994). Hydrodynamika (6. vydání). Cambridge University Press. ISBN  0-521-45868-4. 6. rozšířené vydání, které původně vyšlo v roce 1879, se objevilo jako první v roce 1932.
  • Milne-Thompson, L. M. (1968). Teoretická hydrodynamika (5. vydání). Macmillana. Původně publikováno v roce 1938.
  • Shinbrot, M. (1973). Přednášky z mechaniky tekutin. Gordon a Breach. ISBN  0-677-01710-3.
  • Nazarenko, Sergey (2014), Dynamika tekutin prostřednictvím příkladů a řešení, CRC Press (skupina Taylor & Francis), ISBN  978-1-43-988882-7
  • Encyklopedie: Dynamika tekutin Scholarpedia

externí odkazy