Mapa Hénon - Hénon map - Wikipedia

Hénonův atraktor pro A = 1,4 a b = 0.3

Hénonův atraktor pro A = 1,4 a b = 0.3

The Mapa Hénon , někdy nazývané Hénon-Pomeau atraktor / mapa, ^[1] je diskrétní čas dynamický systém. Je to jeden z nejvíce studovaných příkladů dynamické systémy ten exponát chaotické chování. Mapa Hénon má bod (X_n, y_n) v rovině a namapuje ji na nový bod

${ displaystyle { begin {cases} x_ {n + 1} = 1-ax_ {n} ^ {2} + y_ {n} y_ {n + 1} = bx_ {n}. end {cases} }}$

Mapa závisí na dvou parametrech, A a b, který pro klasická mapa Hénon mít hodnoty A = 1,4 a b = 0,3. Pro klasické hodnoty je Hénonova mapa chaotická. Pro ostatní hodnoty A a b mapa může být chaotická, přerušovaný, nebo konvergovat k a periodická oběžná dráha. Přehled typu chování mapy při různých hodnotách parametrů lze získat z její orbitální diagram.

Mapu představil Michel Hénon jako zjednodušený model Sekce Poincaré z Lorenzův model. U klasické mapy se počáteční bod roviny přiblíží k sadě bodů známých jako Hénon podivný atraktor, nebo se rozcházejí do nekonečna. Hénonův atraktor je a fraktální, hladké v jednom směru a Cantor set v jiném. Numerické odhady poskytují a korelační dimenze 1,25 ± 0,02^[2] a a Hausdorffova dimenze 1,261 ± 0,003^[3] pro atraktor klasické mapy.

Atraktor

Orbitový diagram pro Hénonovu mapu s b = 0,3. Vyšší hustota (tmavší) označuje zvýšenou pravděpodobnost proměnné X získání této hodnoty za danou hodnotu A. Všimněte si družice oblasti chaosu a periodicity kolem a = 1,075 - tyto mohou vzniknout v závislosti na počátečních podmínkách pro X a y.

Mapa Hénon mapuje dva body do sebe: jedná se o invariantní body. Pro klasické hodnoty A a b mapy Hénon, jeden z těchto bodů je na atraktoru:

${ displaystyle x = { frac {{ sqrt {609}} - 7} {28}} přibližně 0,631354477,}$

${ displaystyle y = { frac {3 vlevo ({ sqrt {609}} - 7 vpravo)} {280}} přibližně 0,189406343.}$

Tento bod je nestabilní. Body poblíž tohoto pevného bodu a podél sklonu 1.924 se přiblíží k pevnému bodu a body podél sklonu -0.156 se posunou od pevného bodu. Tyto svahy vznikají z linearizací stabilní potrubí a nestabilní potrubí pevného bodu. Nestabilní potrubí pevného bodu v atraktoru je obsaženo v podivný atraktor mapy Hénon.

Mapa Hénon nemá zvláštní atraktor pro všechny hodnoty parametrů A a b. Například udržováním b fixní na 0,3 diagram bifurkace ukazuje, že pro A = 1,25 má Hénonova mapa stabilní přitažlivou periodickou dráhu.

Cvitanović a kol. ukázaly, jak lze strukturu Hénonova podivného atraktoru chápat, pokud jde o nestabilní periodické dráhy v atraktoru.

Klasická Hénonova mapa (15 iterací). Dílčí iterace vypočítané pomocí třístupňového rozkladu.

Rozklad

Mapa Hénon může být rozložena na ohyb zachovávající oblast:

${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) = (x, 1-osa ^ {2} + y) ,}$,

kontrakce v X směr:

${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (bx_ {1}, y_ {1}) ,}$,

a odraz v řadě y = X:

${ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}) = (y_ {2}, x_ {2}) ,}$.

Jednorozměrný rozklad

Hénonovu mapu lze také dekonstruovat do jednorozměrné mapy definované podobně jako Fibonacciho sekvence.

${ displaystyle x_ {n + 1} = 1-ax_ {n} ^ {2} + bx_ {n-1}}$

Zvláštní případy a orbity s nízkou periodou

Pokud někdo vyřeší Jednorozměrnou Hénonovu mapu pro zvláštní případ:

${ displaystyle X = x_ {n-1} = x_ {n} = x_ {n + 1}}$

Jeden dorazí k jednoduché kvadradice:

${ displaystyle X = 1-aX ^ {2} + bX}$

Nebo

${ displaystyle 0 = -aX ^ {2} + (b-1) X + 1}$

The kvadratický vzorec výnosy:

${ displaystyle X = {b-1 pm { sqrt {b ^ {2} -2b + 1 + 4a}} nad 2a}}$

Ve zvláštním případě b = 1 je toto zjednodušeno na

${ displaystyle X = { pm { sqrt {a}} přes a}}$

Pokud je navíc a ve formě ${ displaystyle {1 nad c ^ {n}}}$ vzorec je dále zjednodušen na

${ displaystyle X = pm c ^ {n / 2}}$

V praxi bude výchozí bod (X, X) následovat čtyřbodovou smyčku ve dvou dimenzích procházející všemi kvadranty.

${ displaystyle (X, X) = (X, -X)}$

${ displaystyle (X, -X) = (- X, -X)}$

${ displaystyle (-X, -X) = (- X, X)}$

${ displaystyle (-X, X) = (X, X)}$

Dějiny

V roce 1976 byl fyzikem analyzován Lorenzův atraktor Yves Pomeau který provádí řadu numerických výpočtů s J. L. Ibanezem.^[4] Analýza vytváří jakýsi doplněk k práci Ruelle (a Lanforda) představené v roce 1975. Je to Lorenzův atraktor, tj. Ten, který odpovídá původním diferenciálním rovnicím, a jeho geometrická struktura, která je zajímá. Pomeau a Ibanez kombinují své numerické výpočty s výsledky matematické analýzy založené na použití sekcí Poincaré. Protahování, skládání, citlivost na počáteční podmínky se v této souvislosti přirozeně přinášejí v souvislosti s Lorenzovým atraktorem. Pokud je analýza nakonec velmi matematická, následují Pomeau a Ibanez v jistém smyslu fyzikální přístup a numericky experimentují s Lorenzovým systémem.

Tyto zkušenosti přinášejí dvě otevření. Umožňují zdůraznit jedinečné chování Lorenzova systému: dochází k přechodu charakterizovanému kritickou hodnotou parametrů systému, pro který se systém přepne z podivné polohy atraktoru do konfigurace v mezním cyklu. Důležitost odhalí sám Pomeau (a spolupracovník Paul Manneville) prostřednictvím „scénáře“ filmu Přerušovanost, navržený v roce 1979.

Druhou cestou, kterou navrhli Pomeau a Ibanez, je myšlenka realizace dynamických systémů ještě jednodušších než Lorenzova, avšak s podobnými charakteristikami, která by umožnila jasněji prokázat „důkazy“ vynesené na světlo numerickými výpočty. Jelikož úvaha vychází z Poincarého sekce, navrhuje vytvořit aplikaci roviny sama o sobě, spíše než diferenciální rovnici, napodobující chování Lorenza a jeho podivného atraktoru. Jednu postaví ad hoc způsobem, který mu umožní lépe založit jeho uvažování.

V lednu 1976 představil Pomeau svou práci na semináři ve observatoři Côte d'Azur, kterého se zúčastnil Michel Hénon. Michel Hénon využívá Pomeauův návrh k získání jednoduchého systému s podivným atraktorem.^[5][6]

Viz také

• Mapa podkovy
• Věta o převzetí

Poznámky

Reference

• M. Hénon (1976). "Dvojrozměrné mapování se zvláštním atraktorem". Komunikace v matematické fyzice. 50 (1): 69–77. Bibcode:1976CMaPh..50 ... 69H. doi:10.1007 / BF01608556.
• Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Topologické a metrické vlastnosti zvláštních atraktorů typu Hénon". Fyzický přehled A. 38 (3): 1503–1520. Bibcode:1988PhRvA..38.1503C. doi:10.1103 / PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• Carles Simó (1979). „Na atraktoru Hénon-Pomeau“. Žurnál statistické fyziky. 21: 465–494.
• Michel Hénon a Yves Pomeau (1976). "Dva podivné atraktory s jednoduchou strukturou,". Turbulence a Navier Stokesovy rovnice. Springer: 29–68.
• M. Michelitsch; O. E. Rössler (1989). „Nová funkce v Hénonově mapě“. Počítače a grafika. 13 (2): 263–265. doi:10.1016/0097-8493(89)90070-8.. Přetištěno v: Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Ten Year Compilation of Advanced Research (Ed. C. A. Pickover). Amsterdam, Nizozemsko: Elsevier, s. 69–71, 1998
• Kuzněcov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Odhady dimenze atraktoru pro dynamické systémy: teorie a výpočet. Cham: Springer.

externí odkazy

• Interaktivní mapa Henon a Henonův atraktor v Chaotické mapy
• Další interaktivní iterace mapy Henon A. Luhn
• Orbitový diagram mapy Hénon C. Pellicer-Lostao a R. Lopez-Ruiz po práci Eda Pegga mladšího, Demonstrační projekt Wolfram.
• Kód Matlab pro Hénon Map autor: M.Suzen
• Simulace mapy Hénon v javascriptu (experience.math.cnrs.fr) od Marca Monticelliho.