Hra chaosu - Chaos game

Animované vytvoření a Sierpinského trojúhelník pomocí metody chaosu
Způsob, jakým „hra chaosu“ funguje, je dobře znázorněn, když je zohledněna každá cesta.

v matematika, termín chaos hra původně odkazoval na způsob vytvoření a fraktální, používat polygon a uvnitř ní náhodně vybraný počáteční bod.[1][2] Fraktál je vytvořen iterativním vytvořením posloupnosti bodů, počínaje počátečním náhodným bodem, ve kterém je každý bod v posloupnosti daný zlomek vzdálenosti mezi předchozím bodem a jedním z vrcholů mnohoúhelníku; vrchol je v každé iteraci vybrán náhodně. Opakování tohoto iteračního procesu mnohokrát, výběr náhodného vrcholu při každé iteraci a vyhodení několika prvních bodů v pořadí, často (ale ne vždy) vytvoří fraktální tvar. Použití pravidelného trojúhelníku a faktoru 1/2 povede k Sierpinského trojúhelník, při vytváření správného uspořádání se čtyřmi body a faktorem 1/2 vytvoří zobrazení „Sierpinského čtyřstěn“, trojrozměrného analogu Sierpinského trojúhelníku. Když se počet bodů zvýší na číslo N, uspořádání vytvoří odpovídající (N-1) -dimenzionální Sierpinski Simplexní.

Termín byl zobecněn tak, aby odkazoval na metodu generování atraktor, nebo pevný bod, jakéhokoli iterovaný funkční systém (IFS). Počínaje libovolným bodem x0, postupné iterace jsou tvořeny jako xk + 1 = fr(Xk), kde fr je členem dané IFS náhodně vybrané pro každou iteraci. Iterace konvergují k pevnému bodu IFS. Kdykoli x0 patří k lákadlu IFS, všechny iterace xk zůstaňte uvnitř atraktoru a s pravděpodobností 1 vytvořte a hustá sada v druhém případě.

Metoda „hry chaosu“ vykresluje body v náhodném pořadí po celém atraktoru. To je na rozdíl od jiných metod kreslení fraktálů, které testují každý pixel na obrazovce, aby se zjistilo, zda patří k fraktálu. Obecný tvar fraktálu lze rychle vykreslit metodou „hry chaosu“, může však být obtížné vykreslit některé oblasti fraktálu podrobně.

Metoda „hry chaosu“ je zmíněna v Tom Stoppard hra z roku 1993 Arcadia.[3]

Pomocí „hry chaosu“ lze vytvořit nový fraktál a při jeho tvorbě lze získat některé parametry. Tyto parametry jsou užitečné pro aplikace teorie fraktálů, jako je klasifikace a identifikace.[4][5] Nový fraktál je v některých důležitých funkcích, jako je fraktální dimenze, obdobný originálu.

Pokud v „hře chaosu“ začnete u každého vrcholu a projdete všemi možnými cestami, kterými se hra může ubírat, získáte stejný obraz jako při pouhém výběru jedné náhodné cesty. Přijetí více než jedné cesty se však provádí jen zřídka, protože režie pro sledování každé cesty umožňuje mnohem pomalejší výpočet. Tato metoda má výhody ilustrující, jak je fraktál formován jasněji než standardní metoda, a je také deterministická.

Omezená hra chaosu

Bod uvnitř čtverce opakovaně skáče do poloviny vzdálenosti k náhodně zvolenému vrcholu. Žádný fraktál se neobjeví.

Pokud je hra chaosu spuštěna se čtvercem, neobjeví se žádný fraktál a vnitřek čtverce se rovnoměrně zaplní body. Pokud jsou však omezena volba vrcholů, objeví se na čtverci fraktály. Pokud například nelze v aktuální iteraci zvolit aktuální vrchol, zobrazí se tento fraktál:


Bod uvnitř čtverce opakovaně přeskočí polovinu vzdálenosti k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže být stejný jako dříve vybraný vrchol.


Pokud aktuální vrchol nemůže být o jedno místo (proti směru hodinových ručiček) od dříve zvoleného vrcholu, objeví se tento fraktál:


Bod uvnitř čtverce opakovaně skáče do poloviny vzdálenosti směrem k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže být o 1 místo dále (proti směru hodinových ručiček) od dříve zvoleného vrcholu.


Pokud je bodu zabráněno v přistání na určité oblasti čtverce, bude tvar této oblasti reprodukován jako fraktál v jiných a zjevně neomezených částech čtverce. Zde například vzniká fraktál, když bod nemůže skákat, aby dopadl na červenou Om symbol ve středu náměstí[je třeba další vysvětlení ]:


Fraktál vytvořený bodem skákajícím k náhodně zvolenému vrcholu čtverce, ale zabránil přistání na symbolu Om ve středu čtverce


Další omezení vytvářejí další fraktály:

  • Bod uvnitř čtverce opakovaně skáče do poloviny vzdálenosti směrem k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže být 2 místa od dříve vybraného vrcholu.

  • Bod uvnitř čtverce opakovaně přeskočí polovinu vzdálenosti směrem k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže sousedit s dříve vybraným vrcholem, pokud jsou dva dříve vybrané vrcholy stejné.

  • Bod uvnitř pětiúhelníku opakovaně přeskočí polovinu vzdálenosti směrem k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže být stejný jako dříve zvolený vrchol.

  • Bod uvnitř pětiúhelníku opakovaně přeskočí polovinu vzdálenosti směrem k náhodně zvolenému vrcholu, ale aktuálně zvolený vrchol nemůže sousedit s dříve vybraným vrcholem, pokud jsou dva dříve vybrané vrcholy stejné.

Skoky jiné než 1/2

Když délka skoku směrem k vrcholu nebo jinému bodu není 1/2, hra chaosu generuje další fraktály, některé velmi dobře známé. Například když je skok 2/3 a bod může také skákat směrem ke středu čtverce, hra chaosu vygeneruje Vicsekův fraktál:

Vicsekův fraktál generovaný hrou chaosu

Když je skok 2/3 a bod může také skákat směrem ke středům čtyř stran, hra chaosu generuje Sierpinski koberec:

Sierpinského koberec vygenerovaný hrou chaosu

Když je skok 1 /phi a bod náhodně skáče k jednomu nebo druhému z pěti vrcholů pravidelného pětiúhelníku, hra chaosu generuje pětiúhelník n-vločka:

Pětiboká n-vločka generovaná hrou chaosu

Viz také

externí odkazy

Reference

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Chaos Game“. MathWorld.
  2. ^ Barnsley, Michael (1993). Fraktály všude. Morgan Kaufmann. ISBN  978-0-12-079061-6.
  3. ^ Devaney, Robert L. „Chaos, fraktály a arkádie“. Katedra matematiky, Boston University.
  4. ^ Jampour, Mahdi; Yaghoobi, Mahdi; Ashourzadeh, Maryam; Soleimani, Adel (1. září 2010). „Nová rychlá technika identifikace otisků prstů s teorií her fraktálů a chaosu“. Fraktály. 18 (3): 293–300. doi:10,1142 / s0218348x10005020. ISSN  0218-348X - přes ResearchGate.
  5. ^ Jampour, Mahdi; Javidi, Mohammad M .; Soleymani, Adel; Ashourzadeh, Maryam; Yaghoobi, Mahdi (2010). „Nová technika při ukládání otisků prstů při nízké hlasitosti pomocí hry Chaos a fraktální teorie“. International Journal of Interactive Multimedia and Artificial Intelligence. 1 (3): 27. doi:10.9781 / ijimai.2010.135. ISSN  1989-1660.